Les connaissances mathématiques ne devraient-elles pas être rêvées avant d’être enseignées ?

1. Les connaissances mathématiques ne devraient-elles pas être rêvées avant d’être enseignées ? Le merveilleux du rêve ouvre à des expressions émotionnelles d’un dynamisme affectif inhérent au désir, à la motivation. Rêver pour aborder plus aisément les productions plus objectives, plus rigoureuses propres à cette discipline.

2. Activité Cognitive et Images mathématiques/modélisées Sommaire A propos des mathématiques Uneéducation au problème. l' ACIM cherche à entraîner à .... Dimension cachée et l'implicite Aspects théoriques Les 5 “EX”. http://acim.ouvaton.org/ P Agostini - CPC ASH 14 -

3. A propos des mathématiques « écorché des écrits de WITTGENSTEIN par R PLANCHON » 1 - les mathématiquessontuneactivité. • autonome qui a sadynamiquepropre, sescontraintesintrinsèques et sacohérence interne. • qui fait des expériences qui sont d’un autreordreque les expériencesempiriques • elleconsiste en particulier à manipuler des symboles

4. 2 - les objetsmathématiques. • Les objetsmathématiques constituent des formesgénérales et conceptuelles • Cesformesfonctionnentcomme des normes, instruments de mesure à appliquer à la réalité pour structurercequ’onpeut en dire 3 - le sens. • Le sens d’un objet mathématiquen’existe pas en soimaisdans le cadre d’un réseauconceptuel • Et dans la dynamique de son usage 4 – vers les modélisations. • Nous avonsbesoind’uneautreforme de représentation • Les mots ne suffisent pas à exprimer les mathématiques, ni à les faire comprendre . P Agostini - CPC ASH 14 -

5. Uneéducation au problème. Un entraînement à vivre la tension : •  entre le sentiment d’impuissance, d’incapacité face à cette situation et le désir de comprendre pour mieux expliquer, •  entre le désordre, l’imbroglio, le nœud que l’on ne peut défaire et la recherche d’un ordre, d’une organisation qui donne sens •  entre ce vide qui nous attire pour nous faire disparaître et ce besoin d’exister, de trouver du sens •  entre la crainte des jugements de notre entourage et la nécessité de rester soi-même. P Agostini - CPC ASH 14 -

6. La démarche ACIM donne la possibilité de préparer et d’entraîner à la confrontation au problème. La modélisation systémiqueen est le support central.  Par son désordre apparent et sa complexité, elle provoque et pose problème. Un problème à la présentation débarrassée de la langue et de sa grammaire, une situation uniquement formulée au moyen de traces écrites, des signes et des symboles mis en relation. L’utilisation des modélisations permet de se familiariser avec l’abstraction, de s’autoriser à prendre en compte ses intuitions, de développer son imagination. Ainsi la situation de départ se trouve-t-elle enrichie au travers de la production d’hypothèses et l’élaboration de nouveaux contextes. La modélisation encourage l’individu à libérer sa spontanéité, son imagination, afin que s’opère une production intensive d’hypothèses. Ces hypothèses sont indispensables à l’élaboration du contexte propre au problème. Hypothèses et intuitions sont essentielles à la découverte de la solution. L’intuition est le support premier de toutes les hypothèses, lesquelles, une fois réorganisées, vont pouvoir faire apparaître de nouveaux concepts, de nouvelles connaissances. Toute connaissance est le résultat de la résolution d’un problème.

7. ACIM cherche à donner du sens aux mathématiques, à leurredonnerune dimension éthique et émotionnelle. Il s’agit de proposer d’autres formes d’approche des connaissances, des concepts, des définitions, des règles, notamment lorsqu’on s’adresse aux populations en délicatesse avec les mathématiques ou avec les activités scolaires en général. La démarche ACIM met en avant l’exercice de la pensée mathématique, ce qui implique l’entraînement à l’abstraction et à la manipulation de signes non figuratifs, lesquels assurent une représentation de la réalité facilitant la réflexion et la résolution de problèmes. En effet, la pensée mathématique suppose un effort d’abstraction pour traduire le réel au moyen de signes arbitraires, mais aussi pour rendre compte de ce qui n’existe pas toujours matériellement, de ce qui pourrait exister. Exercice 1

