标量场和矢量场
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第一章 矢量分析与场论 PowerPoint PPT Presentation


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标量场和矢量场. 矢量场的初等运算. 矢量场的微、积分. 亥姆霍兹定理. 第一章 矢量分析与场论. 梯 度、散度、旋度. 场的图示法. -∞ < x <∞ X=C ; 是一截距为 C 且与 X 轴⊥的平面 直角 x,y,z -∞ < y <∞ Y=C ; 是一截距为 C 且与 Y 轴⊥的平面 -∞ < z <∞ Z=C ; 是一截距为 C 且与 Z 轴⊥的平面. 0≤  <∞  = C ; 是一 Z 轴为轴心半径为 C 的柱面

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第一章 矢量分析与场论

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Presentation Transcript


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标量场和矢量场

矢量场的初等运算

矢量场的微、积分

亥姆霍兹定理

第一章 矢量分析与场论

梯度、散度、旋度

场的图示法


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-∞<x<∞ X=C;是一截距为C且与X轴⊥的平面

直角 x,y,z -∞<y<∞ Y=C;是一截距为C且与Y轴⊥的平面

-∞<z<∞ Z=C;是一截距为C且与Z轴⊥的平面

0≤ <∞ =C;是一Z轴为轴心半径为C的柱面

圆柱 ,,z 0≤ <2 =C;是一过Z轴的半平面(子午面)

-∞<z<∞ Z=C;是一截距为C且与Z轴⊥的平面

0≤r <∞ r=C;是一O点为中心C为半径的球面

球面 r,, 0≤  ≤ =C;O为顶点Z为中心轴C为半顶角

的圆锥面

0≤  ≤2 =C;是一过Z轴的半平面(子午面)

1.1 常用坐标系(正交系)

形式 坐标 取值范围 几何意义

z

·

(x0 y0 z0)

z

(00 z0)

(r00 0)

z

·

·

r

y

O

O

x

O

y

x

x


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z

·

r

()

y

x

三种正交系的相互关系

  • X=cos = rsin cos

  • Y=sin = rsin sin

  • Z=rcosθ

  • r2= x2 + y2 +z2 = 2 + z2

  • = rsin 

  •  = arc tg(y/x)

  • = arc cos(z/r)

    cosα = (x/r)

    cosβ = (y/r)

    cos  = (z/r)

    cos2α +cos2β +cos2= 1


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1.2 标量与矢量

物理量通常是时间和空间的函数

描述空间的数学语言是坐标

描述物理量的数学语言是标量和矢量

算数量:>0

代数量:≠0

不变量:A·B

标量(A):只有大小没有方向的物理量

矢量(A):即有大小又有方向且符合平行四边形法则的物理量。

标量与矢量

复数


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粒子:有静止质量,两粒子不能同时占有同一空间位置。

场:没有静止质量,两个场能同时占有同一空间位置。

物质

标量场:其物理量为标量的场

矢量场:其物理量为矢量的场

场:某一物理量在空间的分布称场

物理量

静态场: A(M)

均匀场: A(t)

动态场 均匀平面场: A(z,t)

一般时变场: A(M,t)

场 A(或A)

1.3 标量场与矢量场


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A

eA

1

eA= A/A

A

A

er

对于不同的坐标系有不同的坐标单位矢量:

ez

ex ey ez

直角:

圆柱: eρej ez

ey

ex

er

ej

球面:

ej

有了单位矢量,矢量A就可表现为如下形式:

A = AeA

= Axex + Ayey + Azez = Aρeρ+ Aφeφ+Azez= Arer+Aφeφ+Aθeθ

矢量场的不变性

1.4 坐标单位矢量、常矢、变矢

单位矢量eA :模(大小)为1,以矢量 A 的方向为方向的矢量。

坐标单位矢量:指坐标(线)矢量上的单位矢量。

(若将坐标线标上方向则该坐标线称坐标(线)矢量)

常矢:大小和方向均不变的矢量。

变矢:大小和方向其中有一个发生变化的矢量。


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矢径(r):由O点指向空间任一点M的矢量OM 用 r 表示称矢径。

r = x ex + yey + zez = ρeρ+ zez = rer

源点和场点均占有空间位置,因此可用矢径表示:

源点:r′ = x′ex + y′ey + z′ez = ρ′eρ+z′ez = r′er

场点:r = x ex + yey + zez = ρeρ+ zez = rer

S′

R

P

r′

r

1.5 源点、场点、矢径、距离矢量

矢径是一特殊的矢量,具有明确的定义和表达式,

表示的是空间位置,没有物理含义。

源点:源所占有的空间位置称源点,用符号S′表示。

场点:除源以外的其它空间位置称场点,用符号P表示。

距离矢量 R:由源点指向场点的矢量,

用符号 R 表示。

R = r - r′


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② 图示

A

P(1,2,2)

r

注意:矢径和矢量的区别

例:已知,A = xyex + z2ey + yez

求:A及r在点P(1,2,2)的值,且图示。

解:① 求值

∵r = xex + yey + zez

由题意可知:x=1, y=2, z=2 将此代入A及r

得:A = 2ex + 4ey + 2ez ;r = ex + 2ey + 2ez

1.5 源点、场点、矢径、距离矢量


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设:A = Axex + Ayey + Azez

,B = Bxex + Byey + Bzez

A·B = A·Bcos(A·B ) = AxBx+AyBy+ AzBz

1.6 矢量的初等运算

矢量的初等运算与标量一样有加、减、乘但没有除

且以各矢量同在某一点为前提

A±B = (Ax±Bx)ex +(Ay±By) ey + (Az±Bz)ez

标乘

μA = μAxex +μAyey +μAzez

点乘

性质:1、若A·B = 0 则A⊥B

2、 A·A = A2

ex ey ez

Ax Ay Az

Bx By Bz

叉乘

A×B

A×B = A·Bsin(A·B )en =

B

en

性质:1、若A×B = 0 则A∥B

2、 A×A = 0

A


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1.6 矢量的初等运算

B

C

A

矢量初等运算规则(设:A、B、C都是矢量)

