Download
1 / 22
250 likes | 792 Views
Равнобедренные треугольники. Треугольник называетÑÑ Ñ€Ð°Ð²Ð½Ð¾Ð±ÐµÐ´Ñ€ÐµÐ½Ð½Ñ‹Ð¼ , еÑли у него …. две Ñтороны равны (риÑ. 1). Ðти равные Ñтороны называютÑÑ â€¦. боковыми Ñторонами ,. а Ñ‚Ñ€ÐµÑ‚ÑŒÑ Ñторона –. оÑнованием. Треугольник называетÑÑ Ñ€Ð°Ð²Ð½Ð¾Ñторонним , еÑли у него …. вÑе Ñтороны равны (риÑ. 2).
E N D
Равнобедренные треугольники Треугольник называетсяравнобедренным, если у него … две стороны равны (рис. 1). Эти равные стороны называются … боковыми сторонами, а третья сторона – основанием. Треугольник называетсяравносторонним, если у него … все стороны равны (рис. 2).
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой. Теорема Доказательство. Пусть ABC – равнобедренный треугольник, AC = BC,CD – биссектриса. Тогда треугольник ACD равен треугольнику BCD по первому признаку равенства треугольников (АС = ВС, СD – общая сторона, ACD = BCD). Следовательно, имеют место равенства:AD = BD, уголADCравен углуBDC. Первое из этих равенств означает, что CD является медианой данного треугольника, второе – что CD является его высотой.
Упражнение 1 На рисунке AB = BC. Докажите, что угол 1 равен углу 2. Решение: Треугольник ABC – равнобедренный, так как AB = BC. Следовательно, угол BACравен углу BCA, как углы при основании равнобедренного треугольника. Отсюда следует, что угол 1 равен углу 2 как смежные углы соответственно равным углам.
Упражнение 2 В треугольнике CDE угол1 равен углу2. Верно ли утверждение о том, что это равнобедренный треугольник? Ответ: Да.
Упражнение 3 В треугольнике FGH угол 1 равен углу 2 и равен углу 3. Верно ли утверждение о том, что это треугольник: а) равнобедренный; б) равносторонний; в) правильный? Ответ: а), б), в) Да.
Упражнение 4 Периметр равнобедренного треугольника равен 2 м, а основание - 0,4 м. Найдите боковую сторону. Ответ: 0,8 м.
Упражнение 5 Периметр равнобедренного треугольника равен 7,5 м, а боковая сторона - 2 м. Найдите основание. Ответ: 3,5 м.
Упражнение 6 Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м. Найдите его стороны, если: а) основание меньше боковой стороны на 3 м; б) основание больше боковой стороны на 3 м. Ответ: а) 3,2 м; 6, 2 м; 6,2 м; б) 7,2 м; 4,2 м; 4,2 м.
Упражнение 7 Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника относятся как 3:8. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 38 см. Ответ: 6 см; 16 см; 16 см.
Упражнение 8 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. Найдите ее длину, если периметр треугольника АВС равен 50 м, а треугольника АВD - 40 м. Ответ: 15 м.
Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами также равнобедренного треугольника. Упражнение 9 Доказательство: Пусть треугольник ABC равнобедренный (AC = BC). N, M, K– середины сторон. Тогда треугольники AMN и BMK равны по первому признаку и, следовательно, NM = MK, т.е. треугольник NMK равнобедренный.
Упражнение 10 В треугольнике АВС АВ = АС и угол 1 равен углу2.Докажите, чтоугол 3равен углу4. Решение: Треугольники ABE и ACD равны по второму признаку равенства треугольников (AB = AC, уголBAE равен углу CAD, угол ABE равен углуACD). Следовательно,уголAEB равен углу ADC, значит, угол 3 равен углу 4.
Упражнение 11 На рисунке AD = AE,угол CADравен углу BAE. Докажите, что BD = CE. Решение: Треугольники ACD и AEB равны по второму признаку равенства треугольников (AD = AE, уголCAD равен углу BAE, угол ADC равен углуAEB). Следовательно,CD = BE и, значит, BD = CE.
На рисунке CD = BD, угол 1равен углу2. Докажите, что угол ACBравен углуABC. Упражнение 12 Решение.Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (AD – общая сторона, BD = CD,угол ADBравен углуADC). Следовательно, равны соответствующие стороны AB и AC этих треугольников. Треугольник ABC равнобедренный и, значит, угол ACBравен углуABC.
На рисунке угол 1равен углу2,угол 5равен углу6. Докажите, что угол 3равен углу4. Упражнение 13 Решение.Треугольники ABС и ABD равны по второму признаку равенства треугольников (AB– общая сторона, угол ABCравен углуABD, угол BACравен углуBAD). Следовательно, равны соответствующие стороны BC и BD этих треугольников. Треугольник BCD равнобедренный и, значит, угол 3равен углу4.
На рисунке АВ = AD и DC = BC. Докажите, что угол ABCравен углуADC. Упражнение 14 Решение.Проведем отрезок BD. Треугольник ABD равнобедренный (AB = AD). Следовательно, угол ABDравен углуADB.Треугольник CBD равнобедренный (CB = CD). Следовательно, угол CBDравен углуCDB.Значит, угол ABCравен углуADC.
На рисунке DC = BC и угол Bравен углуD. Докажите, что АВ = AD Упражнение 15 Решение.Проведем отрезок BD. Треугольник BCD равнобедренный (BC = DC). Следовательно, имеет место равенство углов DBCиBDC.Из этого равенства и равенства углов ABC и ADC следует равенство углов ABD и ADB.Значит, треугольник ABD – равнобедренный и, следовательно, АВ = AD.
На рисунке AB = BC,CD = DE. Докажите, что угол BACравен углуCED. Упражнение 16 Решение.Треугольник ABC – равнобедренный и, следовательно, угол BACравен углуBCA. Треугольник CDE – равнобедренный и, следовательно, угол DCEравен углуDEC. Углы BCA и DCE равны как вертикальные. Следовательно, угол BACравен углуDEC.
На рисунке AB = BC, угол 1 равен углу 2. Докажите, что AD = CD. Упражнение 17 Решение.Проведем отрезок AC. Треугольник ABC равнобедренный (AB = BC). Следовательно, угол BACравен углуBCA. Из этого равенства и равенства углов 1 и 2 следует равенство углов DAC и DCA. Значит, треугольник DAC равнобедренный и, следовательно, AD = CD.
Упражнение 18 Докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны. Решение. Пусть ABC – равнобедренный треугольник (AB = BC), AN и CM – медианы. Тогда AM = CNи треугольники ACM и CAN равны по первому признаку. Следовательно, AN = CM.
На сторонах правильного треугольника АВС отложены равные отрезки AD,BE и CF. Точки D,E и F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEFправильный. Упражнение 19 Решение. Треугольники ADF и BED равны по первому признаку равенства треугольников (AD = BE,AF = BD, угол A равен углу B).Следовательно, DF = ED. Аналогично доказывается, что ED = FE.
На продолжении сторон правильного треугольника АВС отложены равные отрезки AD,BE и CF. Докажите, что треугольник DEFправильный. Упражнение 20 Решение. Треугольники ADF и BED равны по первому признаку равенства треугольников (AD = BE,AF = BD, угол A равен углу B).Следовательно, DF = ED. Аналогично доказывается, что ED = FE.
