La clase virtual
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LA CLASE VIRTUAL. LOS NUMEROS COMBINATORIOS. NUMEROS COMBINATORIOS. Se recuerda que el factorial del número natural n es el producto de los números naturales de 1 a n, esto es, n!=1  2  3  …  n y que por convenio 0!=1. NUMEROS COMBINATORIOS.

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Presentation Transcript


La clase virtual

LA CLASE VIRTUAL

LOS NUMEROS COMBINATORIOS


Numeros combinatorios

NUMEROS COMBINATORIOS

  • Se recuerda que el factorialdel número natural n es el producto de los números naturales de 1 a n, esto es,

    n!=12  3  …  n

    y que por convenio

    0!=1


Numeros combinatorios1

NUMEROS COMBINATORIOS

  • Se llama permutación de n elementos a1, a2, a3, …, an

    a cualquier ordenación de los mismos. Por ejemplo: Las permutaciones de las 3 letras pqr son pqr, qrp, rpq, qpr,rqp,prq.

  • Teorema:El número de permutaciones de n elementos vale n!

  • En el ejemplo 3!=6


Numeros combinatorios2

NUMEROS COMBINATORIOS

  • En lugar de ordenaciones de los n elementos podríamos pensar en ordenaciones de k elementos extraídos de los n dados. Por ejemplo: las permutaciones de las tres letras pqr tomadas de dos en dos cada vez son

    pq, pr, qr, qp, rp, rq

  • Teorema: El número de permutaciones de n elementos tomados de k en k cada vez vale

    n!/(n-k)!.


Numeros combinatorios3

NUMEROS COMBINATORIOS

  • En nuestro ejemplo 3!/(3-2)!=6/1=6

  • Nota: Si en las permutaciones de n elementos tomados de k en k cada vez se admitiera repeticiones el número de tales permutaciones sería nk

  • En nuestro ejemplo 32=9:

    pp, pq, pr, qp, qq, qr, rp, rq, rr


Numeros combinatorios4

NUMEROS COMBINATORIOS

  • Se llama combinacióna una permutación en la que el orden no tiene relevancia y sólo qué elementos la forman

  • Por ejemplo: Sólo hay una combinación de las tres letras pqr, precisamente pqr. Las combinaciones de pqr tomadas de dos en dos son pq, pr, qr y tomadas de uno en uno p, q, r


Numeros combinatorios5

NUMEROS COMBINATORIOS

  • Teorema: El número de combinaciones de n elementos tomados de k en k viene dado por la expresión

  • El primer miembro de la expresión es la notación del número combinatorio n sobre k definido por el segundo miembro.


Numeros combinatorios6

NUMEROS COMBINATORIOS

  • Nota: Si en las combinaciones de n elementos tomados de k en k cada vez se admiten repeticiones, el número de tales combinaciones viene dado por


Numeros combinatorios7

NUMEROS COMBINATORIOS

  • Ejemplo: El número de combinaciones de las tres letras pqr tomadas de dos en dos cada vez es

    y si se admite repeticiones de letras


Numeros combinatorios8

NUMEROS COMBINATORIOS

  • El número combinatorio

    se puede calcular también de la forma


Numeros combinatorios9

NUMEROS COMBINATORIOS

  • Se justifica lo anterior mediante


Numeros combinatorios10

NUMEROS COMBINATORIOS

  • Se tienen las siguientes propiedades:


Numeros combinatorios11

NUMEROS COMBINATORIOS

  • La última propiedad permite obtener los números combinatorios de forma recursiva, dando origen al llamado triángulo de Pascal o de Tartaglia:


Numeros combinatorios12

NUMEROS COMBINATORIOS

  • Los números combinatorios aparecen como coeficientes del binomio de Newton:


Numeros combinatorios13

NUMEROS COMBINATORIOS

  • Utilizando la anterior expresión se puede probar inmediatamente:


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  • Permutaciones sin repetición

  • Denominamos permutaciones ordinarias o sin repetición de n elementos, a cada uno de los distintos grupos que pueden formarse de manera que:

  • En cada grupo entran todos los n elementos.

  • - Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación de los elementos.


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Al número de permutaciones ordinarias de n elementos lo representaremos por Pn y se calculará:

Pn=n.(n-1).(n-2)...3.2.1

a este  número lo llamaremos factorial de n y lo representaremos por n! , esto es:

                                   n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1

Si n = 1, se define 1!=1

Si n = 0  se define 0!=1


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EJEMPLOS


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Permutaciones con repetición.

Denominamos permutaciones con repetición de n elementos en los que uno de ellos se repite "a" veces, otro "b" veces y así hasta el último que se repite k veces ( a+b+c+....k = n);

todas las ordenaciones posibles de estos n elementos. Consideramos dos ordenaciones distintas si difieren en el orden de colocación de algún elemento ( distinguible ).

Notaremos a este tipo de permutación como:

y se calcularán:


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EJEMPLOS:


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Combinaciones

Denominamos combinaciones ordinarias o sin repetición de n elementos tomados de m en m,  (m<=n) a las distintas agrupaciones de m elementos de manera que:

- En cada grupo entren m elementos distintos

- Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento.

El número de combinaciones ordinarias de m elementos tomados de m en m lo notaremos Cn,my se calcula:


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