第十章                  稳恒磁场
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第十章 稳恒磁场. 基本内容:讨论恒定电流激发的磁场的规律和性质  . 一基本磁现象. 1.安培关于物质磁场本质的假设. 一切磁场现象起源于电荷的运动:任何物质中的分子,都存在有回路电流 —— 分子电流,分子电流相当于一个基本磁场. 2.磁场. 运动电荷(电流)激发磁场,其周围存在着磁场,磁场对运动电荷、载流导体和永久磁铁等有磁场力的作用. 3.磁感应强度 :描述磁场性质的重要物理量. 在磁场中某点P处,放入一速度 运动的正电荷 ,其受磁场力 . (1)大小与 和 有关,但.

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第十章 稳恒磁场

基本内容:讨论恒定电流激发的磁场的规律和性质  


一基本磁现象

1.安培关于物质磁场本质的假设

一切磁场现象起源于电荷的运动:任何物质中的分子,都存在有回路电流——分子电流,分子电流相当于一个基本磁场

2.磁场

运动电荷(电流)激发磁场,其周围存在着磁场,磁场对运动电荷、载流导体和永久磁铁等有磁场力的作用


3.磁感应强度:描述磁场性质的重要物理量

在磁场中某点P处,放入一速度 运动的正电荷 ,其受磁场力 

(1)大小与 和 有关,但

(2) 在某一特定方向(或反平行)时,电荷不受力(此方向为磁场方向)

  与电学类似,通过运      动电荷在磁场中所受的作用力来定量描述磁场


(3)当 与上述磁场方向垂直时,受力最大

定义:大小

方向:矢量关系式 ,

或稳定时,该点处小磁针N极指向

应反映磁场性质


取电流元 (方向:电流的方向),其在P点的磁场强度 

大小

方向

二.毕奥—萨伐尔定律(计算恒定电流所激发的磁场的分布)

1.毕奥—萨伐尔定律

任意载流为I的导体,所激发的磁场。


式中        ,真空中磁导率

 是  与矢量 的夹角

也可写成

因此,由磁场叠加原理可得到载流导线在P点的磁感应强度


2.定律应用举例

例题一:载流长直导线的      磁场。一通有电流I的长      直导线,求导线外任一点P的磁感应强度 ,已知P与导线垂直距离为

解:建立图示坐标系,取电流元

  方向:图示(负ox方向)



所以

   分别是直电流 始点与终点处电流流向与 的夹角


若直导线视为“无限长”,则

若 (半“无限长”直流导线)


例题二.圆形载流导线的      磁场。一半径为R载流为      I的圆形电流,求其轴线      上任一点P的磁感应强度,已知P点离圆心距离为x例题二.圆形载流导线的      磁场。一半径为R载流为      I的圆形电流,求其轴线      上任一点P的磁感应强度,已知P点离圆心距离为x

解:取oxyz坐标系,在圆上取电流元

图示  与 夹角


大小 例题二.圆形载流导线的      磁场。一半径为R载流为      I的圆形电流,求其轴线      上任一点P的磁感应强度,已知P点离圆心距离为x

方向:图示

将  分解为:

从对称性分析知:  的总和等于零


方向:沿x正向(或右手法则定出)例题二.圆形载流导线的      磁场。一半径为R载流为      I的圆形电流,求其轴线      上任一点P的磁感应强度,已知P点离圆心距离为x


讨论:例题二.圆形载流导线的      磁场。一半径为R载流为      I的圆形电流,求其轴线      上任一点P的磁感应强度,已知P点离圆心距离为x

(1)当x=0(圆电流中心处)

(2)

引入    (磁矩),在    称为磁偶极子

或写成    (电偶极子     )


例题三.载流直螺线管的      磁场。长为 ,半径为R      的载流I的密绕螺线管,      螺线管匝数为     求管内轴线上的任一点处的例题三.载流直螺线管的      磁场。长为 ,半径为R      的载流I的密绕螺线管,      螺线管匝数为     求管内轴线上的任一点处的

解:把长直螺线管看作有许多圆形电流组成。


图示坐标系中,取一宽度为例题三.载流直螺线管的      磁场。长为 ,半径为R      的载流I的密绕螺线管,      螺线管匝数为     求管内轴线上的任一点处的dx,电流 圆电流,其在P点的磁场

由 比较得

方向沿着轴向


由于圆形电流对P点的磁感应强度方向都沿例题三.载流直螺线管的      磁场。长为 ,半径为R      的载流I的密绕螺线管,      螺线管匝数为     求管内轴线上的任一点处的ox轴,所以螺线管在P点

