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Sesión 13: Técnicas Alternativas. A. D. H. C. B. F. Técnicas Alternativas. Se han desarrollado algunas técnicas numéricas para manejo de incertidumbre que no siguen los axiomas de probabilidad. Entre éstas se encuentran: Métodos empÃricos o ad-hoc TeorÃa de Dempster-Shafer
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Sesión 13: Técnicas Alternativas A D H C B F
Técnicas Alternativas • Se han desarrollado algunas técnicas numéricas para manejo de incertidumbre que no siguen los axiomas de probabilidad. Entre éstas se encuentran: • Métodos empíricos o ad-hoc • Teoría de Dempster-Shafer • Lógica difusa • Métodos aproximados Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Técnicas Alternativas • Algunas técnicas se pueden ver como casos especiales o extensiones de probabilidad • Técnicas que se reducen a casos especiales de probabilidad • Método de factores de certeza (MYCIN) • Método de pseudo-probabilidades subjetivas (Prospector) • Técnicas que extienden a probabilidad: • Teoría de Dempster-Shafer Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Técnicas empíricas Las primeras técnicas que surgen, cuando menos dentro del área de sistemas expertos, son técnicas empíricas o ad-hoc orientadas a resolver aplicaciones específicas y sin un fuerte fundamento teórico. Las más conocidas son las que corresponden a dos de los primeros sistemas expertos: Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
PROSPECTOR (exploración minera) • MYCIN (diagnóstico de enfermedades • infecciosas en la sangre) Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Sistemas basados en reglas En sistemas basados en reglas se tiene en general una estructura similar a la siguiente: Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Si: se observa cierta evidencia E Entonces: se concluye cierta hipótesis H con probabilidad (certeza, ...) P De aquí surgen varias interrogantes: • ¿Cómo obtener estas medidas? • ¿Cómo combinar estas medidas? • ¿Cómo interpretar estas medias? Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
MYCIN Las técnicas desarrolladas en MYCIN y Prospector son similares, ambas consideran sistemas basados en reglas a los que se les adicionan Factores de Certeza o Probabilidades Subjetivas, respectivamente. Veremos brevemente el método de MYCIN. Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Técnica de Factores de Certeza • Los autores de MYCIN dicidieron no aplicar probabilidad porque: • “... requiere de grandes cantidades de datos o numerosas aproximaciones y suposiciones” • Desarrollaron una técnica alternativa basada en factores de certeza (medidas no probabilistas) y técnicas para combinarlas Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Medidas básicas • MB[h,e] – incremento de la creencia en la hipótesis h dada la evidencia e • MD[h,e] – incremento en la no-creencia en la hipótesis h dada la evidencia e • Se pueden combinar en una sola medida, el factor de certeza: CF = MB – MD 0 £MB,MD £ 1 CF : [-1, +1] Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
MYCIN define un Factor de Certeza que se asocia a cada regla y cada evidencia, y se definen un conjunto de reglas para combinar estos factores. Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Redes de Inferencia • Un conjunto de reglas se pueden ver como una “red de inferencia” • Por ejemplo: • R1: si A y B entonces C • R2: si C entonces D • R3: si F entonces D • R4: si D entonces H A D H C B F Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Redes de Inferencia A • Tipos de combinaciones: • Conjunción/disjunción • Serie • Paralelo C B C D H C F Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Reglas de combinación 1. Propagación (fprop) o reglas en serie: 2. AND (conjunción), OR (disjunción) de evidencias: Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
3. Co-Conclusión (fco) o reglas en paralelo: Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
R1: IF A and (B or C) Then H cf 0.8 R2: If D and F Then B cf 0.6 R3: If F or G Then H cf 0.4 R4: If A Then D cf 0.75 R5: If I Then G cf 0.3 Ejemplo Se conoce: CF(A,Ev) = 1, CF(C,Ev) = 0.5, CF(F,Ev) = 0.7, CF(I,Ev) = -0.4 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
CF(A,Ev) = 1, CF(C,Ev) = 0.5, CF(F,Ev) = 0.7, CF(I,Ev) = -0.4 Ejemplo CF A 0.75 C H-1 D 0.6 0.8 B F H H-2 I G 0.4 0.3 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
