L’insieme dei naturali

1. L’insieme dei naturali

2. L’insieme dei naturali L’insieme dei numeri naturali N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,………. è un insieme limitato inferiormente, infatti 0N tale che nN si ha n ≥ 0; mentre è illimitato superiormente infatti nN n+1 N , dove n+1 è detto successivo di n. L’insieme dei numeri naturali è l’unione degli insiemi: P = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ,………. insieme dei numeri pari, che sono tutti i numeri naturali che terminano con 0, 2, 4, 6, 8; e D = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ,………. insieme dei numeri dispari, che sono tutti i numeri naturali che terminano con 1, 3, 5, 7, 9. E A A E

3. Operazioni in NAddizioneSottrazioneMoltiplicazione PotenzaDivisione

4. Addizione Diremo somma di nN e di mN e la indichiamo con n + m il numero naturale s che si ottiene considerando m successivi a partire da n. I numeri naturali n ed m sono detti addendi mentre s è detto somma. Esempio: 5 + 3 = 8 dove 5 e 3 sono gli addendi e 8 è la somma

5. Proprietà della somma A • 0N tale che nN si ha: n + 0 = 0 + n = n (esistenza dell’elemento neutro) • nN ed mN si ha: n + m = m + n (proprietà commutativa) • nN, mN e pN si ha: n + (m + p) = (n + m) + p (proprietà associativa) E A A

6. Sottrazione Diremo differenza tra nN ed mN, con n ≥ m, e la indichiamo con n – m il numero naturale d tale che d + m = n. Il numero naturale n è detto minuendo, m è detto sottraendo mentre d è la differenza. Esempio: 15 – 8 = 7 7 + 8 = 15

7. Proprietà della differenza E A • 0N tale che nN si ha: n – 0 = n (esistenza dell’elemento neutro) • nN, mN e cN con n ≥ m, n ≥ c, m ≥ c si ha: n – m = (n – c ) – (m – c ) (proprietà invariantiva: sottraendo al minuendo e al sottraendo uno stesso numero naturale la differenza non cambia) A

8. Moltiplicazione Diremo prodotto di nN ed mN, e lo indichiamo con n ∙ m il numero naturale p che si ottiene sommando m addendi uguali ad n, cioè : n ∙ m = n + n + n + ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ + n = p sono m addendi n ed m sono detti fattori p prodotto. Esempio: 5 ∙ 3 = 5 + 5 + 5 = 15 5 e 3 sono i fattori 15 è il prodotto.

9. Proprietà del prodotto E A • 0N tale che nN si ha: n ∙ 0 = 0 ∙ n = 0 (esistenza dell’elemento nullo) • 1N tale che nN si ha: n ∙ 1 = 1 ∙ n = n (esistenza dell’elemento neutro) • nN ed m N si ha: n ∙ m = m ∙ n (proprietà commutativa) • nN, mN e pN si ha: n ∙ (m ∙ p) = (n ∙ m) ∙ p (proprietà associativa) • nN, mN e pN si ha: n ∙ (m +p) = (n ∙ m) + (n ∙ p ) (proprietà distribuitiva del prodotto rispetto la somma) E A A A A

10. Multiplo e sottomultiplo di un numero Diremo multiplo di nN il numero m = k ∙ n con K  N – 0 Esempio: 18 è multiplo di 6 infatti 18 = 3 ∙ 6 Se n è multiplo di m m = k ∙ n , diremo che m è sottomultiplo di n. Esempio: 6 è sottomultiplo di 18 essendo 18 = 3 ∙ 6

11. Le tabelline

12. Nota: • Il prodotto di un qualsiasi numero, pari o dispari per un numero pari è sempre pari; mentre il prodotto di due numeri dispari è un numero dispari. (nelle tabelline del 2-4-6-8-10 i prodotti sono tutti numeri pari, mentre nelle tabelline del 3-5-7-9 i prodotti per i numeri pari è pari, mentre il prodotto per un numero dispari è dispari). • Il prodotto di a ∙ n è uguale ad a ∙ (n – 1 ) + a. Esempio: 3 ∙ 5 = 3 ∙ 4 + 3 = 15 • Il prodotto di a ∙ n è uguale ad a ∙ (n +1 ) – a. Esempio: 3 ∙ 5 = 3 ∙ 6 – 3 = 15 • Il prodotto di un numero per due è pari (quindi nella tabellina del 2 i prodotti sono tutti numeri pari) • La somma delle cifre del prodotto di un qualsiasi numero per tre è un multiplo di tre (nella tabellina del 3 la somma delle cifre è un multiplo di tre (3-6-9)) Esempio: 3 ∙ 8 = 24 dove 2 + 4 = 6. • Il prodotto di un qualsiasi numero per cinque termina con zero (se il numero è pari) oppure con cinque (se il numero è dispari) (quindi nella tabellina del 5 i prodotti sono tutti numeri che terminano 0 per o oppure per 5)) Esempio: 3 ∙ 5 = 15 • Il prodotto di un qualsiasi numero per sei è un numero pari la cui somma delle cifre è un multiplo di tre quindi nella tabellina del6 i prodotti sono tutti numeri pari la cui somma delle cifre è un multiplo di 3) Esempio: 7 ∙ 6 = 42 • Il prodotto di un qualsiasi numero per nove è un numero le cui decine sono una in meno del fattore diverso da nove e le cui unità sommate alle decine sono uguali a nove (quindi nella tabellina del 9le decine sono una in meno del fattore per cui si moltiplica e le somma delle unità con le decine è nove) Esempio: 6 ∙ 9 = 54