8. Qui se souvient du Programme d’Enrichissement Instrumental de Feurstein, des ARL, la dimension cachée et l'implicite ? »

9. Petit conte : la découverte du ciel par une nuit d’été : C’est une soirée d’été. Un adulte et un enfant se promènent. La nuit tombe. Le ciel étoilé se découvre peu à peu. ─ Regarde ce ciel. Regarde, c’est magnifique ! ─ Oui, c’est beau, toutes ces étoiles dans le ciel. On n’y comprend rien. Il y en a vraiment beaucoup. Est-ce qu’on peut les compter ? − C’est très difficile de les compter. Regarde, il y en a qui sont plus brillantes que d’autres, certaines sont à peine visibles, il y en a même qu’on ne peut pas voir. On dira qu’il y en a un très grand nombre. − Mais combien ? Plus de mille ? − A l’œil nu, on peut compter jusqu’à 5 à 6 000 étoiles, avec des jumelles on peut aller jusqu’à 10 000, avec des outils plus performants on arriverait à des millions et pour les astronomes ce seraient des milliards d’étoiles. − Alors on peut dire qu’il y a une infinité d’étoiles dans le ciel. Et que je vois l’infini ! − Si tu veux, oui. Parmi toutes ces étoiles, il y en a une qui est particulière et que je voudrais te montrer, c’est l’Etoile Polaire, l’étoile qui indique le Nord. Elle est là, regarde... L’adulte tend son bras dans la direction de l’Etoile Polaire. − C’est laquelle ? Celle-là ou celle-là ?

10. L’enfant fait le même geste que l’adulte. Lequel prend alors conscience que l’indication qu’il donne est bien insuffisante pour repérer l’étoile désignée. − Pour trouver cette étoile, nous allons d’abord nous mettre à la lumière avec un papier et un crayon. − Qu’est-ce que tu fais ? C’est quoi ce dessin ? − Je fais un dessin. C’est là la forme de la constellation que l’on appelle la Petite Ourse ou Ursa Minor. Là, les gros points sont les représentations des étoiles. Ce dessin, il est dans le ciel. Le dessin lui-même n’est pas tracé, c’est l’emplacement des étoiles qui va permettre de retrouver le dessin de la constellation dessinée. − Il faut que je retrouve ton dessin dans le ciel. C’est pas facile, il faudrait effacer des étoiles. − C’est ce que j’ai fait sur le papier. Regarde bien le dessin et essaie de le replacer avec les étoiles pour faire correspondre l’emplacement des étoiles avec le dessin ; les traits ne figurant évidemment pas dans le ciel, il faut les imaginer. On pourrait dire que cette constellation est composée d’une partie que l’on peut appeler le char, qui serait tiré par trois chevaux, trois étoiles. Sur le dessin, regarde, là le char, là les trois étoiles et elles se terminent par l’Étoile Polaire. L’enfant regarde le papier attentivement, mémorise le dessin. Se perd dans l’immensité étoilée. L’aide de l’adulte s’avère alors utile. La direction qu’il indique permet à l’enfant de mieux se repérer.

11. − Ca y est ! J’ai trouvé ! Je vois ton dessin ! Je vois la constellation ! Alors c’est ça l’Etoile Polaire, elle est toute petite, elle est difficile à trouver et elle ne brille pas beaucoup. − Pour la reconnaître, on se sert de la constellation de la Petite Ourse. Et pour aider encore à trouver la Petite Ourse on peut se repérer avec des étoiles plus brillantes qui forment la constellation de la Grande Ourse. − Tu me fais le dessin de la Grande Ourse ? ─ Voilà le dessin de la constellation de la Grande Ourse. Tu pourras la repérer plus facilement parce qu’elle est formée par des étoiles plus brillantes. Regarde comment elle se situe par rapport à la Petite Ourse. Ce sera un moyen de vérifier que tu as bien situé la Petite Ourse. Et donc de retrouver plus facilement l’étoile Polaire.