或写成

方向:右手定则


两种特殊情况例题三.载流直螺线管的      磁场。长为 ,半径为R      的载流I的密绕螺线管,      螺线管匝数为     求管内轴线上的任一点处的

( 1 )

无限长直螺线管

(2)半“无限长”螺线管轴线端点处


例题四.运动电荷的磁场。 电流激发的磁场可以视为      所有运动电荷所激发的磁 场叠加,取载流导线上电流 元 ,其截面积为 ,单位体积内作定向运动的电荷数为 ,定向运动速度为每个电荷带电为 。

由前一章讨论可知


代入 电流激发的磁场可以视为      所有运动电荷所激发的磁 场叠加

在电流元中有电荷数为    ,则一个运动电荷   在 处的磁感应强度

或写成

方向:右螺旋法则


  设带电圆盘半径为R,电荷面密度为 以 绕过盘心垂直盘面的轴转动,求圆心处的磁感应强度   设带电圆盘半径为R,电荷面密度为 以 绕过盘心垂直盘面的轴转动,求圆心处的磁感应强度 

解:方法一 圆盘转动 运动电荷  电流  磁感应强度

圆中心处的磁场可视为许多半径不等的圆电流磁场的叠加。


  设半径为r的圆形电流,圆形电流为  设带电圆盘半径为R,电荷面密度为 以 绕过盘心垂直盘面的轴转动,求圆心处的磁感应强度 dI,则在中心的

方向:垂直盘面向外

又因

各圆电流在o点的磁场方向相同


  设带电圆盘半径为R,电荷面密度为 以 绕过盘心垂直盘面的轴转动,求圆心处的磁感应强度 


方法二.运动电荷的计算  设带电圆盘半径为R,电荷面密度为 以 绕过盘心垂直盘面的轴转动,求圆心处的磁感应强度 


小结:用毕奥  设带电圆盘半径为R,电荷面密度为 以 绕过盘心垂直盘面的轴转动,求圆心处的磁感应强度 —萨伐尔定律和磁场叠加原理计算

(1)选取电流元  或选      取典型载流导线元,写成其 

(2)建立坐标系,对 求矢量和或分量求和,注意磁场的分布。

(3)对某些载流导体的组合体,直接应用叠加原理计算


例题四.宽度为b的金属薄板,其电流为I,求在薄板平面上,距板的一边为r的P点的磁感应强度例题四.宽度为b的金属薄板,其电流为I,求在薄板平面上,距板的一边为r的P点的磁感应强度

取图示坐ox轴,取离o距离x,标宽为dx的长直载流导线其电 流为

解:将薄板视为有许多无限长载流直导线组成。


由典型载流直导线磁场公式得例题四.宽度为b的金属薄板,其电流为I,求在薄板平面上,距板的一边为r的P点的磁感应强度

方向:垂直薄板平面向里


例题五.图示几种载流导体,电流为I,求o点的磁感应强度例题五.图示几种载流导体,电流为I,求o点的磁感应强度

方向?


三.磁通量 磁场的高斯定理例题五.图示几种载流导体,电流为I,求o点的磁感应强度

通过某点垂直磁场方向,单位面积上磁感线数等于该点 的大小

1.磁感应线:形象描述磁场的假想曲线

磁感应线上每一点切线方向与该点磁感应强度方向一致

特点:闭合曲线,互不相交


2.磁通量:通过磁场中某给定面积的磁感线总数2.磁通量:通过磁场中某给定面积的磁感线总数

  式中 是面积元的法线单位矢量 与 的夹角


32.磁通量:通过磁场中某给定面积的磁感线总数.磁场的高斯定理—描述磁场性质的的基本定理

  由于磁感线是无头无尾的闭合曲线,所以

即通过磁场中任一闭合曲面的磁通量恒等于零


四.安培环路定理2.磁通量:通过磁场中某给定面积的磁感线总数

1.安培环路定理:磁感应强度沿任一闭合路径的线积分,等于该闭合路径包围的所有电流的代数和乘以  ,即

  通常取电流流向与积分回路呈右螺旋关系,电流取正值。反之,取负值


2.从三个特例来描述定理2.磁通量:通过磁场中某给定面积的磁感线总数

(1)一无限长载流I的直      导线,在垂直导线平面上作一以o为圆心以r为半径的圆作为闭合路径,计算


(2)若在平面上任意取以闭合路径作为积分环路,计算(2)若在平面上任意取以闭合路径作为积分环路,计算


(3)在平面上取任意闭合路径,不包围电流I,图示,将闭合回路分为 和 两部分,所以(3)在平面上取任意闭合路径,不包围电流I,图示,将闭合回路分为 和 两部分,所以