A+B = B+A ; A±(B±C) = (A±B ) ±C

A·B =B·A ; A·(B+C) = A·B+A·C

A×B = - B×A ; A× (B+C) = A×B+A×C

(A·B) C ≠ A (B·C) ; A× (B×C) ≠ (A×B) ×C

A× (B×C) = (A ·C) B - (A·B) C

A·(B×C) = B · (C×A) = C · (A×B)

‖ ‖ ‖ Ax Ay Az

[ABC] = [BCA] = [CAB] = Bx By Bz

Cx Cy Cz

若 B=C 则 A·B = A ·C及A×B = A ×C 成立

若 A·B = A ·C及A×B = A ×C 则 B=C不一定成立

结论:等式两边可同时“点”和“叉”,

但不能随意消去相同的量


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1、不同坐标系的变换

例:Φ=1/√x2 + y2 + z2 = 1/√ρ2 + z2 = 1/ r

2、坐标平移

例:若电荷q位于坐标原点O,则电位Φ=kq /√x2 + y2 + z2

若将电荷q置于坐标点 s′(x′y′z′)处,求电位Φ的表达式。

解:将坐标点 s′定义为新坐标系(u,v,w)的原点O′

则:Φ=kq /√u2 + v2 + w2= kq /√(x-x′)2 + (y-y′)2 + (z-z′)2

1.7 坐标变换

z

w

·

Φ

v

q

u

O′

q

y

O

x

x

z

3、坐标旋转

∵坐标系是一钢架,

∴当某一轴替代另一轴时,

其它轴也应相应变换。

z

y

O

y

y

x

O

x

O

z

原坐标

新坐标


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eu3

ev1

4、坐标单位矢量的变换

设:u 和 v 分别为正交坐标系

ev1 =cos(ev1eu1)eu1+ cos(ev1eu2)eu2+cos(ev1eu3 )eu3

=(ev1 ·eu1)eu1+ (ev1 ·eu2) eu2+(ev1 ·eu3 ) eu3

同理:ev2=(ev2 ·eu1)eu1+ (ev2 ·eu2) eu2+(ev2 ·eu3 ) eu3

ev3 =(ev3 ·eu1)eu1+ (ev3 ·eu2) eu2+(ev3 ·eu3 ) eu3

用矩阵表示:

ev1 ev1 ·eu1 ev1 ·eu2 ev1 ·eu3 eu1

ev2=ev2 ·eu1ev2 ·eu2ev2 ·eu3 eu2

ev3ev3 ·eu1ev3 ·eu2 ev3 ·eu3 eu3

eu2

eu1

以上讨论的是一般正交系的转换,由此可得:

直角坐标系、圆柱坐标系、球面坐标系间的单位矢量的变换关系

1.7 坐标变换


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1.7 坐标变换

方法(一):

由一般式,且设:u为直角坐标系、 v为球坐标系,则有:

er er ·ex er ·ey er ·ez ex

eθ= eθ·exeθ·eyeθ·ez ey

eφeφ·exeφ·ey eφ·ez ez

ez

er

ey

ex

cosα cosβ cosγ ex

= er(θ+90°,φ)·exer(θ+90°,φ)·ey er(θ+90°,φ)·ez ey

er(90°,φ+90°)·exer(90°,φ+90°)·ey er(90°,φ+90°)·ez ez

sinθ cosφ sinθ sinφ cosθex

= sin(θ+90°) cosφ sin (θ+90°) sinφ cos (θ+90°) ey

sin90° cos(φ+90°) sin90° sin(φ+90°) cos90°ez

sinθ cosφ sinθ sinφ cosθex

= cosθ cosφ cosθ sinφ -sinθ ey

-sinφ cosφ 0 ez

  • 球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换


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  • 球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换

1.7 坐标变换

er =sinθ cosφ ex + sinθ sinφey+ cosθez

ez

ez

er

er

sinθ

ey

φ

θ

ey

ex

ρ

ρ

ex

sinθ

sinθ

ρ

eθ = cosθ cosφ ex + cosθ sinφey - sinθez

er

ez

ez

er

cosθ

ey

ey

φ

θ

cosθ

ex

ρ

cosθ

ex

ρ

ρ

θ

φ

eφ =-sin φ ex+ cos φ ey

ey

φ

ex

ρ

方法(二):


