Unidade 4
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Unidade 4. Análise dimensional e semelhança mecânica. Vamos inicialmente discutir quais as vantagens de recorrermos a análise dimensional e semelhança.

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Unidade 4 l.jpg

Unidade 4

Análise dimensional e semelhança mecânica


Slide2 l.jpg

Vamos inicialmente discutir quais as vantagens de recorrermos a análise dimensional e semelhança.


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Estuda-se em laboratório a força de resistência recorrermos a análise dimensional e semelhança.(força de arraste) que um dado fluido (ρ1 e µ1) exerce no deslocamento de uma esfera (de diâmetro D) em seu meio.

A experiência realizada para o referido estudo é representada pela figura do próximo slide


Slide5 l.jpg

Variando-se a velocidade v recorrermos a análise dimensional e semelhança.1 , para uma dada esfera de diâmetro D1 e para um dado fluido (ρ e µ1), pode se obter a tabela apresentada a seguir:



Slide7 l.jpg

Podemos constatar facilmente que a curva representada no slide anterior é uma curva particular, mesmo porque apresenta, tanto na ordenada como na abscissa, grandezas dimensionais.

Objetivo - Generalizar as informações obtidas em laboratório.


Slide8 l.jpg

“Qual a força exercida em uma esfera de diâmetro D slide anterior é uma 2; quando esta se desloca no mesmo fluido com a velocidade v2?”

Condição: A resposta da questão deve ser obtida sem se recorrer a ensaios.

É justamente para satisfazer esta condição que recorremos à análise dimensional.

E para sua introdução deve-se inicialmente definir a função que caracteriza o fenômeno

Para que possamos exemplificar o objetivo mencionado anteriormente, vamos supor que nos seja dirigida a seguinte questão:


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Temos as seguintes variáveis que caracterizam o fenômeno: slide anterior é uma F - força de arraste D - diâmetro da esferav - velocidade da esfera ouvelocidade do fluidoρ - massa específica do fluido µ - viscosidade do fluido


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A análise dimensional determina os números adimensionais slide anterior é uma (números puros) que definem o fenômeno estudado. Para o exemplo anterior, temos:


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Pelo fato das duas situações: a ensaiada em laboratório e a é questionada, serem semelhantes, podemos afirmar que ambas são caracterizadas pelas mesmas variáveis, o que equivale a dizer que π1 e π2definem as duas situações.



Slide13 l.jpg

A partir da tabela anterior, podemos obter a representada a seguir:curva universal do fenômeno, que é aquela que tanto na ordenada como na abscissa, temos números adimensionais (números universais); o que equivale a dizer que, valem tanto para o fenômeno ensaiado em laboratório como para o fenômeno que é questionado. Pela condição de semelhança, podemos escrever que:


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Para o fenômeno questionado, temos os seguintes dados: ρ representada a seguir:2 = ρ1; µ2 = µ1 ; D2 e v2, e isto nos permite calcular:

Pela condição de semelhança é igual a p2)ensaiado.

Sabendo que π2)q = π2)e na abscissa da curva universal, podemos ler, na ordenada π1)ensaiado, que pela condição de semelhança e igual a π1)questionado.



Teorema dos p l.jpg
Teorema dos já que: p


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É o teorema que nos permite determinar os números adimensionais a partir da função característica.

Partindo-se da função característica, f (F, V, ρ, µ, D) = 0, a aplicação do teorema dos π respeita a seguinte seqüência:

1º PASSO:

Determinar o número de grandezas que influenciam o fenômeno - n

n = 5

2º PASSO:

Escrevemos a equação dimensional de cada uma das grandezas.

[F] = F

[V] = L x T-1

[ρ] = F x L-4 x T2

[µ] = F x L-2 x T

[D] = L


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3º PASSO adimensionais a partir da função característica.:

Determinamos o número de grandezas fundamentais envolvidas no fenômeno - K.

K = 3

4º PASSO: Determinamos o número de números adimensionais que caracterizam o fenômeno - m

m = n - K ∴ m = 2

5º PASSO:

Estabelecemos a base dos números adimensionais.

Definição de base- É um conjunto de K variáveis independentes comuns aos adimensionais a serem determinados, com exceção dos seus expoentes.

Variáveis independentes- São aquelas que apresentam as suas equações dimensionais diferentes entre si de pelo menos uma grandeza fundamental.

Para o exemplo, temos:

F, V, ρ, D ou F, V, µ, D como variáveis independentes.

ρ e µ como variáveis dependentes.


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Bases possíveis para o exemplo adimensionais a partir da função característica.:

ρ V F; ρ V D; F V D; µ V F; µ V D.

Para obtermos os adimensionais já estabelecidos para os estudos de Mecânica dos Fluidos, geralmente adotamos a base ρ V D, ou a que mais se assemelha a esta.

Para o exemplo, adotamos a base ρ V D.

6º PASSO : Escrevemos os números adimensionais, multiplicando a base adotada por cada uma das variáveis que restaram na função característica após a sua retirada.

π1 = ρα1 . Vα2 . Dα3 . F

π2 = ργ1 . Vγ2 . Dγ3 . µ


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Para obtermos os expoentes da base, substituímos cada uma das variáveis por sua respectiva equação dimensional, inclusive o número adimensional.

Para p1 tem-se:


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Para das variáveis por sua respectiva equação dimensional, inclusive o número adimensionalp2 tem-se:


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Condição de semelhança Completa das variáveis por sua respectiva equação dimensional, inclusive o número adimensional

Para que possamos obter as informações do protótipo (fenômeno não ensaiado), através das informações obtidas no ensaio do modelo, ambos devem ser caracterizados pela mesma função características, o que equivale a dizer, que tanto o protótipo, como o modelo, serão definidos pela mesma função equivalente W [W (π1 , π2 , π3 ....)=0].


A condi o de semelhan a completa estabelece que l.jpg
A condição de semelhança completa estabelece que: das variáveis por sua respectiva equação dimensional, inclusive o número adimensional

π1m = π1p

π2m = π2p

π3m = π3p   . . .

Escala de Semelhança

A escala de semelhança de uma propriedade α qualquer é sempre definida como sendo a relação entre αme αp.


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Exemplo: das variáveis por sua respectiva equação dimensional, inclusive o número adimensional


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