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1. 2014/11/13. 0. 0. 0. 0. 0. 0. ● 基础知识 一、逻辑联结词 1 .逻辑联结词有 或、且、非 . 2 . 不含逻辑联结词 的命题叫做简单命题 , 由 简单命题 和 逻辑联结词 构成的命题叫做复合命题. 3 .复合命题的构成形式有 p 或 q 、 p 且 q 、 非 p . 4 .判断下表中复合命题的真假: ①④⑥⑨ ⑪⑫为假,其余为真. 2. 2014/11/13. 3. 2014/11/13. 二、四种命题

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●基础知识

一、逻辑联结词

1.逻辑联结词有 或、且、非 .

2.不含逻辑联结词 的命题叫做简单命题,由 简单命题和 逻辑联结词 构成的命题叫做复合命题.

3.复合命题的构成形式有 p或q 、p且q 、非p .

4.判断下表中复合命题的真假:①④⑥⑨⑪⑫为假,其余为真.

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二、四种命题

1.四种命题:一般地,用p和q分别表示原命题的条件和结论,用┑p和┑q分别表示p和q的否定.于是四种命题的形式为:

原命题: 若p则q ;

逆命题: 若q则p ;

否命题: 若┑p则┑q ;

逆否命题: 若┑q则┑p .

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2.四种命题的关系:

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3.原命题为真,它的逆命题 不一定为真 ;

原命题为真,它的否命题 不一定为真 ;

原命题为真,它的逆否命题 一定为真 .

4.反证法

欲证“若p则q”为真命题,从否定其结论即“非q”出发,经过正确的逻辑推理导出 矛盾 ,从而“非q”为假,即原命题为 真 ,这样的方法称为反证法.

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三、充分必要条件

1.若p⇒q,则p叫做q的 充分 条件;若q⇒p,则p叫做q的 必要 条件;如果p⇔q,则p叫做q的 充要 条件.

2.判断充要条件的方法:

(1)定义法;(2)逆否法;(3)集合法.

逆否法:

若┑A⇒┑B,则A是B的 必要条件 ,B是A的 充分条件 ;

若┑A⇒┑B且┑B/⇒┑A则A是B的 必要非充分条件 ;

若┑A⇔┑B,则A与B互为 充要条件 ;

若┑A/⇒┑B且┑B/⇒┑A,则A既不是B的 充分条件 也不是B的 必要条件 .

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集合法:

从集合观点看,建立命题p,q相应的集合.p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立},那么:

若A⊆B,则p是q的 充分条件 ;若AB,则p是q的充分非必要条件 ;

若B⊆A,则p是q的 必要条件 ;若BA,则p是q的必要非充分条件 ;

若A=B,则p是q的 充要条件 ;若A B且B A,则p既不是q的 充分条件 ,也不是 必要条件 .

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示意图为下图.

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●易错知识

一、数学中的“或”与生活中的“或”混淆

1.命题:方程x2-4=0的解为x=±2,使用的逻辑联结词为________.

答案:“或”

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二、已知命题p、q写出复合命题“p或q”,“p且q”一定注意所写命题要符合真值表.

2.下面写法对吗?它们与真值表相符吗?

(1)p或q:方程(x-1)(x-2)=0的根是x=1或x=2;

(2)p且q:四条边相等且四个角相等的四边形是正方形.

你知道应该怎样写吗?

答案:不对,与真值表不相符.

p或q:方程(x-1)(x-2)=0的根是x=1或方程(x-1)(x-2)=0的根为x=2.

p且q:四个角相等的四边形是正方形且四条边相等的四边形是正方形.

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三、命题的否定与否命题的混淆

3.存在一个实数x,使得x2+x+1≤0的否定是________________________________;否命题是________________________________________________.

答案:命题的否定是:“不存在实数x使得x2+x+1≤0”,即“对所有的实数x,有x2+x+1>0” 否命题是:“不存在实数x,使得x2+x+1>0”,即“对所有的实数x,有x2+x+1≤0”

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四、判断充分必要条件时,因分不清命题的条件和结论而失误.

5.若p:α=β,q:tanα=tanβ,则p是q的____________________条件.

答案:既不充分也不必要

五、用反证法证明问题时,结论的反面不能一一列举出来.

6.用反证法证题命题:“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么a、b、c中至少有一个是偶数”,则应假设____________________________.

答案:a、b、c都不是偶数

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●回归教材

1.命题“2010≥2009”()

A.使用了逻辑联结词“或”

B.使用了逻辑联结词“且”

C.使用了逻辑联结词“非”

D.是假命题

解析:“2010≥2009”是指“2010>2009或2010=2009”,故选A.

答案:A

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3.用反证法证明“若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0”时的假设应为()

A.x=1或x=2 B.x2-3x+2=0

C.x2-3x+2≤0 D.x2-3x+2>0

解析:用反证法证明命题中的假设是原命题结论的否定,“x2-3x+2≠0”的否定为“x2-3x+2=0”,故选B.

答案:B

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4.(教材改编题)设集合P={x|-1≤x≤1},Q={x|-2≤x≤1}.则“x∈P”是“x∈Q”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:∵P Q,∴“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件.

答案:A

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5.(课本P42,11题改编)已知命题p:若a,b都是偶数,则a+b是偶数.

命题P的否命题为__________________________.

答案:若a、b不都是偶数,则a+b不是偶数

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【例1】 指出下列复合命题的形式及其构成,并判断复合命题的真假:

(1)10≤10;

(2)方程x2-6x+1=0没有实数根;

(3)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形.

[解析](1)是“p或q”形式的复合命题,

其中p:10=10;q:10<10,为真命题;

也可认为是“非p”形式的复合命题,其中p:10>10.

(2)是“非p”形式的复合命题,

其中p:方程x2-6x+1=0有实根,为假命题.

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(3)是“p且q”形式的复合命题,

其中p:有两个角为45°的三角形是等腰三角形;

q:有两个角为45°的三角形是直角三角形,为真命题.

[反思归纳] 学习逻辑知识,要学会把复杂命题分拆成简单命题的组合,从而化归为对简单命题的判断,达到判定复合命题真假的结果,并会运用简单命题去构造新的命题.

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分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题,并判断其真假.

(1)p:3是9的约数,q:3是18的约数;

(2)p:a∈{a,b,c},q:{a}{a,b,c};

(3)p:不等式x2+2x+2>1的解集是R,q:不等式x2+2x+2≤1的解集为∅.

解析:(1)p或q:3是9的约数或18的约数,为真命题.

p且q:3是9的约数且是18的约数,为真命题.

非p:3不是9的约数,为假命题.

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(2)p或q:a∈{a,b,c}或{a}{a,b,c},为真命题.

p且q:a∈{a,b,c}且{a}{a,b,c},为真命题.

非p:a∉{a,b,c}为假命题.

(3)p或q:不等式x2+2x+2>1的解集为R或x2+2x+2≤1的解集为∅,为假命题.

p且q:不等式x2+2x+2>1的解集为R且x2+2x+2≤1的解集为∅,为假命题.

非p:不等式x2+2x+2>1的解集不是R,为真命题.

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【例2】 判断命题“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题的真假.

[命题意图]本题主要考查四种命题及其真假的判定.考查分析、推理的能力.

[分析]先写出逆否命题,再判断真假或利用原命题与其逆否命题同真假的关系等方法解决.

[解答] 解法1:写出逆否命题,再判断其真假.

原命题:若a≥0,则x2+x-a=0有实根,

逆否命题:若x2+x-a=0无实根,则a<0,

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判断如下:

∵x2+x-a=0无实根,

∴△=1+4a<0,∴a<- <0,

∴“若x2+x-a=0无实根,则a<0”为真命题.

解法2:利用命题之间的关系:原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)证明.

∵a≥0,∴4a≥0,∴4a+1>0,

∴方程x2+x-a=0的判别式△=4a+1>0,

∴方程x2+x-a=0有实根,

故原命题“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”为真.

又因原命题与其逆否命题等价,

所以“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题为真.

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写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断它们的真假:

(1)若a=b,则a2=b2;

(2)若x2+y2+2x+1=0(x、y∈R),则x=-1且y=0;

(3)若△ABC≌△PQR,则S△ABC=S△PQR.

解析:(1)逆命题为:若a2=b2,则a=b,此命题为假;

否命题为:若a≠b,则a2≠b2,此命题为假;

逆否命题为:若a2≠b2,则a≠b,此命题为真.