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解:

ex =sinθ cosφ er + cosθ cosφ eθ - sin φ eφ

ey = sinθ sinφer + cosθ sinφeθ + cos φ eφ

ez =cosθer- sinθ eθ

例:已知,在点P(1,1,0)处有一常矢量A = 2ex + 4ey + 2ez

①求:A在该点的球坐标表达式。

②求:A在(√2,√2,2)点处的直角坐标和球坐标表达式。

①对于点(1,2,2): sinθ= 1, sinφ=1/ √2, cosθ=0,cosφ=1/ √2

因此:ex=1/√2er-1/√2eφ , ey=1/√2er+1/√2eφ , ez =-eθ

∴A =3√2er -2eθ+√2 eφ

②对于点(√2,√2,2): sinθ= sinφ= cosθ= cosφ=1/√2

因此:ex =1/2er+1/2eθ -1/√2eφ , ey =1/2er+1/2eθ +1/√2eφ

ez =1/√2 er-1/√2 eθ

球: ∴A =(3+√2)er +(3 -√2)eθ-√2eφ

直:∵ex ,ey ,ez为常矢,因而A不随点变化∴A = 2ex +4ey +2ez


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以上结果显示:

①同一矢量,在同一点其直坐标和球坐标表达式是完全不同的。

但由矢量场的不变性可知:

对于点(1,2,2): A =3√2er -2eθ+√2 eφ = 2ex + 4ey + 2ez

对于点(√2,√2,2):A =(3+√2)er +(3 -√2)eθ-√2eφ= 2ex +4ey +2ez

这提醒我们不要因为表达式的差异而忘了它们的不变性

即:无论你选择那种坐标,所得到的场性能都是一样的。

②同一常矢量,在不同点其直坐标下的表达式是不变的,

而球坐标下的表达式是完全不同的。

这表明除直坐标外:

坐标轴与坐标点有关,当点变化坐标轴也可能变。

对于每一种坐标系每个坐标点都与唯一的一组坐标轴对应

对于柱或球坐标系每条ρ或r射线都与唯一的一组坐标轴对应


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坐标元

任意元

坐标元

dx

直 dy

dz

柱 dφ

dz

dr

球 dθ

ex

ey ez eρej ez

er eθ

dx=

dy=

dz=

dρ=

dφ=

dz=

dr=

dθ=

dφ=

en

en

en

en

en

en

en

en

en

dσx =

dσy =

dσz =

dσρ =

dσφ =

dσz =

dσr =

dσθ =

dσφ =

z

dφ=ρdφeφ

dσz=dxdyez

z

z

dz

ρ

r

dy

dz

dσρ=ρdφdzeρ

dx

rdθ

dσz=-dxdyez

en

y

x

y

x

y

x

φ

1.8 微分元 微分元是矢量微、积分的基础。

坐标线元

dx

dy

dz

ρdφ

dz

dr

rdθ

rsinθdφ

坐标平面元dσ

若: 则dσ=

x=c, dydz

y=c, dxdz

z=c, dxdy

ρ=c, ρdφdz

φ=c, dρdz

z=c, ρdρdφ

r=c, r2sinθdφdθ

θ=c, rsinθdrdφ

φ=c, rdrdθ

坐标体元dv

dxdydz

ρdρdφdz

r2sinθdrdφdθ

en


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弧长元(切线)dl = dleτ

直:= dx+dy+dz =±dxex±dyey±dzez dl=√dx2+dy2+dz2

柱:= dρ+dφ+dz=±dρeρ±ρdφej±dzez dl=√dρ2+(ρdφ)2+dz2

球:=dr+dθ+dφ=±drer±rdθeθ ±rsinθdφeφ dl=√dr2+(rdθ)2+(rsinθdφ)2

曲面元(切面) ds = dsen

直: =dσx+dσy+dσz=±dydzex±dxdzey±dxdyezds=√(dydz)2+(dxdz)2+(dxdy)2

柱: =dσρ+dσφ+dσz=±ρdφdzeρ±dρdzej±ρdρdφez ds=√(ρdφdz)2+(dρdz)2+(ρdρdφ)2

球: =dσr+dσθ+dσφ=±r2sinθdφdθer±rsinθdrdφeθ±rdrdθej

ds=√(r2sinθdφdθ)2+(rsinθdrdφ)2+(rdrdθ)2

ds

en

⊿s

z

dl

z

dr

⊿l

dz

r

drer-rdθeθ

y

y

dx

x

dy

x

rsinθdφ

dσz

dl = -dxex+dyey+dzez =dρeρ +ρdφej+dzez =drer- rdθeθ +rsinθdφeφ


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概念:

1.8 微分元

坐标:空间某点的位置可用三个坐标(例:xyz)唯一确定。

坐标线:例:当y=a,z=c(a,c为常数)而 x 连续变化所形成的轨迹

称 x 坐标线。显然 和 坐标线为一族同心圆和半圆。

坐标轴:坐标线上某点的切线称坐标轴,方向为坐标增大的方向。

显然,只有x,y,z轴的方向不变,其它坐标轴的方向会变。

坐标元:坐标的微分量。

坐标线元:指与坐标元对应的坐标线,即坐标线上由坐标元引起的

一微小线段。显然,与dφ,dθ对应的是一微小的曲线,

∵很微小,∴可视为直线因而与坐标轴重合。

这表明:①坐标线元可用矢量表示,方向以坐标轴方向为基准。

②过某点引出的三条坐标线元是相关垂直的。

坐标面元:两条相关垂直的坐标线元构成的平面,显然这是一矩形。

弧长元(切线)dl: 由空间某点P可引出多条任意曲线,由P点起沿某曲线取一小段(即增量⊿l ) ,且过P点作该曲线的切线,切线上与增量⊿l 相应的切线元dl称弧长元,显然它是任意方向上的线元。