  由于 上线元 与该处 夹角小于 ,而 上线元 与该处 夹角大于 ,仿此计算


小结:定理中 是指闭合环路所包围的电流代数和,不穿过环路的电流对 的环路无贡献。


可进一步证明:在恒稳磁场中,有 是指闭合环路所包围的电流代数和,不穿过环路的电流对 的环路无贡献。


例题一.载流长直螺线管     的磁场,已知例题一.载流长直螺线管     的磁场,已知

解:分析磁场

根据对称性可知,管内磁场均匀,管内平行于轴线上的任意一直线上各点的磁感应强度相等,且方向平行于轴线。如图在管内外作一闭合回路MNOP


由安培环路定律可得例题一.载流长直螺线管     的磁场,已知

例题二.设电流均匀流过无限大导电平面,其电流密度为j,(在平面内,通过电流垂直方向单位长度上的电流强度),求空间任意点的磁感应强度


解:磁场分析例题一.载流长直螺线管     的磁场,已知

  平面两侧与平面距离相等的两点(P与 )磁场大小相等方向反平行。

  作闭合回路abcd( , 平行于平面, , 垂直于平面)

  平板外任一点P的磁场方向平行于平面


由安培定律得例题一.载流长直螺线管     的磁场,已知

方向:图示

可见:无限大载流平面外的磁场是一均匀磁场


方向:右手法则(注意电荷的正负)例题一.载流长直螺线管     的磁场,已知

五.带电粒子在磁场中的运动

1.洛仑兹力—磁场对运动电荷的作用力


2.带电粒子在均匀磁场中运动例题一.载流长直螺线管     的磁场,已知

( 1 )

  电荷q,质量为m带电粒子,以初速 进入磁场

( 2 )

(3) 与 的夹角为         电荷q,质量为m的带电粒子,以初速 与 之间夹角为 进入磁场

以上三种情况带电粒子的运动轨迹如何?


带电粒子作匀速圆周运动例题一.载流长直螺线管     的磁场,已知

回旋周期


带电粒子作直线运动例题一.载流长直螺线管     的磁场,已知

(3) 与 的夹角为  

带电粒子以螺旋线运动,其中

螺旋线半径

螺距


其中例题一.载流长直螺线管     的磁场,已知

上述结果在磁焦距现象中应用


3.霍耳效应例题一.载流长直螺线管     的磁场,已知

(1)现象:载流I的导      体或半导体在均匀磁场       中,磁场与电流方向垂直,则导体(或半导体)的横向两侧出现电势差(电场)的现象称为霍耳效应

  以金属导体为例:载流子为正电荷q,其密度为n,其漂流速度 ,受洛仑兹力

(2)洛仑兹力解释霍耳效应


两侧面间建立横向电场 (图示) 例题一.载流长直螺线管     的磁场,已知

当动平衡时


即两侧面间电势差   (霍耳电压)例题一.载流长直螺线管     的磁场,已知

又有关系式

写成

其中霍耳系数  为


讨论:例题一.载流长直螺线管     的磁场,已知

(3)用霍耳效应测定 ,电流等

1.安培定律

讨论载流I的导线,在磁场 中受力

(1)霍耳系数测定,可以判断导电材料性质

(2)测定霍耳电压,可以判断载流子的性质

六.载流导线在磁场中受的力


  取一电流元   ,先讨论在电流之中每一运动电子 以  定向运动则

其大小

电流元中有电子数为


所有电子受力 ,先讨论在电流之中每一运动电子 以  定向运动则

写成矢量式

(安培定律)

所以载流导线受力


例题1:均匀磁场 中,      半圆形导线通有电流I,      其半径为R,磁场与导线平面垂直,求半圆形导线的磁场力例题1:均匀磁场 中,      半圆形导线通有电流I,      其半径为R,磁场与导线平面垂直,求半圆形导线的磁场力

解:取图示oxy坐标系,在半圆中取一电流元   ,   方向图示

将  分解为

2 安培定律应用举例


由于半圆对称于例题1:均匀磁场 中,      半圆形导线通有电流I,      其半径为R,磁场与导线平面垂直,求半圆形导线的磁场力y轴,所以

推断:一个任意弯曲的平面载流导线在均匀磁场中( 垂直于该平面)所受到的磁力,等效于弯曲导线起点到终点的矢量在磁场中所受的力。


例题例题1:均匀磁场 中,      半圆形导线通有电流I,      其半径为R,磁场与导线平面垂直,求半圆形导线的磁场力2:载流 的长直导线     一 侧,有另一导线水平放      置,长为L,通有电流  ,     两者在同一平面,如图示,求水平导线受磁力大小和方向。