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(2)逆命题为:若x=-1且y=0,则x2+y2+2x+1=0,此命题为真;

否命题为:x2+y2+2x+1≠0,则x≠-1或y≠0,此命题为真;

逆否命题为:若x≠-1或y≠0(x、y∈R),则x2+y2+2x+1≠0,此命题为真.

(3)逆命题为:若S△ABC=S△PQR,则△ABC≌△PQR,此命题为假;否命题为:若△ABC与△PQR不全等,则S△ABC≠S△PQR,此命题为假;逆否命题为:若S△ABC≠S△PQR,则△ABC与△PQR不全等,此命题为真.

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【例3】 指出下列各组命题中,p是q的什么条件(在“充分而不要条件”、“必要而不充分”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).

(1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC;

(2)对于实数x、y、p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6;

(3)在△ABC中,p:sinA>sinB,q:tanA>tanB;

(4)已知x,y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0,

q:(x-1)(y-2)=0.

[解析](1)在△ABC中,显然有∠A>∠B⇔BC>AC,

∴p是q的充要条件.

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(2)∵逆否命题:x=2且y=6⇒x+y=8,

∴p是q的充分不必要条件.

(3)取A=120°,B=30°,p⇒/ q,

又取A=30°,B=120°,q⇒/ p,

∴p是q的既不充分又不必要条件.

(4)∵p:x=1且y=2,q:x=1或y=2,

∴p是q的充分不必要条件.

[反思归纳](1)分析p是q的什么条件时,一定要结合命题p与q所涉及的知识,进而全面分析,严格按四种条件的结构和定义进行判断.

(2)分析判断时,为了得出命题p与q的准确关系,有时需对命题p与q进行化简,然后再分析.

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(2009·陕西,7)“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案:C

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(2007·高考山东卷)下列各小题中,p是q的充要条件的是()

①p:m<-2或m>6;

q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点.

②p: =1;    q:y=f(x)是偶函数.

③p:cosα=cosβ;q:tanα=tanβ.

④p:A∩B=A; q:∁UB⊆∁UA.

A.①②B.②③C.③④ D.①④

答案:D

解析:①q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点⇔q:△=m2-4(m+3)>0⇔q:m<-2或m>6⇔p;

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【例4】 已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.

(1)写出逆命题,判断其真假,并证明你的结论.

(2)写出其逆否命题,并证明你的结论.

[分析]

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[解答](1)逆命题是:若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.它是成立的.可用反证法证明它.

假设a+b<0,则a<-b,b<-a.∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,则f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).

∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),与条件矛盾.

∴逆命题为真.

(2)逆否命题是:若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b<0.此命题为真命题.可证明原命题为真来证明它.

∵a+b≥0.

①若a+b>0,则a>-b,b>-a,由f(x)在(-∞,+∞)上递增,

∴f(a)>f(-b),且f(b)>f(-a),因此f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).

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②若a+b=0,则a=-b,b=-a,

由函数的定义知f(a)=f(-b),且f(b)=f(-a),

因此f(a)+f(b)=f(-a)+f(-b).

综上所述,若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).

[总结评述]在本题(2)的证明过程中,既用到了函数的单调性,又用到了函数的定义.

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求证:关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c均为常数)至多有两个不等实数根.

分析:含有“至少”、“至多”、“不存在”等词语的数学命题,常用反证法.

证明:假设方程ax2+bx+c=0至少有三个不等实数根分别为x1、x2、x3代入方程得

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1.否命题与命题的否定是两个易混的问题,要注意其区别,另外要掌握一些常见词的否定词.

2.原命题⇔它的逆否命题,(原命题的否命题⇔原命题的逆命题)因此,判断四种命题的真假时,可只判断其中的两个;当一个问题的真假不易判断时,可通过判断此命题的逆否命题解决问题.

3.若p⇒q,则p是q的充分条件,同时q也是p的必要条件;若p⇔q,则p与q互为充要条件,应理解充分条件、必要条件、充要条件的形式化定义,整理出命题的“条件”与“结论”,画出“⇒”图是解决“充分条件与必要条件”问题的一种好的方法,注意运用.对论证充要条件题要分清“充分性”与“必要性”,然后分别作出相应的证明.但要判断两个涉及具体内容的命题p与q之间的关系,掌握涉及的具体数学知识是关键.

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