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# 第一章 矢量分析与场论 - PowerPoint PPT Presentation

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## PowerPoint Slideshow about ' 第一章 矢量分析与场论' - bazyli

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

-∞＜x＜∞ X=C；是一截距为C且与X轴⊥的平面

-∞＜z＜∞ Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面

0≤ ＜∞ =C；是一Z轴为轴心半径为C的柱面

-∞＜z＜∞ Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面

0≤r ＜∞ r=C；是一O点为中心C为半径的球面

0≤  ≤2 =C；是一过Z轴的半平面（子午面）

1.1 常用坐标系（正交系）

z

·

（x0 y0 z0）

z

（00 z0）

（r00 0）

z

·

·

r

y

O

O

x

O

y

x

x

z

·

r

（）

y

x

• X=cos = rsin cos
• Y=sin = rsin sin
• Z=rcosθ
• r2= x2 + y2 +z2 = 2 + z2
• = rsin 
•  = arc tg(y/x)
• = arc cos(z/r)

cosα = (x/r)

cosβ = (y/r)

cos  = (z/r)

cos2α +cos2β +cos2= 1

1.2 标量与矢量

1.3 标量场与矢量场

A

eA

1

eA= A/A

A

A

er

ez

ex ey ez

ey

ex

er

ej

ej

A = AeA

= Axex + Ayey + Azez = Aρeρ+ Aφeφ+Azez= Arer+Aφeφ+Aθeθ

1.4 坐标单位矢量、常矢、变矢

（若将坐标线标上方向则该坐标线称坐标(线)矢量）

r = x ex + yey + zez = ρeρ+ zez = rer

S′

R

P

r′

r

1.5 源点、场点、矢径、距离矢量

R = r - r′

② 图示

A

P(1,2,2)

r

∵r = xex + yey + zez

1.5 源点、场点、矢径、距离矢量

，B = Bxex + Byey + Bzez

A·B = A·Bcos(A·B ) = AxBx+AyBy+ AzBz

1.6 矢量的初等运算

A±B = (Ax±Bx)ex +(Ay±By) ey + (Az±Bz)ez

μA = μAxex +μAyey +μAzez

2、 A·A = A2

ex ey ez

Ax Ay Az

Bx By Bz

A×B

A×B = A·Bsin(A·B )en =

B

en

2、 A×A = 0

A

1.6 矢量的初等运算

B

C

A

A+B = B+A ; A±(B±C) = (A±B ) ±C

A·B =B·A ; A·(B+C) = A·B+A·C

A×B = - B×A ; A× (B+C) = A×B+A×C

(A·B) C ≠ A (B·C) ; A× (B×C) ≠ (A×B) ×C

A× (B×C) = (A ·C) B - (A·B) C

A·(B×C) = B · (C×A) = C · (A×B)

‖ ‖ ‖ Ax Ay Az

[ABC] = [BCA] = [CAB] = Bx By Bz

Cx Cy Cz

1、不同坐标系的变换

2、坐标平移

1.7 坐标变换

z

w

·

Φ

v

q

u

O′

q

y

O

x

x

z

3、坐标旋转

∵坐标系是一钢架，

∴当某一轴替代另一轴时，

z

y

O

y

y

x

O

x

O

z

eu3

ev1

4、坐标单位矢量的变换

ev1 =cos(ev1eu1)eu1＋ cos(ev1eu2)eu2＋cos(ev1eu3 )eu3

=(ev1 ·eu1)eu1＋ (ev1 ·eu2) eu2＋(ev1 ·eu3 ) eu3

ev3 =(ev3 ·eu1)eu1＋ (ev3 ·eu2) eu2＋(ev3 ·eu3 ) eu3

ev1 ev1 ·eu1 ev1 ·eu2 ev1 ·eu3 eu1

ev2=ev2 ·eu1ev2 ·eu2ev2 ·eu3 eu2

ev3ev3 ·eu1ev3 ·eu2 ev3 ·eu3 eu3

eu2

eu1

1.7 坐标变换

1.7 坐标变换

er er ·ex er ·ey er ·ez ex

eθ= eθ·exeθ·eyeθ·ez ey

eφeφ·exeφ·ey eφ·ez ez

ez

er

ey

ex

cosα cosβ cosγ ex

= er(θ+90°,φ)·exer(θ+90°,φ)·ey er(θ+90°,φ)·ez ey

er(90°,φ+90°)·exer(90°,φ+90°)·ey er(90°,φ+90°)·ez ez

sinθ cosφ sinθ sinφ cosθex

= sin(θ+90°) cosφ sin (θ+90°) sinφ cos (θ+90°) ey

sin90° cos(φ+90°) sin90° sin(φ+90°) cos90°ez

sinθ cosφ sinθ sinφ cosθex

= cosθ cosφ cosθ sinφ -sinθ ey

-sinφ cosφ 0 ez

• 球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换

1.7 坐标变换

er =sinθ cosφ ex + sinθ sinφey+ cosθez

ez

ez

er

er

sinθ

ey

φ

θ

ey

ex

ρ

ρ

ex

sinθ

sinθ

ρ

eθ = cosθ cosφ ex + cosθ sinφey － sinθez

er

ez

ez

er

cosθ

ey

ey

φ

θ

cosθ

ex

ρ

cosθ

ex

ρ

ρ

θ

φ

eφ =-sin φ ex+ cos φ ey

ey

φ

ex

ρ

ex =sinθ cosφ er + cosθ cosφ eθ - sin φ eφ

ey = sinθ sinφer + cosθ sinφeθ + cos φ eφ

ez =cosθer－ sinθ eθ

①求：A在该点的球坐标表达式。

②求：A在(√2,√2,2)点处的直角坐标和球坐标表达式。

①对于点(1,2,2)： sinθ= 1， sinφ=1/ √2， cosθ=0，cosφ=1/ √2

∴A =3√2er －2eθ+√2 eφ

②对于点(√2,√2,2)： sinθ= sinφ= cosθ= cosφ=1/√2

ez =1/√2 er-1/√2 eθ

①同一矢量，在同一点其直坐标和球坐标表达式是完全不同的。

②同一常矢量，在不同点其直坐标下的表达式是不变的，

dx

dz

dz

dr

ex

ey ez eρej ez

er eθ

dx=

dy=

dz=

dρ=

dφ=

dz=

dr=

dθ=

dφ=

en

en

en

en

en

en

en

en

en

dσx =

dσy =

dσz =

dσρ =

dσφ =

dσz =

dσr =

dσθ =

dσφ =

z

dφ=ρdφeφ

dσz=dxdyez

z

z

dz

ρ

r

dy

dz

dσρ=ρdφdzeρ

dx

rdθ

dσz=-dxdyez

en

y

x

y

x

y

x

φ

1.8 微分元 微分元是矢量微、积分的基础。

dx

dy

dz

ρdφ

dz

dr

rdθ

rsinθdφ

x=c, dydz

y=c, dxdz

z=c, dxdy

ρ=c, ρdφdz

φ=c, dρdz

z=c, ρdρdφ

r=c, r2sinθdφdθ

θ=c, rsinθdrdφ

φ=c, rdrdθ

dxdydz

ρdρdφdz

r2sinθdrdφdθ

en

ds=√(r2sinθdφdθ)2+(rsinθdrdφ)2+(rdrdθ)2

ds

en

⊿s

z

dl

z

dr

⊿l

dz

r

drer-rdθeθ

y

y

dx

x

dy

x

rsinθdφ

dσz

dl = -dxex+dyey+dzez =dρeρ +ρdφej+dzez =drer- rdθeθ +rsinθdφeφ

1.8 微分元

∵很微小，∴可视为直线因而与坐标轴重合。

②过某点引出的三条坐标线元是相关垂直的。

1、对时间的积分

0

1

0

= 3xex∫ t2dt+ yey∫2t dt+ zez ∫ dt

= xex + yey + zez

0

1

0

1

0

1

0

1.9 矢量积分

∫Adt = ∫A1eu1dt+ ∫A2eu2dt + ∫A3eu3dt

= eu1∫A1dt+ eu2∫A2dt + eu3∫A3dt

π

π

π

π

∴∫ eρdφ = ex∫ cosφdφ+ ey∫ sinφdφ= 0

2、对空间的积分

∫A·dl = ∫Acos(A,dl) dl =∫(Axdx + Ay dy + Azdz)

= ∫(Aρdρ+Ajρdφ+Azdz) =∫(Ardr+ Aθrdθ +Ajrsinθdφ)

∫A·ds = ∫Acos(A,ds) ds =∫Axdydz + Aydxdz + Azdxdy

=∫Aρρdφdz+Ajdρdz+Azρdρdφ =∫Arr2sinθdφdθ+Aθrsinθdrdφ+Ajrdrdθ

∫fdv =∫f dxdydz =∫f ρdρdφdz = ∫f r2sinθdrdθdφ

∫f dl =ex∫fdx + ey∫fdy + ez ∫fdz

∫A dl =ex∫Axdl + ey∫Aydl + ez∫Azdl

1.9 矢量积分

A

u1

A (u1 +⊿u1,u2, u3 , t) - A (u1,u2, u3 , t) A

⊿u1 u1

lim

⊿u1→0

eu2

u1

——= eu1——+eu2——+eu3——+A1——+A2—A3——

A1

u1

A2

u1

A3

u1

eu1

u1

=

eu3

u1

A2

u1u2

A2

u2u1

——— = ———

A

t

A

u1

du1

dt

μA

u1

A

u1

μ

u1

——=μ——+ ——

A

(A+B)

u1

A

u1

B

u1

——— = —— +——

C

u1

(A·B)

u1

B

u1

A

u1

—— = 0；

(A×B)

u1

—— =A· ——+ ——·B

B

u1

A

u1

——— =A×——+ ——×B

1.10 矢量微分

1.10 矢量微分

……

ej

φ

—— = -eρ

eρ

φ

eρ

φ

—— = ej

—— = ej

(x,y,z,ρ,r,φ,θ)

∵ eρ= excosφ+ eysinφ

ej= -exsinφ+ eycosφ

—————— = 0；

r

e

t

(z,ρ,r,θ)

————— = 0；

—— = 0；

————— = 0；

eρ

φ

φ

—— = ——(excosφ+ eysinφ)

= -exsinφ+ eycosφ= ej

1、对坐标单位矢量的偏导

= Axex + Ayey + Azez

= Arer + Aφeφ+Aθeθ

A

t

A1

t

A2

t

A3

t

——= eu1—— + eu2—— + eu3——

A

u1

eu2

u1

——= eu1——+eu2——+eu3——+A1——+A2—A3——

A1

u1

A2

u1

A3

u1

eu1

u1

eu3

u1

x x x x

—— = —— ex+ —— ey + —— ez ； ……

ρ ρ ρ ρ

—— = ——eρ + —— ej + ——ez

A AρAφAz

φ φφ φ

—— = ——eρ + Aρej + —— ej - Aφeρ +——ez

A ArAθAφ

θ θ θ θ

—— = ——er + Are+ —— eθ- Aθer +——ej

r r r r

—— = ——er + —— eθ +——ej

= Aρeρ+ Aφeφ+Azez

2、对矢量函数的偏导

1.11 三度、二式、一定理

1.11 三度、二式、一定理

— u—

l

du

dlG最大

lG

M0

G = grad u = ——eG

G

l

∵由数量场u 的某点可延伸出许多条直线路径l ,而这每一个 l 又

uuu

x y z



x y z

= (——ex+ ——ey + ——ez)u=▽u

uuu

ρ ρφ z

  

ρ ρφ z

=(——eρ + —— ej + ——ez )u=▽u

uuu

r rθ rsinθφ



r rθ rsinθφ

= (——er + ——eθ+————ej)u =▽u

▽—— 哈密尔顿算符，是一矢性的微分算符

uuu

x y z

du= ——dx+ ——dy + ——dz

uuu

x y z

uuu

x y z

du uuu

dl x y z

= (——ex+ ——ey + ——ez )·dl

——ex+ ——ey + ——ez=A

——= (——ex+ ——ey + ——ez )·el

A是一微分矢量。当u给定后,A在某点的大小和方向是确定不变的

el是某路径方向与u无关。 u可沿不同的路径l 变化，即el可变。

du/dl 若要达到最大，则u必须沿eA方向变化，即el =eA

∴ u2 -u1 ＞0

1、标量场u的梯度是矢量。

lG

2、简化了全微分的表达式：du=G·dl

G

l1

li

M0

l2

3、方向导数是梯度在该ln方向上的一个分量的模。

∵由前面的推导中已知：du/dl=G· el

du/dl

4、G方向总是指向u增大的方向，即u2 ＞u1 (在G方向上)

u2

du

dlG最大

du

dlG

lG

G = ——eG = GeG

u1

l2

l1

duu2 -u1

dlG l2 -l1

5、G方向为等位线(或面)的法向，即eG=±en

eG

el

en

6、

① ▽u = 0或≠0该式都成立，即该式不能说明梯度场是否存在。

▽C= 0

▽Cu =C▽u

▽(uv)= u▽v±v▽u

▽(u/v)= (v▽u－u▽v)/v2

Mo

Mo

Mo

Mo

Mo

Mo

▽f (u)= f ′(u) ▽u

▽(u±v)=▽u±▽v

u 2y √2

y b2b

—— =－—— =－——

√2

b

√2

a

√2

b

√2

b

√2

a

√2

a

Mo

en

u 2x √2

x a2a

—— =－—— =－——

G=▽u =－( ex + ey )