13. Potenza Definizione: Considerato aN ed n N, diremo potenza ennesima di a e la indichiamo con an,dove a è detta base ed n esponente il prodotto di n fattori uguali ad a, cioè: an = a ∙ a ∙ a ∙……… ∙ a sono n fattori. Esempio: 25 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32

14. Proprietà delle potenze A • a N si ha a0 = 1 (qualsiasi numero elevato a zero è uguale ad 1); • a N si ha a1 = a (qualsiasi numero elevato ad 1 è uguale a se stesso); • a N, nN ed m N, si ha: an ∙ am = an+m (il prodotto di potenze con stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti); • a N, nN ed m N con n ≥ m, si ha: an : am = an-m (il quoziente fra potenze con stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza fra gli esponenti); • a N, nN ed m N si ha: (an)m = an∙m(la potenza di una potenza è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base della potenza base e per esponente il prodotto degli esponenti). • a N, bN ed nN si ha: an ∙ bn = (a∙b)n (il prodotto di potenze con stesso esponente è uguale ad una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente dei fattori) • a N, bN ed nN si ha: an : bn = (a:b)n (il quoziente di potenze con stesso esponente è uguale ad una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente) A A A A A A

15. Prodotti per potenze di dieci aN ed nN – 0 si ha: a ∙ 10n è uguale al numero formato da a seguito da tanti zeri quanto è n. Esempi: 7 ∙ 1000 = 7 ∙ 103 = 7000 153 ∙ 100 = 153 ∙ 102 = 15300 A

16. Divisione Diremo quoziente tra aN e bN – o dove a è detto dividendo e b divisore e lo indichiamo con a : b il numero naturale q, mentre diremo resto il numero naturale r; a b q ∙ b + r = a q r

17. Proprietà della divisione • È impossibile la divisione per zero • nN si ha n : 1 = n (esistenza dell’elemento neutro) • Se n = k ∙ p ed m = k ∙ q, n : m ha lo stesso quoziente di p : q mentre il resto di p : q è uguale al resto di n : m diviso k (proprietà invariantiva: dividendo il dividendo e il divisore per uno stesso numero diverso da zero il quoziente non cambia mentre il resto rimane diviso per quel numero) Esempio: 138 27 138 : 3 = 46 46 9 135 5 27 : 3 = 9 45 5 3 1 dove 1 = 3 : 3 A

18. Numeri primi Diremo che a è divisibile per b se a : b ha resto zero. Un numero naturale n è primo se è divisibile solo per se stesso e per l’unità.

19. Crivello di Eratostene • Nel III secolo a.C. un matematico, Eratostene da Cirene,allievo di Euclide,aveva determinato un sistema per scrivere una sequenza di numeri primi. Volendo egli scrivere tutti i numeri primi, ad esempio fino a 150, aveva scritto su una lastra metallica una tabella formata dal numero 2, che è un numero primo, e da tutti i numeri dispari,escludendo i numeri pari essendo questi divisibili per 2. Aveva poi eliminato dalla tabella i multipli di 3, che è un numero primo, e che si trovano ogni tre posti dopo il 3, il primo numero non eliminato è 5 che è un numero primo, ogni 5 posti, compresi quelli eliminati, vi è un multiplo di 5 quindi Eratostene aveva eliminato tali numeri, il numero successivo non eliminato è il 7 che è un numero primo, ogni 7 posti, sempre compresi quelli eliminati, vi è un multiplo di 7 quindi Eratostene li aveva eliminati , procedendo sempre con lo stesso sistema Eratostene determina i numeri primi; la sua tabella è detta crivello perché per cancellare i numeri non primi, egli aveva,in corrispondenza di questi, forato la lastra, come in un setaccio. 2 - 3 - 5 - 7 - 9 -11- 13 - 15 - 17 -19 - 21 - 23 - 25 - 27 - 29 - 31 - 33 - 35 - 37 - 39 - 41 - 43 - 45 -47 - 49 - 51 - 53 - 55 - 57 - 59 - 61 - 63 - 65 - 67 - 69 - 71 - 73 - 75 - 77 - 79 - 81- 83 - 85 - 87 - 89 -91 - 93 - 95 - 97 - 99 - 101 - 103 - 105 -107 - 109 - 111 - 113 - 115 - 117 - 119 - 121 - 123 - 125 -127 - 129 - 131 - 133 - 135 - 137 - 139 - 141 - 143 - 145 - 147- 149 -…………….