曲面元(切面)ds:与任意曲面在某点的增量⊿s 相对应的切面元。


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对时间的积分

对空间的积分

1、对时间的积分

设:A = A1eu1+ A2eu2+ A3eu3

例:矢量 A =t2xex + 2tyey + zez 求:∫1 Adt

0

1

0

解: ∫1 Adt =∫(3t2xex + 2tyey + zez )dt

= 3xex∫ t2dt+ yey∫2t dt+ zez ∫ dt

= xex + yey + zez

0

1

0

1

0

1

0

1.9 矢量积分

矢量场通常是时间、空间的函数,而时间、空间分别是独立的,∴对它们的积分可分别讨论,以使计算简化。

∫Adt = ∫A1eu1dt+ ∫A2eu2dt + ∫A3eu3dt

= eu1∫A1dt+ eu2∫A2dt + eu3∫A3dt

本教材假定所研究的对象是不运动的,即坐标原点O静止。

因此,单位坐标矢量是不随时间而变化的∴它们可以提到积分号外。


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标性

矢性

例: ∫ eρdφ

π

π

π

π

∴∫ eρdφ = ex∫ cosφdφ+ ey∫ sinφdφ= 0

2、对空间的积分

根据积分结果可分为两类

标性

∫A·dl = ∫Acos(A,dl) dl =∫(Axdx + Ay dy + Azdz)

= ∫(Aρdρ+Ajρdφ+Azdz) =∫(Ardr+ Aθrdθ +Ajrsinθdφ)

∫A·ds = ∫Acos(A,ds) ds =∫Axdydz + Aydxdz + Azdxdy

=∫Aρρdφdz+Ajdρdz+Azρdρdφ =∫Arr2sinθdφdθ+Aθrsinθdrdφ+Ajrdrdθ

∫fdv =∫f dxdydz =∫f ρdρdφdz = ∫f r2sinθdrdθdφ

矢性

∫f dl =ex∫fdx + ey∫fdy + ez ∫fdz

∫A dl =ex∫Axdl + ey∫Aydl + ez∫Azdl

解: ∵ eρ= excosφ+ eysinφ

1.9 矢量积分


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A

u1

A (u1 +⊿u1,u2, u3 , t) - A (u1,u2, u3 , t) A

⊿u1 u1

lim

⊿u1→0

eu2

u1

——= eu1——+eu2——+eu3——+A1——+A2—A3——

A1

u1

A2

u1

A3

u1

eu1

u1

=

eu3

u1

A2

u1u2

A2

u2u1

——— = ———

A

t

A

u1

du1

dt

则: —— = —— ——

μA

u1

A

u1

μ

u1

——=μ——+ ——

A

(A+B)

u1

A

u1

B

u1

——— = —— +——

C

u1

(A·B)

u1

B

u1

A

u1

—— = 0;

(A×B)

u1

—— =A· ——+ ——·B

B

u1

A

u1

——— =A×——+ ——×B

1.10 矢量微分

设:A (u1,u2, u3 , t)= A1eu1+ A2eu2+ A3eu3

一、定义:

若:

则:称矢量 A 是对自变量 u1 偏导数。依此类推可得其它偏导数

二、公式:

若:u1 = u1 (t),

三、运算

由式⑤①可将矢量A的偏导数用分量形式表示


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对时间的微分

对空间的微分

设:A (u1,u2, u3 , t)= A1eu1+ A2eu2+ A3eu3

1.10 矢量微分

对坐标单位矢量的偏导

对矢量函数的偏导

运算

……

ej

φ

—— = -eρ

时间:

eρ

φ

eρ

φ

证:

—— = ej

—— = ej

直:(ex , ey , ez )

(x,y,z,ρ,r,φ,θ)

∵ eρ= excosφ+ eysinφ

ej= -exsinφ+ eycosφ

—————— = 0;

空间

球:(er,eθ ,ej )

r

e

t

柱:(eρ ,ej , ez)

(z,ρ,r,θ)

————— = 0;

—— = 0;

————— = 0;

eρ

φ

φ

—— = ——(excosφ+ eysinφ)

= -exsinφ+ eycosφ= ej

与式⑵相比,原式得证

1、对坐标单位矢量的偏导

将式⑴代入原式:


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设:A (u1,u2, u3 , t)= A1eu1+ A2eu2+ A3eu3

= Axex + Ayey + Azez

= Arer + Aφeφ+Aθeθ

A

t

A1

t

A2

t

A3

t

时间:

——= eu1—— + eu2—— + eu3——

A

u1

eu2

u1

——= eu1——+eu2——+eu3——+A1——+A2—A3——

A1

u1

A2

u1

A3

u1

eu1

u1

eu3

u1

直: A Ax AyAz

x x x x

—— = —— ex+ —— ey + —— ez ; ……

柱:A AρAφAz

ρ ρ ρ ρ

—— = ——eρ + —— ej + ——ez

空间

A AρAφAz

φ φφ φ

—— = ——eρ + Aρej + —— ej - Aφeρ +——ez

A ArAθAφ

θ θ θ θ

—— = ——er + Are+ —— eθ- Aθer +——ej

球:A ArAθAφ

r r r r

—— = ——er + —— eθ +——ej

= Aρeρ+ Aφeφ+Azez

2、对矢量函数的偏导

以上结果显示矢量函数的偏导可转化为标量函数的偏导


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1.11 三度、二式、一定理

以上主要对矢量的初等运算、微分和积分进行了讨论

下面将对数学场论作介绍

定义

表达式

辅助量

性质

公式

三度: 梯度、散度、旋度

二式: 格林恒等式

一定理:亥姆霍兹定理


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1.11 三度、二式、一定理

定义在某数量场u 中某一点M0 处,存在这样的一个矢量G,函数u

在点M0沿G的方向发生变化,其变化率最大且模G正好等于变化率,

— u—

我们称矢量G为u 在点M0处的梯度,用符号grad u表示。由该定义可得如下关系:

l

du

dlG最大

lG

M0

G = grad u = ——eG

G

即定义式:

l

梯度:是一矢量,研究数量场u沿某路径变化率可达最大的问题。

∵由数量场u 的某点可延伸出许多条直线路径l ,而这每一个 l 又

分别是每一族曲线在该点的切线 (如图示) 。由导数的定义可知,

数量场u 沿曲线只要是同一族曲线包括切线 l 在内其变化率是相

同的。因而可将研究数量场 u 沿曲线变化的问题转化为沿直线变

化的问题。显然只有沿着不同的直线路径l 其变化率才不同,但

只有沿其中的一条路径l 变化其变化率可达最大。

由此定义式可导出更具实用意义的表达式


3701039

梯度

uuu

x y z

直:gradu = ——ex+ ——ey + ——ez



x y z

= (——ex+ ——ey + ——ez)u=▽u

uuu

ρ ρφ z

柱:gradu = ——eρ + —— ej + ——ez

  

ρ ρφ z

=(——eρ + —— ej + ——ez )u=▽u

uuu

r rθ rsinθφ

球:gradu = ——er + ——eθ+————ej



r rθ rsinθφ

= (——er + ——eθ+————ej)u =▽u

表达式

▽—— 哈密尔顿算符,是一矢性的微分算符

有了上面的表达式,梯度的计算就很容易进行


3701039

推导,以直坐标为例:

若对u 分别求柱、球坐标下的全微分,就可导出相应的表达式。

uuu

x y z

du= ——dx+ ——dy + ——dz

uuu

x y z

uuu

x y z

du uuu

dl x y z

= (——ex+ ——ey + ——ez )·dl

——ex+ ——ey + ——ez=A

——= (——ex+ ——ey + ——ez )·el

为运算方便,令: 则有:du/dl=A· el

对u 求全微分,则有:

又∵dl= dxex+dyey+dzez :

对上式两边同时除以dl ,

及又∵dl /dl=el , 则有:

A是一微分矢量。当u给定后,A在某点的大小和方向是确定不变的

el是某路径方向与u无关。 u可沿不同的路径l 变化,即el可变。

du/dl 若要达到最大,则u必须沿eA方向变化,即el =eA

因而du/dl=A· el =AeA ·el 应改为:du/dlA最大=AeA ·eA =A

这就是说,当u沿A方向变化时,其变化率达最大且正好=A的模

或对上式两边同乘以eA : du/dlA最大eA =AeA ·=A

将此与定义相比可知, A就是梯度即:G= A 证毕


3701039

辅助量 方向导数

梯度

性质 共有6条

证毕

∴ u2 -u1 >0

数量场u沿某路径l 的变化率称方向导数,记作du/dl

1、标量场u的梯度是矢量。

lG

2、简化了全微分的表达式:du=G·dl

G

l1

li

M0

l2

3、方向导数是梯度在该ln方向上的一个分量的模。

∵由前面的推导中已知:du/dl=G· el

du/dl

4、G方向总是指向u增大的方向,即u2 >u1 (在G方向上)

证:∵

u2

du

dlG最大

du

dlG

lG

G = ——eG = GeG

u1

即:——= G>0

l2

l1

又∵ 各ln的方向包括lG方向在内均以M0为起点向外,

即 各ln上的l2总是>l1 这就是说,若dl = l2 -l1 则dl >0

duu2 -u1

dlG l2 -l1

因而:——= —— >0


3701039

性质

梯度

5、G方向为等位线(或面)的法向,即eG=±en

等值线:指在二维数量场u(x,y,)中,将空间不同位置上但具有相等

场值的各点所连成的线。其表达式为:u(x,y,) = C

eG

el

等值面:指在三维数量场u(x,y,z)中,将空间不同位置上但具有相等

场值的各点所连成的面。其表达式为:u(x,y,z) = C

en

证:∵ u(x,y,z)= C ∴du = 0 因而:du/dl=G· el =Gcos(eG ,el )= 0

又∵G≠0 ∴ cos(eG ,el ) = 0 故:eG ⊥el

又∵ el为等位线(或面)的切线 ∴ eG=±en 证毕

6、

该式说明: ②梯度场若存在必是无旋场。

① ▽u = 0或≠0该式都成立,即该式不能说明梯度场是否存在。


3701039

公式

梯度

▽C= 0

▽Cu =C▽u

▽(uv)= u▽v±v▽u

▽(u/v)= (v▽u-u▽v)/v2

Mo

Mo

Mo

Mo

Mo

Mo

▽f (u)= f ′(u) ▽u

▽(u±v)=▽u±▽v

解: ∵du/dl=G· el 由题意 el =-en 即求du/dl=G· (-en )

u 2y √2

y b2b

又∵

—— =-—— =-——

√2

b

√2

a

√2

b

√2

b

√2

a

√2

a

Mo

en

u 2x √2

x a2a

—— =-—— =-——

则在点Mo处的梯度为:

令:u=0 可见其等位线与题中的曲线相同,这意味着eG=±en

另外,分析上式:eG=- en

可见, du/dl=G· (-en ) =G· eG = G = √2(a2 +b2 )/ab

G=▽u =-( ex + ey )

例:求u=1-[(x/a)2+(y/b)2]在点Mo(a/√2,b/√2)处

沿曲线1=(x/a)2+(y/b)2的内法线的方向导数。


3701039

散度:是一标量,研究矢量场A在某点处其通量对体积的变化率。

力线

通量

散度

辅助量 通量

1、矢量线(力线):一种假想的线。

  • 矢量线上任一点的切向就是矢量A在该点的方向;

  • 矢量A的大小正比于过M0点且与力线正交的单位面

    积上的矢量线的根数。即力线的疏密表征A 的大小;

2、矢量场的通量

通量:指矢量A垂直通过某一曲面的矢量线的总根数。 ※ 反映了矢量场通量源的分布情况。

∫A·ds

S

 =∫A·ds

曲面:

闭曲面:

 =

∵垂直过曲面∴通量定义中的曲面是有向曲面即S 是

矢量,方向以矢量线穿出为正,有闭及不闭面二类。

由通量及矢量A 的大小,不难导出求通量的表达式:


3701039

∫A·ds

V

V

lim

v→0

(Ω→M0)

lim

v→0

(Ω→M0)

即:

divA = —— = ————

称定义式

表达式

设:A=Axex +Ayey +Azez =Aρeρ+Aφeφ+Azez=Arer+Aφeφ+Aθeθ

Ax AyAz

x y z

直:divA = —— + —— + ——

=▽·A

AρAρAφAz

ρ ρ ρφ z

柱:divA= —+ —— + ——+ ——

=▽·A

ArAθAφ 2ArctgθAθ

r rθ rsinθφr r

球:divA= ——+ ——+———— + —— + ——

=▽·A

定义设有一矢量场A(M),于场中某一点M0 处作一包含M0点

在内的任一闭曲面(S),所包的空间区域的体积大小用

V表示,矢量A(M)穿过该曲面(S)的通量为。则此通量

在M0点对体积 V 的变化率称矢量A(M)在点M0处的散度,

用符号divA表示。

M0

散度


3701039

= Ax dydz + Ay dxdz + Az dxdy

∵ =

由奥氏公式:

=∫

由中值定理:

V

M0

 Ax AyAz

V x y z

常数

上式两端同除以V:

——=(—— + —— + ——)

Ax AyAz

x y z

Ax AyAz

x y z

Ax AyAz

x y z

(—— + —— + ——) dV

=(—— + —— + ——)

∴ divA = —— + —— + ——

 Ax AyAz

V x y z

M0

M0

lim

v→0

(Ω→M0)

对上式取极限:

——=(—— + —— + ——) = divA(M0)

∫A·ds

证毕

推导,以直坐标为例:设:A=Axex +Ayey +Azez

dS=dydzex +dxdzey+dxdyez

∵ M0为任意确定点故可不表现出来,即:divA(M0) → divA

散度


3701039

散度

=∫A·ds

=∫▽·AdV

2、散度定理(矢量场的高斯定理):

性质 共有4条

s

Ω

该公式表明了区域Ω中场A 与边界S上的场A 之间的关系

3、矢量场的散度值表征空间中通量源的密度;

ρv

▽·A=

ρ — 通量源密度

即:

a) 若Φ>0则▽·A>0,闭合面内有产生矢量线的正源

A为有源场

b) 若Φ<0则▽·A<0,闭合面内有吸收矢量线的负源

c) 若Φ= 0则▽·A = 0处处成立,闭合面内无源 A为无源场

Ω

(div A>0正源)

(div A =0无源)

(div A<0负源)

1、矢量场A的散度是一个标量;

4、矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性;


3701039

公 式

P

r

q

4per2

例:已知 求: ▽·E

E= ——— er

S

O

q

4per2

q

解:选择球坐标,则Ar= ——Aθ= Aφ =0

q

2per3

q

2per3

▽·E = - —— + —— = 0

q

4per2

=∫▽·EdV

=∮——r2sinθdφdθ=q/e

Ω

=∫E·ds

∫(q/e)δ(r)dV

=

s

Ω

ArAθAφ 2ArctgθAθ

r rθ rsinθφr r

球:divE= ——+ ——+———— + —— + ——

▽·C= 0;

▽·(CA)=C▽·A;

▽·(A±B)=▽·A±▽·B;

▽· (uA)= u▽·A+A·▽u

r ≠ 0

当r = 0或≠0时:

∴▽·E= (q/e)δ(r)

散度


3701039

旋度:是一矢量,反映矢量场A在场某点处环量对面积的最大变化率

旋度

环量

环量面密度

旋度

辅助量

en

S

l

在矢量场A的空间中,取一有向闭合路径l ,矢量A沿l 的积分(即矢量A的环路积分)称环量 。即:

M0

 =

在场矢量A空间中,围绕空间某点M0取一面元S,其边界曲线为l ,面元法线方向为en。则A沿l 的环量对面元S的变化率,称A在点M0处沿en方向的环量面密度,用符号rotnA表示。

∫A·dl

S

∫A·dl

lim

⊿S→0

(l→M0)

即:

rotnA= ————

1、环量()

环量的意义:①若矢量场环量为零,则矢量场是无涡漩的流动;

②反之,矢量场存在着涡漩状的流动。而环量正反

映了矢量场漩涡源的分布情况。

2、环量面密度(rotnA)

环量面密度意义:表示矢量场A在点M0处沿en方向的漩涡源密度


3701039

∫A·dl

⊿SR

⊿

⊿SR

lim

⊿SR→0

(l→M0)

R= rotA = ——eR= ————eR= ReR

lim

⊿SR→0

(l→M0)

即:

显然,在场矢量A空间中,围绕空间

某点M0可取很多个边界曲线为l、 面元为

S、法线方向各异(如图)的平面。在点

M0处沿不同en方向上的环量面密度(rotnA)

各不相同,但有一个可达最大。

en

M0

定义若在矢量场A(M)中某一点M0 处,存在这样的一个矢量R,矢

量场A(M)由点M0处沿R方向所得的环量对面积的变化率(即环

量面密度)达最大且正好等于模R,则称矢量R为矢量场A(M)

在点M0处的旋度,用符号rot A表示。由该定义可得如下关系:

由此定义式可导出更具实用意义的表达式

旋度


3701039

表达式

ex ey ez



x y z

Ax AyAz

直:rotA = R =— — —

= (—— - ——)ex+ (—— - ——)ey + (—— - ——) ez

Az AyAx AzAy Ax

y z z x x y

eρρej ez



ρ φ z

AρρAφAz

柱: rotA = R = — — — =▽×A

1

ρ

erreθ rsinθej



r θφ

ArrAθrsinθAφ

球:rotA = R =— — — =▽×A

1

——

r2sinθ

设:A=Axex +Ayey +Azez =Aρeρ+Aφeφ+Azez=Arer+Aφeφ+Aθeθ

=▽×A

旋度


3701039

推导,以直坐标为例:设:A=Axex +Ayey +Azez

= Ax dx + Ay dy + Az dz;

∵  =

l

l

 =∫

(—— - ——)dydz+ (—— - ——)dxdz+ (—— - ——)dxdy

Az AyAx AzAy Ax

y z z x x y

⊿S

令:B = (—— - ——)ex+ (—— - ——)ey + (—— - ——) ez

Az AyAx AzAy Ax

y z z x x y

又∵dS=dydzex +dxdzey+dxdyez ; 及中值定理,

∴ =∫ B·dS=∫ B·endS =B·en⊿S

⊿S

⊿S

M0

∫A·dl

⊿S

∵ M0为任意确定点

故 可不表现出来。

上式两端同除以

⊿S并且取极限:

lim

⊿SR→0

(l→M0)

———= B·en = B·en

∫A·dl

M0

两端同乘eB:

且与定义比较:

∫A·dl

⊿SB

lim

⊿SR→0

(l→M0)

eB

eB

可得:

B=R=▽×A= rotA

——— = B

max

由斯托克斯公式:

环量面密度若要达到最大,则必须沿eB方向变化,即en =eB

旋度


3701039

性质 共有6条

∫A·dl

=∫▽× A·dS

2、斯托克斯定理: 这表明:

l

s

1、矢量场A的旋度仍为矢量,是空间坐标的函数;

矢量场A 的环路积分等于该矢量场A 的旋度通过该曲面的通量

3、 ∵由前面的推导已知: rotnA = rot A · en 这表明:

旋度R在任一方向en上的投影(即分量)等于该方向的环量面密度

4、▽·▽× A≡ 0即 ▽×A=0或≠0 该式均成立。

该式说明旋度场是一无源场,但不能说明旋度场是否存在。

5、矢量场的旋度值表征空间中旋涡源的密度;

即:▽× A = J J —— 旋涡源密度

6、若rot A=0处处成立,A为无旋场。力线呈无旋涡的流动状态,力线有头尾。此时,=0 即A的环路积分与路经无关故又称保守场。

若rot A≠0这表:A为有旋场,其力线无头无尾。

旋度


3701039

∫▽× H·dS=

∫H·dl

= I =∫Iδ(x)δ(y)ez·dS

s

l

s

公 式

▽×C= 0;

▽× (A±B)=▽×A±▽×B;

▽× (CA)=C▽×A;

▽×(uA)= u▽×A-A×▽u

▽·(A×B)=B·(▽×A)-A·(▽×B)

I

I

2pρ

例:已知 求: ▽×H

H= —— eφ = Hφeφ

解:选择柱坐标

eρρej ez



ρ φ z

0 ρHφ 0

▽×H= — — — = 0

1

ρ

ρ ≠ 0

当ρ= 0或≠0时:

∴▽× H = Iδ(x)δ(y)ez

旋度


3701039

 =∫Fs·dl = 0

 =∫Fl·dl =i

▽·Fs = ρv

l

l

▽× Fl = J

Φ =∫Fs·ds =Q

Φ =∫Fl·ds =0

s

s

亥姆霍兹定理:在有限区域内,任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件(即矢量场在有限区域边界上的分布)唯一确定。它可表现为:

矢量场(F) =梯度场(Fs) + 旋度场(Fl) = -▽u +▽×A

u —— 梯度场的标量位A —— 旋度场的矢量位

讨论:① 场、源、度的关系

∵ ▽×▽u≡ 0, ▽·▽×A≡ 0 即:梯无旋,旋无散

∴ ▽·▽u≠ 0, ▽×▽×A≠ 0 这说明:

梯度场是一有源无旋场: Fs的力线是有头有尾的发散线

旋度场是一无源有旋场: Fl的力线是无头无尾的闭合线


3701039

=0

≠0

=0

≠0

对式⑴两边求旋度: ▽×F= - ▽×▽u +▽×▽×A

∵ ▽×▽u≡ 0则:▽×F= ▽×▽×A

▽· F=0,F为纯旋度场

▽×F =0, F为纯梯度场

▽· F≠0,▽×F ≠0,F为合成场

讨论:② 怎样判断场F的属性

∵矢量场(F) =梯度场(Fs) + 旋度场(Fl) = -▽u +▽×A ⑴

对式⑴两边求散度: ▽· F= - ▽·▽u +▽·▽×A

∵▽·▽×A≡ 0 则: ▽· F= - ▽·▽u

若:F 存在,则▽· F=0说明F中没有梯度场但必有旋度场

若▽· F≠0说明F中有梯度场但不一定有旋度场

若:F 存在,则▽×F=0说明F中没有旋度场但必有梯度场

若▽×F≠0说明F中有旋度场但不一定有梯度场


3701039

一般场 电磁场

电荷密度:产生梯度场

电流密度J:产生旋度场

场域边界条件

矢量F的通量源密度

矢量F的旋度源密度

场域边界条件

讨论:③ 调和场

若矢量场A 在某区域内,处处有: ▽·A≡ 0和▽×A≡ 0则在该区域内,场A为调和场

例:抠出源点的静电场

注意:不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。

亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义

是研究电磁场的一条主线


3701039



x y z

22 2

x2y2z2

直:▽=(——ex+ ——ey + ——ez)

直:▽2=—— + —— + ——

注意▽与各

符号的对应,

不要盲目替代

  

ρ ρφ z

2 2 2

ρ2 ρ2φ2 z2 ρρ

柱:▽=(——eρ + —— ej + ——ez )

柱:▽2=(——+ —— + —— + ——)



r rθ rsinθφ

球:▽= (——er + ——eθ+————ej)

222 2  ctgθ

r2 r2θ2 r2sin2θφ2rrr2 θ

球:▽2=——+ —— +—————+ — —— +————

标性: ▽2 u =▽·▽u= div gradu

矢性: ▽2 A=▽(▽·A) -▽×(▽×A)= graddiv A-rot rotA

1.12 微分算子

▽—— 哈密尔顿算符,是一矢性的一阶微分算符

有以下三种形式 :

▽u=grad u

▽·A =divA

▽×A = rot A

其它形式(如下)无意义:

▽·u 、▽A、▽×u

▽·▽=▽2—— 拉普拉辛算符,是一标性的二阶微分算符


3701039

  

ρ ρφ z

  

ρ ρφ z

▽=(——eρ + —— ej + ——ez )

=(——eρ + —— ej + ——ez ) ·

柱:

A=Aρeρ+Aφeφ+Azez

(Aρeρ+Aφeφ+Azez )

▽·A


3701039

等位线(面)

矢量线

dx dy dz

Ax Ay Az

—— = —— = ——

u(x,y,z) = C

1、等位线(面)不是一个而是一族。∵C为任意常数;

2、等位线(面)互不相交; ∵M点只与一个坐标值对应

3、同一等位线(面)可能分裂成几部分存在;例: u(x,y,) = x y=C

4、等位线(面)是一闭合线(面),只要域足够大;

∵dl∥A

∴ dl×A=0

dl

1.13 场的图示法(一种辅助分析、计算的方法)

标量场( u)矢量场(A)

形式

表达式

性质

关系

1、矢量线不是一条而是一族;

2、矢量线互不相交(除奇异点)

3、有源场的矢量线至少有一部分是有头有尾的发散线;

4、无源场的矢量线全部都是无头无尾的闭合线;

若A = grad u 则A 线与等位线(面)正交


3701039

解:∵

dx dy

Ax Ay

—— = ——

则有:

→ Aydx =Ax dy 由题意→ -xdx = ydy

x y

1 0

取积分:∫ -xdx =∫ ydy

-x2/2 =y2/2

x y

1 0

整理得 :x2/2 +y2/2 = 1/2 → x2 +y2= 1

由题意 : Az = 0 → dz = 0 → z = 0

0

dx dy dz

Ax Ay Az

—— = —— = ——

故矢量线方程: x2 +y2= 1 ,z = 0

例:求矢量场A=y ex - x ey 过点(1,0,0)的矢量线方程。


3701039

  

ρ ρφ z

  

ρ ρφ z

▽=(——eρ + —— ej + ——ez )

=(——eρ + —— ej + ——ez ) ·

(Aρeρ) (Aφeφ)

ρ ρφ z

=(——eρ + —— ej + ——ez ) ·

柱:

A=Aρeρ+Aφeφ+Azez

(Aρeρ+Aφeφ+Azez )

▽·A


3701039

第一章习题


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