12. La multiplicité des objets que l’on peut voir et imaginer dans ce ciel nocturne a donné lieu à des constructions arbitraires, les constellations. De même, en mathématiques se sont élaborés différents domaines, différentes structures, organisées de façon cohérente, fermées comme des constellations mais aussi en liaison les unes avec les autres. Ces différentes structures, ces différentes constellations, forment un ensemble : le ciel, les mathématiques. Ce dialogue peut être un exemple illustrant des stratégies possibles pour l’éducation de la pensée mathématique. Au départ, il y a une réalité intouchable, un monde extérieur complexe, difficile à appréhender, un monde que je dois investir, ici : le système stellaire. Il s’agit de ramener ces faits vers un monde plus proche par la médiation de traces écrites. Ceci peut s’effectuer par une projection de ce qui est perçu et sa traduction dans un langage artificiel et conventionnel, dans notre cas : l’organisation arbitraire de quelques étoiles entre elles. Le dessin de la constellation, observé et mémorisé, facilite la reconnaissance des étoiles ainsi que leur distinction au sein de la multitude et du désordre qu’elles constituent.

13. Ici, il faut distinguer le problème de l’adulte et celui de l’enfant : - Pour l’adulte : comment donner les informations nécessaires pour que la connaissance soit accessible à l’enfant ? Comment aider celui-ci à élaborer l’image qui peut conduire à la connaissance ? Cette image, l’enfant aura besoin de la comprendre, de l’enrichir par extension, de l’interpréter pour en trouver différentes représentations possibles, avant de la mémoriser et de pouvoir l’appliquer dans des domaines variés. Les étoiles qui forment ici une constellation pourraient être des mots amenant à produire une proposition, image de la réalité d’une pensée. - Pour l’enfant : écouter les propositions, les règles, les comprendre, les mémoriser, imaginer des représentations. Observer et retrouver la place du dessin dans la réalité afin de vérifier sa validité au travers de son application.

14. Exercice 2 P Agostini - CPC ASH 14 -

15. La situation du ciel étoilé nous fait retrouver les caractéristiques de la démarche ACIM. Il s’agit de : • Partir d’une réalité impossible à manipuler directement pour aboutir à un système de signes, de traces, par un exercice d’abstraction qui permet de travailler sur la construction d’une représentation de la réalité. •   Travailler sur cette représentation pour chercher, inventer de nouvelles relations, de nouvelles organisations entre les signes afin de leur donner des significations nouvelles proches de connaissances déjà acquises. •   Porter un autre regard sur la réalité pour produire du sens qui conduit à reconnaître du connu. En effet, avant de se perdre dans les étoiles, il faut trouver une sécurité, une représentation familière, une référence assurée. Ici : reconnaître un char formé de quatre étoiles et son attelage de trois chevaux. •   Chercher à appliquer la règle pour résoudre le problème. •   Découvrir l’objet recherché, la réponse, la définition, le concept, et même la règle, à la suite de cheminements personnels dans la résolution de la situation problème. Situation balisée par les traces écrites du système : la "modélisation systémique".

20. Extension Expérimentation Exploitation Explicitation Démarche de résolution de problème Exploration LE PROBLEME

21. "les 5 ex- " Exploration : Il s’agit d’affronter (collectivement et individuellement) une situation complexe, de commencer à se repérer dans l’espace de la planche, puis de l’explorer et analyser activement. On y découvre des éléments connus, on projette des images personnelles, on propose des mots pour en rendre compte. C’est un temps d’expression orale et de mobilisation intellectuelle où l’on pourra expérimenter des premières hypothèses, prendre conscience de l’existence de différentes interprétations possibles, mais aussi convenir d’un vocabulaire commun. Parallèlement, on s’entraîne à se confronter à un problème, à se familiariser avec un certain chaos. L’enseignant, durant ce temps, peut évaluer quelque chose du niveau actuel du groupe et orienter ainsi la suite du travail. Expérimentation : C’est le temps de la recherche proprement dite. À partir du problème posé par la modélisation, il s’agit d’entrer dans les activités proposées par l’enseignant, mais aussi prendre en compte les idées de consigne qui ont pu émerger du groupe lui-même. Intervient l’élaboration de démarches cognitives et de raisonnements au travers de la mise en activité graphique de l’élève sur la planche (colorier, tracer, repasser, compléter, écrire,...) ; Il s’agit d’une expérimentation active, faite de recherche, d’investigation, de mise à l’épreuve d’hypothèses,... Le travail est individuel au début, suivi par un temps de discussion, confrontation et validation collectives. Explicitation : C’est le moment consacré à la mise en forme des résultats, à l’énonciation des lois, à la verbalisation, organisation et institutionnalisation des connaissances. Durant ce troisième temps, on reprend ce qui a été produit spontanément et intuitivement pendant l’expérimentation dans le but d’unifier, reformuler, organiser et normaliser les nouvelles connaissances, de découvrir la cohérence d’un champ conceptuel ou la vision globale d’un algorithme. Exploitation : Il s’agit de l’application directe du contenu de l’explicitation à des situations apparentées. C’est un moment d’entraînement (et non d’évaluation) et d’articulation avec la réalité concrète. C’est aussi le temps des réalisations pratiques s’appuyant sur les nouvelles connaissances qui ont été dégagées. Celles-ci sont introduites dans des situations et problèmes aussi variés que possible afin de valider et éprouver leur utilité, de délimiter leur champ d’utilisation. Extension : Sont proposés différents prolongements et approfondissements facultatifs, mais aussi des liens avec d’autres connaissances, des ouvertures où trouvera à s’exercer la créativité individuelle de chacun.

