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03_02 一维单原子链

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03_02 一维单原子链. 绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场 描述电子对离子运动的影响. —— 将电子的运动和离子的运动分开. 晶格具有周期性,晶格的振动具有波的形式 —— 格波. 格波的研究 1) 先计算原子之间的相互作用力 2) 根据牛顿定律写出原子运动方程 —— 求解方程. 一维无限单原子链 —— 原子质量 m ,平衡时原子间距 a. —— 原子之间的作用力. —— 第 n 个原子离开平 衡位置的位移.

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03_02 一维单原子链

绝热近似—— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场

描述电子对离子运动的影响

—— 将电子的运动和离子的运动分开

晶格具有周期性,晶格的振动具有波的形式 —— 格波

格波的研究

1) 先计算原子之间的相互作用力

2) 根据牛顿定律写出原子运动方程 —— 求解方程

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一维无限单原子链 —— 原子质量 m,平衡时原子间距 a

—— 原子之间的作用力

—— 第n个原子离开平

衡位置的位移

—— 第n个原子和第n+1个

原子间的相对位移

第n个原子和第n+1个原子间的距离

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平衡位置时,两个原子间的互作用势能

发生相对位移 后,相互作用势能

—— 平衡条件

—— 常数

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简谐近似—— 振动很微弱,势能展式中只保留到二阶项

相邻原子间的作用力

—— 恢复力常数

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原子的运动方程

—— 只考虑相邻原子的作用,第n个原子受到的作用力

第n个原子的运动方程

—— 每一个原子运动方程类似

—— 方程的数目和原子数相同

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方程解和振动频率

设方程组的解

naq — 第n个原子振动相位因子

得到

应用三角公式

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格波的意义

格波方程

连续介质中的机械波

波数

波长

晶体中的格波

—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式

—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动

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—— 简谐近似下,格波是简谐平面波

—— 格波的波形图

向上箭头—— 代表

原子沿X轴向右振动

向下箭头—— 代表

原子沿X轴向左振动

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格波方程

格波波长

格波波矢

格波相速度

不同原子间相差

相邻原子的相差

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格波

波矢的取值和布里渊区

—— 原子振动状态相同

相邻原子相差

格波1的波矢

相邻原子相差

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格波

格波2的波矢

相邻原子的位相差

—— 波矢q1和q2的格波中,原子的振动完全相同

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—— 相邻原子的相位差取值

波矢的取值

——第一布里渊区

—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题

—— 其它区域不能提供新的物理内容

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玻恩-卡门(Born-Karman)周期性边界条件

—— 一维无限长单原子晶格 ___ 所有原子是等价的

每个原子的振动形式都一样

—— 实际晶体为有限,形成的链不是无穷长

链两头的原子___不同于中间原子

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—— N个原子头尾相接形成环链,保持所有原子等价特点

—— N很大,原子运动近似为直线运动

—— 处理问题时考虑

到环链的循环性

设第n个原子的位移

再增加N个原子之后

第N+n个原子的位移

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则有

要求

—— h为整数

波矢的取值范围

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波矢

h — N个整数值,波矢q —— 取N个不同的分立值

每个波矢在第一布里渊区占的线度

第一布里渊区的线度

第一布里渊区状态数

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—— 格波的色散关系

格波相速度

— 不同波长的格波传播速度不同

 色散关系

 频率是波数的偶函数

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频率在 之间的格波才能在晶体中传播

其它频率的格波被强烈衰减

色散关系

—— q空间的周期

频率极小值

频率极大值

—— 低通滤波器

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格波 —— 长波极限

—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致

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格波 —— 短波极限

—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致

—— 不同频率的格波传播速度不同

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长波极限下

相邻两个原子振动相位差

—— 晶格可看作是连续介质

短波极限下

—— 相邻原子的振动相位相反

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—— 原子位移和简正坐标的关系

第q个格波引起第n个原子位移

第n个原子总的位移

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—— 有3N个取值

原子坐标和简正坐标的变换

—— 线性变换为幺正变换

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原子位移 为实数 ——

—— 动能和势能的形式

—— N项独立的模式

正交性

动能的正则坐标表示

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—— 动能

—— 势能

哈密顿量

—— 系统复数形式的简正坐标

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当这种振动模处于 时,说明有 个声子

能量本征值

本征态函数

—— 一个简正坐标对应一个谐振子方程

波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数

声子 —— 晶格振动的能量量子;或格波的能量量子

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晶格振动 —— 声子体系

—— 声子是一种元激发,可与电子或光子发生作用

—— 声子具有能量_动量,看作是准粒子

—— 晶格振动的问题  声子系统问题的研究

—— 每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的

—— 声子系综是无相互作用的声子气组成的系统

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