CF(A,Ev) = 1, CF(C,Ev) = 0.5, CF(F,Ev) = 0.7, CF(I,Ev) = -0.4 Ejemplo CF A 0.75 C H-1 D 0.6 0.8 B F H H-2 I G 0.4 0.3x0=0 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
CF(A,Ev) = 1, CF(C,Ev) = 0.5, CF(F,Ev) = 0.7, CF(I,Ev) = -0.4 Ejemplo CF A 0.75 C H-1 D 0.6 0.8 B F 0.7 H H-2 0 G 0.4 Max[0.7,0]x0.4=0.28 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
CF(A,Ev) = 1, CF(C,Ev) = 0.5, CF(F,Ev) = 0.7, CF(I,Ev) = -0.4 Ejemplo CF 0.75x1=0.75 A 0.75 C H-1 D 0.6 0.8 B F 0.7 H H-2 0.28 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
CF(A,Ev) = 1, CF(C,Ev) = 0.5, CF(F,Ev) = 0.7, CF(I,Ev) = -0.4 Ejemplo CF A C H-1 0.75 D 0.6 0.8 B 0.7 F Min[0.75,0.7]x0.6=0.42 H H-2 0.28 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
CF(A,Ev) = 1, CF(C,Ev) = 0.5, CF(F,Ev) = 0.7, CF(I,Ev) = -0.4 Ejemplo CF min[1,max[0.5,0.42]]x0.8=0.4 A C H-1 0.8 0.42 B H H-2 0.28 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
CF(A,Ev) = 1, CF(C,Ev) = 0.5, CF(F,Ev) = 0.7, CF(I,Ev) = -0.4 Ejemplo CF 0.4 H-1 H H-2 0.28 0.4+0.28-(0.4)(0.28)=0.568 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Aplicación - MYCIN • Ejemplo de regla de MYCIN: SI la clase de organismo es gram positivo & la morfología del organismo es coco & la forma de crecimiento es cadenas ENTONCES la identidad del organismo es estreptococo (CF=0.7) Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Ventajas • Modularidad • Simplicidad computacional • Resultados comparables con expertos en aplicación médica (MYCIN) • Poco sensitivo a los valores de los CF´s (variación de +/- 0.2) Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Desventajas: Aunque pretendía apartarse de probabilidad, se ha demostrado [Heckerman 86] que la técnica de MYCIN corresponde a un subconjunto de probabilidad con una serie de suposiciones implícitas: Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
La evidencia es condicionalmente • independiente de la hipótesis y su negación. • La red de inferencia debe corresponder a un • árbol para que los resultados sean • coherentes. • Las fórmulas para conjunción y disjunción • (min y max ) sólo son válidas si uno de los • términos es subconjunto del otro. Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Estas suposiciones no son válidas en muchas aplicaciones por lo que el método de MYCIN no se puede generalizar. Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Antecedentes • Teoría para representar y combinar “grados de creencia”. • Esta teoría se desarrollo básicamente como una alternativa (extensión) a teoría de probabilidad ya que los autores consideraban que ciertas situaciones no eran representadas adecuadamente con dicha teoría. En especial dos aspectos: • • Representación de ''ignorancia" • • Representación de creencia NO asignada Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Ejemplo • Se tiene una moneda y dos situaciones distintas: • La moneda es “normal” por lo que tiene la misma probabilidad de cada lado • Se sabe que la moneda esta cargada con una mayor probabilidad de uno de los lados, pero no se sabe cual ni cuanto • Con probabilidades ambas situaciones se representan igual – P=0.5, no hay forma de distinguir ignorancia de igual probabilidad Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Diferencias con Probabilidad • La teoría de DS difiere en dos aspectos básicos de la teoría clásica de probabilidad: • Los grados de creencia se asignan a subconjuntos en lugar de a elementos individuales del dominio de referencia. • El axioma de aditividad no se forza, sino se substituye por una desigualdad. Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Diferencias con Probabilidad Estas diferencias tiene dos importantes implicaciones: 1.- La creencia en una proposición y su complemento NO necesariamente suman “1”. 2.- Se diferencia ignorancia de probabilidades iguales, dando la creencia no asignada al conjunto de todas las hipótesis. Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Fundamentos Teóricos La teoría de DS requiere de un conjunto de hipótesis exclusivas y exhaustivas: Θ - marco de dicernimiento 2Θ - conjunto de todos los subconjuntos de Θ En base a esto se definen dos medidas: • asignación básica de probabilidad (bpa) • función de creencia (Bel) Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Asignación básica de probabilidad (bpa) • Representa la porción de creencia asignada exactamente a un elemento A (subconjunto de Θ), sin incluir la creencia asignada sus subconjuntos. bpa=m(A): 2Θ ->[0,1] • Debe satisfacer las siguientes propiedades: 1 >= m(A) >= 0 (1) m(ø) = 0 (2) Σm(A)=1 (3) Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Ejemplo • Para el ejemplo de la moneda Θ = {águila, sol} 2Θ = [ {águila,sol}, {águila}, {sol}, Æ ] • Caso 1: igual probabilidad m({águila}) = 0.5, m({sol}) = 0.5 • Caso 2: completa ignoranica m({águila,sol}) = 1 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Función de creencia (Bel) • Es la creencia total en el conjunto A, incluyendo la creencia asignada propiamente a A, así como la de todos sus subconjuntos: Bel(A)=Σm(B), B Í A • Se puede demostrar que Bel satisface las siguientes propiedades: Bel(ø) = 0 Bel(Θ) = 1 Bel(A1ÈA2) >= Bel(A1) + Bel(A2) - Bel(A1ÇA2) Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Función de creencia (Bel) • Para una hipótesis sencilla (un solo elemento) se tiene que: Bel(A)=m(A) • Para el ejemplo de la moneda: • Caso 1: • Bel({águila,sol}) = 0.5 + 0.5 = 1 • Bel({águila}) = m({águila}) = 0.5 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Regla de Dempster • Para combinar distintas evidencias se calcula su suma ortogonal, aplicando lo que se conoce como la regla de Dempster, y obteniendo un nuevo grado de creencia (m) basado en la evidencia combinada: • Esta formula la podemos interpretar de la siguiente forma: • La evidencia E1 asigna la creencia ml al subconjunto Al • La evidencia E2 asigna la creencia m2 al subconjunto B1 • Entonces el producto de ambas (ml * m2) nos da la creencia en su intersección - A Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Regla de Dempster • La creencia total en A es simplemente la suma de las creencia asignadas de esta forma, es decir, la suma de la creencia de todas la intersecciones entre los conjunto Ai y Bj que den como resultado A. • Surge un problema si alguna de las intersecciones de el conjunto vacío, ya que no se puede asignar creencia a dicho conjunto (implicaría que la suma de bpa no sea l). Para resolver este caso hay que normalizar los bpa, es decir, inflar las creencias de los demás subconjuntos en forma proporcional a la creencia asignada al conjunto vacío. Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Regla de Dempster • Entonces la regla de Dempster en su forma general es: • Los nuevos valores de Bel para cada hipótesis son calculados de la misma forma, sumando los bpa's. Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Ejemplo • Si hubiera dos evidencias (expertos lanza monedas) respecto a la moneda cargada: • m1(A) = 0.7, m1(Θ) = 0.3 • m2(S) = 0.6, m2 (Θ) = 04 • Entonces: m2 \ m1 {A} 0.7 {Θ} 0.3 {S} 0.6 {Æ} 0.42 {S} 0.18 {Θ} 0.4 {A} 0.28 {Θ} 0.12 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Ejemplo • Normalizando: • k = 0.42 1-k = 0.58 • Entonces: • m1 Ä m2({S}) = 0.18 / 0.58 = 0.31 • m1 Ä m2({A}) 0.28 / 0.58 = 0.483 • m1 Ä m2({Θ}) 0.12 / 0.58 = 0.207 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Posibilidad • Mientras que Bel nos da la cantidad de creencia en cierta hipótesis, otra medida denominada la posibilidad (plausibility – Pl) indica la máxima creencia que pudiera asignarse a la hipótesis. La posibilidad se define como: P1(A) = 1-Bel(~A) • Bel da la creencia mínima y P1 la creencia máxima. Ambas definen un intervalo de creencia: [Bel(A), P1(A)] Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Posibilidad • El rango dentro del cual estaría la creencia en A de acuerdo a la evidencia conocida. La diferencia entre Bel y Pl nos indica la ignorancia, es decir, la creencia que NO ha sido asignada ni a la hipótesis ni a su complemento (o demás hipótesis). Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Ejemplo • Para el caso anterior: • Pl({A}) = 1 – 0.310 = 0.690 • Pl({S}) = 1 – 0.483 = 0.517 • Entonces: • A: [0.483 0.690] • S: [0.310 0.517] Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Otro Ejemplo • Consideremos una aplicación médica en la que hay cuatro posibles enfermedades (hipótesis): • Hepatitis (h/hep) • Cirrosis (c/cirr) • Cálculos en la vesícula (v/gall) • Pancreatitis (p/pan) Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Ejemplo Médico • Marco de dicernimiento (hipótesis) - jerarquía: Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Ejemplo Médico - subconjuntos Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar
Ejemplo Médico • Evidencia 1: intrahepática – 0.6 • Evidencia 2: no hepatitis – 0.7 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar