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§ 7-7 应力与应变间的关系

§ 7-7 应力与应变间的关系. 一、单向应力状态下应力与应变的关系. E 为材料的弹性模量，单位为 N/m 2. 横向线应变 与纵向线应变 成正比，比值为泊松比 γ ，而符号相反。. 二、纯剪切应力状态下应力与应变的关系. 或. G 为剪切弹性模量，单位为 N/m 2.  x  y  z  x y  y z  z x. 上面. y.  x  y  z  x y  y z  z x. 右侧面. x. o. z. 前面.

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§ 7-7 应力与应变间的关系

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Presentation Transcript

  1. §7-7应力与应变间的关系 一、单向应力状态下应力与应变的关系 E 为材料的弹性模量，单位为N/m2. 横向线应变 与纵向线应变 成正比，比值为泊松比γ，而符号相反。

  2. 二、纯剪切应力状态下应力与应变的关系 或 G 为剪切弹性模量，单位为N/m2.

  3. x y z  x y  y z  z x 上面 y x  y  z  x y  y z  z x 右侧面 x o z 前面 三、复杂应力状态下应力与应变的关系 1、各向同性材料的广义胡克定律 （1）符号规定 (a)三个正应力分量：拉应力为正 压应力为负。

  4. 上面 y 右侧面 x o z 前面 (b)三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴 正向一致的平面)上剪应力矢 的指向与坐标轴正向一致, 或 负面(外法线与坐标轴负向一 致的平面)上剪应力矢的指向 与坐标轴负向一致，则该剪 应力为正, 反之为负。 图中表示的均为正方向

  5. 上面 y 右侧面 x O z 前面 线应变: 以伸长为正, 缩短为负。 剪应变: 使直角减小者为正, 增大者为负。 xOy yOz zox 。

  6. 2、各向同性材料的广义胡克定律 (1)线应变的推导 在x y z 分别单独存在时, x 方向的线应变 x 依次为:

  7. 在x y z同时存在时, x方向的线应变x为 在x y z同时存在时, y,z方向的线应变为

  8. 公式的适用范围 :在线弹性范围内, 小变形条件下, 各向同性材料。 (2)剪应变的推导 剪应变 xy , yz ,zx与剪应力xy ,yz ,zx之间的关系为

  9. 公式的适用范围 : 在线弹性范围内,小 变形条件下, 各向同性材料。

  10. 3、 特例 （1）平面应力状态下(假设 Z = 0 )

  11. （2） 广义胡克定律用主应力和主应变表示时 三向应力状态下： (7-7-6)

  12. 平面应力状态下 设  3 = 0, 则

  13. 材料的三个弹性常数E, G, 间存在如下关系:

  14. 例题7-6已知一受力构件自由表面上的两主应变数值为例题7-6已知一受力构件自由表面上的两主应变数值为 。构件材料为Q235钢，其弹 性模量E=210GPa，泊松比=0。3。求该点处的主应力值， 并求该点处另一主应变2的数值和方向。

  15. 一，一对应。 解： 由于构件自由表面，所以主应力2=0。 所以该点为平面应力状态。 由 解得

  16. 该点处另一主应变2的数值为 2是缩短的主应变，其方向必与1和3垂直，即沿构件的 外法线方向。

  17. 四、各向同性材料的体积应变 （1）概念:构件每单位体积的体积变化, 称为 体积应变用θ表示。 （2）各向同性材料在空间应力状态下的 体积应变

  18. 公式推导 dx 1 d y 3 2 设单元体的三对平面为主平面, 其 三个边长为d x, d y, d z 变形后的边 长分别为 d x(1+ , d y(1+2 , d z(1+3 , 因此变形后单元体的体 积为: d z

  19. 体积应变为

  20. 将广义胡克定律 代入得

  21. 在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的 体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正 应力之和成正比, 而与剪应力无关。 在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变x ，y， z有关。仿照上述推导有

  22. 特例 在平面纯剪切应力状态下： 代入得 可见，材料的体积应变等于零。即在小变形下，剪应力不引起各向同性材料的体积改变。

  23. 例题7-7边长 a = 0.1m 的铜立方块, 无间隙地放入体积较 大, 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图 所示。 已知铜的弹 性模量 E=100GPa, 泊松比 =0.34, 当受到P=300kN 的均布 压力作用时, 求该铜块的主应力. 体积应变以及最大剪应力。 P a y a a x z

  24. x x z (b) Z y 解：铜块上截面上的压应力为 y 由

  25. 解得 铜块的主应力为

  26. 体积应变和最大剪应力分别为

  27. y x m t D k 例题9-8壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点 处与其轴线成 45°和135° 角即 x, y两方向分别贴上应变片,然后在 圆筒两端作用矩为 m的扭转力偶,如图 所示已知圆筒材料的弹性模 量为 E = 200GPa 和  = 0.3 ,若该圆筒的变形在弹性范围内,且 max = 80MPa , 试求k点处的线应变 x ,y 以及变形后的筒壁厚度。

  28. y x k y x m t D k 解:从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量 如图 所示 可求得:

  29. k点处的线应变 x , y 为

  30. 因此, 该圆筒变形后的厚度并无变化, 仍然为 t =10mm . 圆筒表面上k点处沿径向 (z轴) 的应变为 同理可得,圆筒中任一点 (该点到圆筒横截面中心的距离为) 处 的径向应变为

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