數學軟體簡介 PART II Matlab 介紹

數學軟體簡介 PART IIMatlab 介紹

今天進度： • 多項式的處理與分析

多項式的表示 • 一個n次多項式可以表示成 p(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 • 因此，在Matlab中可以用一個長度為n+1的向量來表示p(x)如下： p=[an,an-1,…,a1,a0] • 舉例：p=[1,2,3,1] 是用來表示一個三次多項式 p(x)=x3+2x2+3x+1

多項式的加減 • 多項式的加減，可以直接由向量的加減而得出。若兩多項式分別是p1(x)=x3+x+1以及p2(x)=2x2-x+1，則其和與差可計算如下： >>p1=[1 0 1 1]; >>p2=[0 2 -1 1]; >>p1+p2 ans = 1 2 0 2 >>p1-p2 ans = 1 -2 2 0

多項式的乘除 • 注意：上頁的矩陣相加減長度必須一致，否則會出現錯誤訊息。 • 多項式的乘除可以使用conv及deconv指令，例如：欲求多項式p1(x)與p2(x)的乘積 >>p3=conv(p1, p2) p3 = 0 1 -1 3 0 1 2

多項式的乘除 • 若欲求多項式p1(x)除以p2(x)的商式與餘式 >>p1=[1 0 1 1]; >>p2=[1 -1 2] >>[q r] = conv(p1, p2) q = 1 1 r = 0 0 0 -1 代表p1(x)除以p2(x)後得到的商式為q(x)=x+1，餘式為r(x) = -1

多項式的求值 • 要計算多項式的值，可以用polyval指令，例如： >> p=[1 2 1]; >>x=3; >>y=polyval(p,x) y = 16.0000 >>x=0:1:3; %x= 0 1 2 3 >>y=polyval(p,x) y = 1 4 9 16

多項式的求值 • 若要計算p(A)，A為一方陣，可以用polyvalm指令如下例： >>p=[1 2 1]; >>A=[1 2; 3 4]; >>B=polyvalm(p, A) >>B = 10 14 21 31 • 此結果和B=A^2+2*A+1一樣

多項式的求值 注意： • 若將上式（polyvalm(p, A)）改為 polyval(p, A)則結果會變為B=A .^2+2*A+1 • A^2 與A .^2完全不同 A^2 為矩陣 A*A A .^2為對矩陣A中每個元素平方

多項式的求根 • 多項式的根，可用Matlab的roots指令來求，例如：多項式p(x)=x4+2x3+x2+2x+1的根，可以計算如下： >>p = [1 2 1 2 1]; >>r = roots(p) r = -1.8832 0.2071 + 0.9783i 0.2071 - 0.9783i -0.5310

多項式的微分 • Matlab的polyder指令可用於多項式的微分，例如： >>p = [1 3 3 1]; >>q = polyder(p) q = 3 6 3 此即表示 p(x)=x3+3x2+3x+1 微分後的結果為q(x)=3x2+6x+3

矩陣的特徵多項式 • 給定一個方陣，其特徵多項式為det(A-xI)，我們可以用Matlab指令poly來計算特徵多項式，例如： >>A = [1 3 4; 2 4 1; 1 6 2]; >>p = poly(A) P = 1.0000 -7.0000 -2.0000 -25.0000 所以 p(x) = x3-7x2-2x-25 為矩陣A的特徵多項式

矩陣的特徵多項式 • 特徵多項式的根即為矩陣A的特徵值，可以計算如下： >>roots(poly(A)) ans = 7.6837 -0.3419 + 1.7711i -0.3419 - 1.7711i • 也可以用上次教的[Q,d]=eig(A)來找到A的特徵值

非線性方程式的實根 • 如果求根的方程式不為多項式的形態就不能用 roots 函數。 • 而這類的方程式多半是非線性方程式，其函數形態變化很大。對於解這類方程式的根，可以用 fzero函數，它其實是用來找一函數 f(x) 的 x值代入時，會使該函數值為零 (f(x)=0)；而這也就是根的特性，因此我們可以用 fzero求根。

非線性方程式的實根 要求任一方程式的根有三步驟： • 先定義方程式。要注意必須將方程式安排成 f(x)=0 的形態，例如一方程式為sin(x)=3，則該方程式應表示為 f(x)=sin(x)-3。可以 M-file函式定義方程式。 • 代入適當範圍的 x, y(x) 值，將該函數的分佈圖畫出，藉以了解該方程式的「長相」。 • 由圖中決定y(x)在何處附近(x0)與 x 軸相交，以fzero的語法 fzero('function', x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定義的函數名稱。如果從函數分佈圖看出根不只一個，則須再代入另一個在根附近的 x0，再求出下一個根。

非線性方程式的實根 • 以下分別介紹幾數個方程式，來說明如何求解它們的根。例一：方程式為 sin(x)=0 • 我們知道上式的根有π、2π、3π、4π…，求根方式如下： >> r=fzero('sin',3) r = 3.1416 >> r=fzero('sin',6) r = 6.2832

非線性方程式的實根 • 例二：方程式為先前提到的 Matlab 內建函數 humps，我們不須要知道這個方程式的形態為何，不過我們可以將它畫出來，再找出根的位置。求根方式如下： >> x=linspace(-2,3); >> y=humps(x); >> plot(x,y), grid >> r=fzero('humps',1.2) r = 1.2995

如何寫一個函數 M-file定義的函數有其語法的一些規定： • 第一行指令以function這個字做為起頭，接著是輸出的變數，等號，函數名稱，輸入的變數是接著函數名稱放在括號之內。 • function out1=userfun(in1)，這行的out1是輸出的變數，userfun是函數名稱，in1是輸入的變數。 • function [out1, out2]= serfun(in1, in2) 如果輸出變數 [out1,out2] 和輸入變數 (in1, in2)不只一個時，則在輸出變數部份須加上 [ ]。

如何寫一個函數 • 請先找到Matlab的目前的目錄所在（可能在\MatlabR14\work，要在同一個目錄下才可以呼叫函數），用Notepad或記事本開啟一個新增文件，在儲存時把它另存成”test.m”，此時，你的函數即名為test。 • 在test.m的檔案中，寫下自己所訂定的函數，例如： function c=test(r) c=pi*r.^2; % πr2

例三：方程式為 x2sin(x)+cos(x) =0 求根方式如下： function y=f_2(x) % 定義 f_2.m 函數 y=x.^2.*sin(x)+cos(x); >> x=linspace(-3,3); >> y=f_2(x); >> plot(x,y), grid >> r=fzero('f_2',-1); r = -0.8952 >> r=fzero('f_2',3); % 決定在3附近的根 r = 3.0333

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