20. Criteri di divisibilità • Un numero è divisibile per 2 se è pari, cioè se termina con:0, 2, 4, 6,8 esempio : 358 • Un numero è divisibile per 3 quando la somma delle sue cifre è un multiplo di 3 esempio: 762 poiché 7+6+2=15 multiplo di 3 il numero 762 è divisibile per 3. • Un numero è divisibile per 4 = 22 se il numero formato dalle sue ultime cifre è un multiplo di 4 oppure se termina con due zeri esempi: 79584- 3700. Un anno è bisestile se il mese di Febbraio è formato da 29 giorni, per stabilire se un anno è bisestile basta verificare che il numero che rappresenta l’anno è divisibile per 4. • Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 5 oppure 0 esempi: 9845-364500. • Un numero è divisibile per 6 = 2 ∙ 3 se è pari ed è divisibile per 3 esempio: 372 poiché 372 è pari ed 3+7+2=12 e quindi372 è divisibile per 3, il numero 372 è divisibile per 6.

21. Dal numero si elimina l’ultima cifra e da questo si sottrae il doppio del numero eliminato Si ottiene un numero più piccolo che è o non è multiplo di 7 insieme al precedente. Si ripete il procedimento ottenendo numeri sempre più piccoli con la stessa proprietà. Ci si arresta quando il sottraendo è maggiore del minuendo. Il numero è divisibile per 7 se lo è il numero risultato dell’ultima sottrazione. Esempio: stabilire se il numero 276752 è divisibile per 7 27675 – 4 = 27671 2767 – 2 = 2765 276 – 10= 266 26 – 12 = 14 1 – 8 = impossibile in N perché il minuendo è minore del sottraendo quindi poiché 14 è divisibile per 7 lo è il numero 276752 Divisibilità per 7

22. Divisibilità • Un numero è divisibile per 9 = 32 se la somma delle cifre è un multiplo di 9 esempio:7254 poiché 7+2+5+4=18 multiplo di 9 il numero 7254 è divisibile per 9. • Un numero è divisibile per 10n = 2n ∙ 5n se termina con n zeri esempi: 3500 è divisibile per 100=22∙52 48720 è divisibile per 10 = 2∙5 • Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari è un multiplo di 11oppure è zero esempi:9174 poiché 9+7 =16 e 1+4=5 16 – 5 =11 multiplo di 11 il numero9174 è divisibile per 11 35981poichè 3+9+1=13 e 5+8=13 13 – 13 = 0 il numero 35981 è divisibile per 11

23. Scomposizione in fattori primi Scomporre un numero in fattori primi significa scrivere il numero come prodotto di numeri primi. Per scomporre in fattori primi un numero occorre eseguire partendo dal numero dato delle divisioni successive cercando i divisori tra i numeri primi, in ordine crescente,fino ad ottenere un quoziente uguale ad 1. Per eseguire la scomposizione occorre tracciare accanto al numero una linea verticale, quindi scritto a destra di questa il divisore si scrive il quoziente sotto il numero da scomporre, si procede poi trovando gli altri divisori ed eseguendo di volta in volta la divisione. Esempio: 12600 22∙52 126 2∙3 21 3 7 7 1 quindi 12600 =23∙32∙52∙7

24. Massimo comune divisore Considerati due o più numeri diremo loro massimo comune divisore, e lo indichiamo con M.C.D., il più grande tra i loro divisori comuni. Esempio: determiniamo il M.C.D. tra 60 e 126 i divisori di 60 sono:1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30,60; i divisori di 126 sono:1,2, 3, 6, 7, 9,14, 18, 21,42, 63,126; i divisori comuni sono: 1, 2, 3, 6 quindi il M.C.D. è 6

25. Regola per determinare il M.C.D. Scomposti i numeri in fattori primi si ha: il M.C.D. è uguale al prodotto dei fattori comuni preso ciascuno una sola volta con il minore esponente. Esempio:determiniamo il M.C.D. tra 60 e 126 60 2∙5 126 2∙3 60=22 ∙5 ∙3 6 2∙3 21 3∙7 126=2∙32 ∙7 1 1 M.C.D.=2 ∙3 =6

26. Minimo comune multiplo Considerati due o più numeri diremo loro minimo comune multiplo, e lo indichiamo con m.c.m., il più piccolo tra i loro multipli comuni. Esempio: determiniamo il m.c.m. tra 6 e 8 i multipli di 6 sono: 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,……. i multipli di 8 sono: 8,16,24,32,40,48,56,64,72,80,88,96,……. i multipli comuni sono: 24,48,72,….. il minimo comune multiplo è 24

27. Regola per determinare il m.c.m. Scomposti i numeri in fattori primi si ha: il m.c.m. è uguale al prodotto dei fattori comuni e non comuni preso ciascuno una sola volta con il maggiore esponente. Esempio:determiniamo il m.c.m. tra 6 e 8 6 2 8 23 6=2∙3 3 3 1 8=23 1 m.c.m.= 23 ∙3 = 24