Matematické modelování transportu neutronů

1. Konference komise JČMF pro matematiku na VŠTEZ 16. – 18. 6. 2010 Matematické modelování transportu neutronů Milan Hanuš

2. Proč se jím zabývat Co modelovat? Jaká jaderná zařízení se modelují? Jaké veličiny nás zajímají? Jaké úlohy se řeší? Jak modelovat? Jaký použít fyzikální model? Jaký použít matematický model? Jaký použít numerický model? Jak prakticky použít zvolené modely? Matematické modelování neutronového pole

3. Proč modelovat? simulace šíření neutronů v daném prostředí a zkoumání jeho důsledků • výběr nejvhodnější konfigurace jaderných zařízení

4. Proč modelovat? • simulace havarijních stavů

5. Proč modelovat? • návrh radiačního stínění

6. Proč modelovat? • plánování radiačních terapií

7. Proč modelovat? • prozkoumávání ropných nalezišť

8. Důležité veličiny • skalární neutronový tok: • vyjadřuje hustotu neutronů • koeficient násobení: • poměr počtu neutronů ve dvou po sobě jdoucích fázích štěpné řetězové reakce • popisuje vývoj neutronového toku • Aktivní zóna klasického jaderného reaktoru • snaha o rovnoměrné rozložení neutronového toku • kritický stav: • Aktivní zóna v urychlovačem řízených systémech • specifický neutronový tok v oblastech určených pro transmutaci MA • podkritický stav:

9. Typické úlohy • stacionární • úloha na vlastní čísla • určení koeficientu násobení a asymptotického rozložení toku • úlohy na kritické rozměry či složení štěpné soustavy • úloha s pevnými zdroji • asymptotické rozložení toku v podkritických systémech • návrh úložiště použitého paliva • radiační zátěž strukturálních prvků • kvazi-stacionární • sled stacionárních úloh v daných okamžicích pozvolného přechodového děje • kinetika Xe-135, I-135

10. Typické úlohy • kinetika • rychlé přechodové děje (nehody, ...) • dynamika • termodynamické zpětné vazby • změna koncentrace nuklidů • vyhořívání paliva, transmutace, ... TMI-1: prasknutí hl. parovodu + zaseknutá regulační tyč

11. ( + O.P., P.P. ) Matematicko-fyzikální model • Boltzmannova rovnice transportu neutronů popisuje rozložení směrového neutronového toku v prostoru, energetickém spektru, směrové sféře ačase • L... operátor přenosu ()– změna polohy • H ... operátorrozptylu ( ) – změna energie a směru • F… operátor štěpen () – implicitní zdroj neutronů • Q ... vnější neutronový zdroj (explicitní) í Skalární neutronový tok

12. Matematicko-fyzikální model • dominatní vlastní číslo: • příslušná vlastní funkce: Ustálený stav – vnější zdroje Ustálený stav – bez vnějších zdrojů, homogenní O. P.

13. Výpočetní metody • Deterministické • přímé řešení rovnice transportu neutronů • diskretizace nezávisle proměnných • přibližné metody pro vyčíslení integrálů, derivací • Statistické (Monte Carlo) • simulace pohybu jednotlivých svazků neutronů prostředím • pravděpodobnostní popis drah neutronů i jejich interakcí • statistické metody pro získání požadovaných informací • v porovnání s deterministickými metodami: • přesnější, snazší modelování komplexních geometrií • vyšší výpočetní náročnost, ztráta informací o některých veličinách

14. s Aproximace energetické závislosti Mnohagrupová aproximace

15. Deterministické numerické metody • rozvoj směrové závislosti do (konečné) řady podle bázových funkcí (sférické harmonické fce) • řešení transportní rovnice v konečném počtu směrů (diskrétní ordináty) • předpoklad izotropního pohybu neutronů(difúzní aproximace) • PDR v prostorových proměnných • diskretizace standardními numerickými metodami (FDM, FVM, FEM) • metody založené na integrální formulaci rovnice(metoda srážkových pravděpodobností, charakteristik) operátory + funkce matice + vektory

16. Nároky heterogenního 3D výpočtu zóny • 163kazet x 331proutků • FVM: 40 axiálních x 6 radiálníchpodoblastí • Celkový počet výpočetních oblastí:54000 x 240~ • Směr: 250 směrů(diskrétní ordináty 8. řádu) • Energie: 100 grup • Celkově neznámých • Paměťové nároky jen na uchování neznámých: 1TB(double precision) ~ 54000 elementárních oblastí ~ 240podoblastí na každou

17. Optimalizace nároků • Urychlení transportního výpočtu pomocí fyzikálních aproximací nižšího řádu (např. difúze) • Homogenizace + nodální metody (FDM, FVM) • řešení na hrubé síti zachycující všechny podstatné efekty mikroškál

18. Optimalizace nároků • Různé druhy adaptivní FEM aproximace • a posteriorní odhady chyb • adaptivita cílená na zpřesnění specifických veličin 2-grupový UOX/MOX benchmark (NEACRP-L-336) VHTR reaktor rozložení termálního toku výpočetní síť ve dvou fázích zpřesnění

21. přímé úlohy dány geometrie materiálové vlastnosti okrajové podmínky neznámý neutronový tok inverzní úlohy dány geometrie neutronový tok okrajové podmínky neznámé materiálové vlastnosti Přímé a inverzní úlohy detektor

22. Inverzní úlohy • postupné upravování materiálových parametrů v transportní rovnici tak, aby rozdíl jejího řešení a naměřených toků byl minimální • použití: • hraniční kontroly (pašování jaderných materiálů) • materiálový výzkum (neutronová CT) RTG 250 keV neutrony 14 MeV

23. Shrnutí – úlohy transportu neutronů • stacionární • kvazi-stacionární • kinetické • dynamické • s pevnými zdroji • na vlastní čísla • přímé • inverzní

24. Shrnutí – metody řešení • stochastické • metoda Monte Carlo • deterministické • aproximace směrové závislosti • metoda sférických harmonických funkcí, diskrétních ordinát • metoda srážek, charakteristik • difúzní aproximace • aproximace prostorové závislosti • FDM, FEM, FVM • nodální metody • aproximace energetické závislosti • mnohagrupová aproximace

25. Použité zdroje • http://www.ornl.gov/sci/ees/nstd/index.shtml • radiační stínění • https://engineering.purdue.edu/PARCS • simulace přechodového děje • http://neutra.web.psi.ch • inverzní úlohy • http://nuclear.tamu.edu/http://hpfem.org • adaptivita pro FEM Děkuji za pozornost