1、矢量线（力线）：一种假想的线。

• 矢量线上任一点的切向就是矢量A在该点的方向；
• 矢量A的大小正比于过M0点且与力线正交的单位面

2、矢量场的通量

∫A·ds

S

 =∫A·ds

 =

∵垂直过曲面∴通量定义中的曲面是有向曲面即S 是

∫A·ds

V

V

lim

v→0

(Ω→M0)

lim

v→0

(Ω→M0)

divA = —— = ————

Ax AyAz

x y z

=▽·A

AρAρAφAz

ρ ρ ρφ z

=▽·A

ArAθAφ 2ArctgθAθ

r rθ rsinθφr r

=▽·A

V表示，矢量A(M)穿过该曲面(S)的通量为。则此通量

M0

= Ax dydz + Ay dxdz + Az dxdy

∵ =

=∫

V

M0

 Ax AyAz

V x y z

——=(—— + —— + ——)

Ax AyAz

x y z

Ax AyAz

x y z

Ax AyAz

x y z

(—— + —— + ——) dV

=(—— + —— + ——)

∴ divA = —— + —— + ——

 Ax AyAz

V x y z

M0

M0

lim

v→0

(Ω→M0)

——=(—— + —— + ——) = divA(M0)

∫A·ds

dS=dydzex +dxdzey+dxdyez

∵ M0为任意确定点故可不表现出来，即：divA(M0) → divA

=∫A·ds

2、散度定理(矢量场的高斯定理)：

s

Ω

3、矢量场的散度值表征空间中通量源的密度；

ρv

▽·A=

ρ — 通量源密度

a) 若Φ＞0则▽·A＞0，闭合面内有产生矢量线的正源

A为有源场

b) 若Φ＜0则▽·A＜0，闭合面内有吸收矢量线的负源

c) 若Φ= 0则▽·A = 0处处成立，闭合面内无源 A为无源场

Ω

(div A＞0正源)

(div A =0无源）

(div A＜0负源)

1、矢量场A的散度是一个标量；

4、矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；

P

r

q

4per2

E= ——— er

S

O

q

4per2

q

q

2per3

q

2per3

▽·E = - —— + —— = 0

q

4per2

=∫▽·EdV

=∮——r2sinθdφdθ=q/e

Ω

=∫E·ds

∫(q/e)δ(r)dV

=

s

Ω

ArAθAφ 2ArctgθAθ

r rθ rsinθφr r

▽·C= 0;

▽·(CA)=C▽·A;

▽·(A±B)=▽·A±▽·B;

▽· (uA)= u▽·A+A·▽u

r ≠ 0

∴▽·E= (q/e)δ(r)

en

S

l

M0

 =

∫A·dl

S

∫A·dl

lim

⊿S→0

(l→M0)

rotnA= ————

1、环量（）

②反之，矢量场存在着涡漩状的流动。而环量正反

2、环量面密度（rotnA）

∫A·dl

⊿SR

⊿

⊿SR

lim

⊿SR→0

(l→M0)

R= rotA = ——eR= ————eR= ReR

lim

⊿SR→0

(l→M0)

S、法线方向各异(如图)的平面。在点

M0处沿不同en方向上的环量面密度(rotnA)

en

M0

ex ey ez



x y z

Ax AyAz

= (—— - ——)ex+ (—— - ——)ey + (—— - ——) ez

Az AyAx AzAy Ax

y z z x x y

eρρej ez



ρ φ z

AρρAφAz

1

ρ

erreθ rsinθej



r θφ

ArrAθrsinθAφ

1

——

r2sinθ

=▽×A

= Ax dx + Ay dy + Az dz；

∵  =

l

l

 =∫

(—— - ——)dydz+ (—— - ——)dxdz+ (—— - ——)dxdy

Az AyAx AzAy Ax

y z z x x y

⊿S

Az AyAx AzAy Ax

y z z x x y

∴ =∫ B·dS=∫ B·endS =B·en⊿S

⊿S

⊿S

M0

∫A·dl

⊿S

∵ M0为任意确定点

⊿S并且取极限：

lim

⊿SR→0

(l→M0)

