원주각
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1. 한 호에 대한 원주각의 크기는 일정 하다 . 2. 원주각은 그 호에 대한 중심각의 크기의 이다 . PowerPoint PPT Presentation


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원주각 과 중심각 사이의 관계. 1. 한 호에 대한 원주각의 크기는 일정 하다 . 2. 원주각은 그 호에 대한 중심각의 크기의 이다. P. * ∠APB =∠AQB = ∠AOB. 1 2. 1 2. Q. o. A. B. * ∠APB =∠AQB. 원주각 과 중심각 관계의 증명. * 원주각은 그 호에 대한 중심각의 크기의 이다. P. •. 증 1. ∠P 의 변 위에 원 중심이 있을 때. o. •. A. B.

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1. 한 호에 대한 원주각의 크기는 일정 하다 . 2. 원주각은 그 호에 대한 중심각의 크기의 이다 .

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Presentation Transcript


1 2

원주각과 중심각 사이의 관계

1.한 호에 대한 원주각의 크기는 일정하다.

2.원주각은 그 호에 대한 중심각의 크기의 이다.

P

*∠APB =∠AQB = ∠AOB

1

2

1

2

Q

o

A

B

*∠APB =∠AQB


1 2

원주각과 중심각 관계의 증명

* 원주각은 그 호에 대한 중심각의 크기의 이다.

P

증1.

∠P의 변 위에 원 중심이 있을 때

o

A

B

△OAP가 이등변삼각형 [∵ OP=OA]으로

1

2

1

2

1

2

∠P = ∠AOB

∴∠P = ∠AOB

*∠P +∠A = ∠AOB 인데

∠P = ∠A 이므로

2∠P = ∠AOB


1 2

원주각과 중심각 관계의 증명

* 원주각은 그 호에 대한 중심각의 크기의 이다.

P

증2.

∠P의 내부에 원 중심이 있을 때

o

B

* PQ 를 그으면

A

1

2

∠APQ = ∠AOQ(∵증명1 )

---①

1

2

1

2

1

2

Q

1

2

∠BPQ = ∠BOQ (∵증명1 )

---②

∠P = ∠AOB

1

2

∠APQ +∠BPQ = (∠AOQ+∠BOQ )

1

2

∠APB = ∠AOB

∴∠P = ∠AOB

① + ②


1 2

원주각과 중심각 관계의 증명

* 원주각은 그 호에 대한 중심각의 크기의 이다.

증3.

∠P의 외부에 원 중심이 있을 때

P

o

* PQ 를 그으면

Q

1

2

∠APQ = ∠AOQ(∵증명1 )

---①

A

B

1

2

1

2

1

2

1

2

∠BPQ = ∠BOQ (∵증명1 )

---②

∠P = ∠AOB

1

2

∠BPQ -∠APQ = (∠BOQ-∠AOQ )

1

2

∠APB = ∠AOB

∴∠P = ∠AOB

② - ①


1 2

호 와 원 주 각

Q

D

∠P = ∠Q

*

o

P

C

B

A

AB = CD

* 한 원 또는 합동인 두 원에서

1.길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같다.

2.크기가 같은 원주각에 대한 호의 길이는 같다.


1 2

호와 원주각의 증명

1

2

1

2

가. AB = CD

결. ∠P=∠Q

∠P = ∠AOB , ∠Q = ∠COD

Q

D

o

P

C

B

A

성질1.길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같다.

증.

그런데,

호의 길이가 같으면중심각 크기가 같으므로

∴∠P = ∠Q.

∠AOB =∠COD


1 2

호와 원주각의 증명

결.AB = CD

결. AB = CD

1

2

1

2

가. ∠P=∠Q

∠P = ∠AOB , ∠Q = ∠COD

Q

D

o

P

C

B

A

성질2.크기가 같은 원주각에 대한 호의 길이는 같다.

증.

∴ ∠AOB = ∠COD

그런데,

중심각 크기가 같으면 호의 길이가 같으므로


1 2

접선과 현이 이루는 각

B

P

A

T

▶원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는

그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다.

*∠BAT = ∠APB


1 2

‘접선과 현이 이루는 각’의 증명

B

P

는 원 O의 지름이므로

AB

A

T

*

∠APB는 반원인 의 원주각

AB

▶원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는

그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다.

증명 1.∠BAT = 90°인 경우

∴∠APB=90°(∵반원의 원주각)

∴∠BAT = ∠APB


1 2

‘접선과 현이 이루는 각’의 증명

B’

B

P

원 중심을 지나는 와 그으면,

PB’

AB’

AB’

가 지름이므로

A

T

*

▶원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는

그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다.

증명 2.∠BAT < 90°인 경우

∠B’AT = ∠APB’ = 90°

∠BPB’ = ∠BAB’(∵호BB’의 원주각)

∠BAT =

∠B’AT -∠BAB’

∴∠BAT=∠APB

∠APB = ∠APB’ -∠BPB’


1 2

‘접선과 현이 이루는 각’의 증명

B’

B

원 중심을 지나는 와 그으면,

PB’

AB’

AB’

P

가 지름이므로

A

T

*

∠BAT =

∠B’AT +∠BAB’

▶원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는

그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다.

증명 3.∠BAT > 90°인 경우

∠B’AT = ∠APB’ = 90°

∠BPB’ = ∠BAB’(∵호BB’의 원주각)

∴∠BAT=∠APB

∠APB = ∠APB’ +∠BPB’


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