25. l' ACIM cherche à entraîner à rêver le désordre, le complexe  à poser les problèmesdansleurcontexte  à dominer les émotions qui leurssontattachées,  à en donner des représentationsécritessymboliques  à produire des hypothèses,  à résoudre les problèmesmathématiques  à se préparer à supporter et traiter les problèmes de la vie.

26. ASPECT THEORIQUES L’approche A.C.I.M. (Activité Cognitive et Images Modélisées) articule les mathématiques et le cognitif. A cet effet, la notion de problème est mise en avant comme concept charnière associant la dimension mathématique du cognitif et la dimension cognitive des mathématiques. Le problème se révèle également un outil méthodologique privilégié pour la construction et l’organisation de connaissances, ainsi que pour la pédagogie de disciplines à composantes abstraites et symboliques. La pratique A.C.I.M. conjugue l’apprentissage de contenus notionnels précis avec l’élaboration de contenants de pensée généralisables. Cela au travers d’activités de recherche et de production incluant communication et échanges inter-individuels. L’accent mis sur les interactions entre contenants et contenus, entre cognition et métacognition vise à faire progresser simultanément :  l’acquisition de connaissances mathématiques et symboliques utilisables dans des champs d’application variés (scolaires, professionnels, personnels),  la mise en place de comportements, compétences et attitudes favorisant le traitement des problèmes au sens large. Ces deux dimensions se trouvent associées à l’exploitation d’outils de médiation appelés « Modélisations Systémiques ». Visualisant l’organisation de systèmes complexes, les Modélisations soutiennent la construction, l’organisation et la mémorisation des connaissances. Elles constituent également des supports pour l’élaboration de stratégies de communication et d’action.

27. Il s’agit de mettre en oeuvre un dispositif de médiation/remédiation permettant à des enfants, des jeunes ou des adultes de réinvestir certains apprentissages, de construire de nouvelles connaissances, de communiquer à propos de leurs savoirs. Dans tous les cas, on travaille sur des champs conceptuels pluri-notionnels mettant en évidence les interactions qui donnent forme aux notions ainsi que les inter-relations qui leur donnent sens. Il devient alors possible à l’apprenant d’intérioriser des connaissances organisées perçues dans leur globalité, des connaissances ayant le statut d’outils conceptuels susceptibles de recevoir différentes contextualisations. A cela s’associe l’entraînement à se confronter à un problème, c’est-à-dire à affronter la complexité, à se familiariser avec le désordre (intérieur et extérieur), à aborder la nouveauté, à développer des démarches cognitives pertinentes et efficientes. En somme, l’utilisation des modélisations A.C.I.M. vise à créer un environnement autorisant la personne à retrouver confiance dans sa capacité à penser et à comprendre. Au travers de l’acquisition de connaissances - sources de reconnaissance pour l’individu - se trouve favorisé le développement d’une dynamique réflexive dans la relation que celui-ci entretient avec son environnement, son savoir et ses propres processus de pensée. P Agostini - CPC ASH 14 -