———= B·en = B·en

∫A·dl

M0

∫A·dl

⊿SB

lim

⊿SR→0

(l→M0)

eB

eB

B=R=▽×A= rotA

——— = B

max

∫A·dl

=∫▽× A·dS

2、斯托克斯定理: 这表明：

l

s

1、矢量场A的旋度仍为矢量，是空间坐标的函数；

3、 ∵由前面的推导已知： rotnA = rot A · en 这表明：

4、▽·▽× A≡ 0即 ▽×A=0或≠0 该式均成立。

5、矢量场的旋度值表征空间中旋涡源的密度；

6、若rot A=0处处成立，A为无旋场。力线呈无旋涡的流动状态，力线有头尾。此时，=0 即A的环路积分与路经无关故又称保守场。

∫▽× H·dS=

∫H·dl

= I =∫Iδ(x)δ(y)ez·dS

s

l

s

▽×C= 0;

▽× (A±B)=▽×A±▽×B;

▽× (CA)=C▽×A;

▽×(uA)= u▽×A－A×▽u

▽·(A×B)=B·(▽×A)－A·(▽×B)

I

I

2pρ

H= —— eφ = Hφeφ

eρρej ez



ρ φ z

0 ρHφ 0

▽×H= — — — = 0

1

ρ

ρ ≠ 0

∴▽× H = Iδ(x)δ(y)ez

 =∫Fs·dl = 0

 =∫Fl·dl =i

▽·Fs = ρv

l

l

▽× Fl = J

Φ =∫Fs·ds =Q

Φ =∫Fl·ds =0

s

s

u —— 梯度场的标量位A —— 旋度场的矢量位

∵ ▽×▽u≡ 0， ▽·▽×A≡ 0 即：梯无旋，旋无散

∴ ▽·▽u≠ 0， ▽×▽×A≠ 0 这说明：

=0

≠0

=0

≠0

∵ ▽×▽u≡ 0则：▽×F= ▽×▽×A

▽· F=0，F为纯旋度场

▽×F =0， F为纯梯度场

▽· F≠0，▽×F ≠0，F为合成场

∵矢量场(F) =梯度场(Fs) + 旋度场(Fl) = -▽u +▽×A ⑴

∵▽·▽×A≡ 0 则： ▽· F= - ▽·▽u



x y z

22 2

x2y2z2

  

ρ ρφ z

2 2 2

ρ2 ρ2φ2 z2 ρρ



r rθ rsinθφ

222 2  ctgθ

r2 r2θ2 r2sin2θφ2rrr2 θ

1.12 微分算子

▽—— 哈密尔顿算符，是一矢性的一阶微分算符

▽·A =divA

▽×A = rot A

▽·u 、▽A、▽×u

▽·▽=▽2—— 拉普拉辛算符，是一标性的二阶微分算符

  

ρ ρφ z

  

ρ ρφ z

▽=(——eρ + —— ej + ——ez )

=(——eρ + —— ej + ——ez ) ·

A=Aρeρ+Aφeφ+Azez

(Aρeρ+Aφeφ+Azez )

▽·A

dx dy dz

Ax Ay Az

—— = —— = ——

u(x,y,z) = C

1、等位线(面)不是一个而是一族。∵C为任意常数；

2、等位线(面)互不相交； ∵M点只与一个坐标值对应

3、同一等位线(面)可能分裂成几部分存在；例： u(x,y,) = x y=C

4、等位线(面)是一闭合线(面)，只要域足够大；

∵dl∥A

∴ dl×A=0

dl

1.13 场的图示法(一种辅助分析、计算的方法)

1、矢量线不是一条而是一族；

2、矢量线互不相交(除奇异点)

3、有源场的矢量线至少有一部分是有头有尾的发散线；

4、无源场的矢量线全部都是无头无尾的闭合线；

dx dy

Ax Ay

—— = ——

→ Aydx =Ax dy 由题意→ -xdx = ydy

x y

1 0

-x2/2 =y2/2

x y

1 0

0

dx dy dz

Ax Ay Az

—— = —— = ——

  

ρ ρφ z

  

ρ ρφ z

▽=(——eρ + —— ej + ——ez )

=(——eρ + —— ej + ——ez ) ·

(Aρeρ) (Aφeφ)

ρ ρφ z

=(——eρ + —— ej + ——ez ) ·

A=Aρeρ+Aφeφ+Azez

(Aρeρ+Aφeφ+Azez )

▽·A