解:取图示坐标系,因为水平导线处于不均匀磁场中,今取一电流元  ,该处磁场大小

方向:


电流元受力例题1:均匀磁场 中,      半圆形导线通有电流I,      其半径为R,磁场与导线平面垂直,求半圆形导线的磁场力

方向图示

方向图示


例题例题1:均匀磁场 中,      半圆形导线通有电流I,      其半径为R,磁场与导线平面垂直,求半圆形导线的磁场力3图示一无限长载流      的直导线与半径为R的圆      形电流 处于同一平面,      已知直线与圆心相距为d,求作用在圆电流上的磁力。

解:取电流元   ,该处磁场


其磁力例题1:均匀磁场 中,      半圆形导线通有电流I,      其半径为R,磁场与导线平面垂直,求半圆形导线的磁场力

 取dF在ox,oy方向分量,由对称性知


由于d>R,则F方向沿例题1:均匀磁场 中,      半圆形导线通有电流I,      其半径为R,磁场与导线平面垂直,求半圆形导线的磁场力ox轴负向!


例题例题1:均匀磁场 中,      半圆形导线通有电流I,      其半径为R,磁场与导线平面垂直,求半圆形导线的磁场力4:计算两平行长直导      线间相互作用力,设两导      线相距为r,分别载流        和 ,如图,求导线单位长度所受的磁力

解:电流 在导线 处的磁场

方向图示


所以作用在电流元  的安培力例题1:均匀磁场 中,      半圆形导线通有电流I,      其半径为R,磁场与导线平面垂直,求半圆形导线的磁场力

则载流 导线上单位长度所作用的磁力

方向图示

  同样可得载流 ,导线上单位长度所作用的磁力

方向图示


讨论:例题1:均匀磁场 中,      半圆形导线通有电流I,      其半径为R,磁场与导线平面垂直,求半圆形导线的磁场力

(2)电流单位安培的定义:在真空中,相距1m的两条平行长直导线通以相同的电流,如果每米长度导线上所受的磁场力为    ,那么导线中的电流为1安培。

(1)不难判断,当两电流     同方向时,磁力互相吸引,     当两电流反方向时,磁力互相排斥。


例题1:均匀磁场 中,      半圆形导线通有电流I,      其半径为R,磁场与导线平面垂直,求半圆形导线的磁场力. 磁场对载流线圈的作用

  在均匀磁场 中,有一矩形载流线圈,边长分别为 和 ,电流为 ,线圈平面法线方向 与 夹角为 先分别计算矩形线圈中各导线受力

1.均匀磁场对载流线圈的磁力矩


导线例题1:均匀磁场 中,      半圆形导线通有电流I,      其半径为R,磁场与导线平面垂直,求半圆形导线的磁场力PM和NO受磁力

导线MN和OP

其大小相等,方向相反,作用在同一直线上

  方向图示其大小相  等,方向  相反,但  不在一直  线上 


所以线圈受磁力矩例题1:均匀磁场 中,      半圆形导线通有电流I,      其半径为R,磁场与导线平面垂直,求半圆形导线的磁场力

写成矢量式

N匝线圈


例题1:均匀磁场 中,      半圆形导线通有电流I,      其半径为R,磁场与导线平面垂直,求半圆形导线的磁场力1)当   时, 稳定平衡位置(如图)

讨论几种特殊情况


例题1:均匀磁场 中,      半圆形导线通有电流I,      其半径为R,磁场与导线平面垂直,求半圆形导线的磁场力2) 时,     ,

线圈位置图示


例题1:均匀磁场 中,      半圆形导线通有电流I,      其半径为R,磁场与导线平面垂直,求半圆形导线的磁场力3) 时, ,不稳定平衡位置(图示)

(与电偶极子在电场中情况比较)


例题:半径为R,通以电流I的半圆形闭合线圈,可绕直径为轴旋转,置于例题:半径为R,通以电流I的半圆形闭合线圈,可绕直径为轴旋转,置于

均匀磁场 中图示,求线圈受的磁力矩

对oy轴而言,作用于电流元 上磁力矩 大小

解:取图示坐标系oxy


其中例题:半径为R,通以电流I的半圆形闭合线圈,可绕直径为轴旋转,置于


可见:采用例题:半径为R,通以电流I的半圆形闭合线圈,可绕直径为轴旋转,置于

结果相同!


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