МЕТОДЫ И СРЕДСТВА
Download
1 / 62

МСИ.ЧАСТЬ3. ПЛАНИРОВАНИЕ - PowerPoint PPT Presentation


  • 142 Views
  • Uploaded on

МЕТОДЫ И СРЕДСТВА. ИССЛЕДОВАНИЙ Квеско Н.Г., д.т.н., проф. МСИ.ЧАСТЬ3. ПЛАНИРОВАНИЕ. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОТСЕИВАЮЩИХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. При проведении экспериментальных исследований возникает два противоречивых стремления:

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' МСИ.ЧАСТЬ3. ПЛАНИРОВАНИЕ' - basil-sandoval


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

МЕТОДЫ И СРЕДСТВА

ИССЛЕДОВАНИЙ

Квеско Н.Г., д.т.н., проф.

МСИ.ЧАСТЬ3.

ПЛАНИРОВАНИЕ


ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОТСЕИВАЮЩИХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

  • При проведении экспериментальных исследований возникает два противоречивых стремления:

  • Упростить процесс исследований, сократив число опытов, что даже в процессе активного эксперимента возможно лишь при исследовании минимального числа факторов;

  • Получить в результате экспериментальных исследований максимум информации и наиболее полные сведения об исследуемом объекте, не опустив при этом из рассмотрения ни одного существенного фактора.

Стремление понятное и его можно реализовать, но лишь проведением двухэтапных исследований

105


ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ОТСЕИВАЮЩИХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Р. ФИШЕР, 1920

  • Основная задача ДА:

  • Оценить влияние каждого из факторов и их комбинаций на выходной параметр, (выделить из всего многообразия факторов, воздействующих на процесс, лишь те, влияние которых наиболее существенно)

Суть дисперсионного анализа:

Если на выходной параметр У действуют взаимно независимые факторы х1, х2, …, хn , то общую дисперсию выходного параметра Dу можно представить в виде суммы дисперсий, обусловленных отдельными факторами и их комбинациями:

106

Dy=Dх1+Dх2+Dх1х2+ … + Dхn


Анализируя составляющие общей дисперсии, можно оценить вклад каждого из исследуемых факторов на выходной параметр.

Однако, чтобы точно оценить дисперсии отдельных факторов необходимо измерить их на нескольких уровнях ;

Для оценки остаточной дисперсии, характеризующей разброс величины выходного параметра, необходим многократный дубляж опытов (не думайте, что это повторное измерение выходного параметра в опытах);

Т.о. Для проведения ДА необходимо иметь большой объём экспериментального материала (Вы уже поняли, что это очень трудоёмкий процесс?);

Изучаемые факторы должны быть независимыми;Выходной параметр должен иметь НОРМАЛЬНОЕ распределение.

ИТАК, ВАМ СТАНОВИТСЯ ЯСНЫМ, ПОЧЕМУ МЫ НЕ БУДЕМ ЗАНИМАТЬСЯ ДИСПЕРСИОННЫМ АНАЛИЗОМ.

107


МЕТОД СЛУЧАЙНОГО БАЛАНСА дисперсии, можно оценить вклад каждого из исследуемых факторов на выходной параметр.

САТТЕРЭВАЙТ, 1956 г.

Используется для выявления количественных факторов, оказывающих существенное влияние на выходной параметр, т.е. ДОМИНИРУЮЩИХ ФАКТОРОВ

Метод пригоден для активного эксперимента, т.е. в ходе его имеется возможность изменять выходные параметры по определённому плану

При планировании отсеивающего эксперимента используют матрицу ПФЭ или ДФЭ, выбирая из неё случайным образом определённое число опытов

Полученная матрица отсеивающего эксперимента является СЛУЧАЙНО СБАЛАНСИРОВАННОЙ

108


ПРИМЕР дисперсии, можно оценить вклад каждого из исследуемых факторов на выходной параметр.

  • По данным дробного факторного эксперимента, представляющего собой 1/16 реплики от полного факторного эксперимента типа 27, оценить влияние на механическую скорость бурения (у, м/ ч) следующих СЕМИ факторов:

  • Нагрузки на долото (х1,тс);

  • Частоты вращения ротора ( х2, об/мин);

  • Интенсивности промывки (расхода бурового раствора) (х3, л/с);

  • Условной вязкости бурового раствора (х4, с) ;

  • Показателя фильтрации бурового раствора (х5, см3/30- мин);

  • Диаметра насадки гидромониторного долота (х6, мм) ;

  • Плотности бурового раствора (х7, кг/м3).

УРОВНИ ФАКТОРОВ ПРИВЕДЕНЫ В ТАБЛ.1, А РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ В ТАБЛ. 2

109


Таблица 1. дисперсии, можно оценить вклад каждого из исследуемых факторов на выходной параметр.

Для визуального выделения доминирующих факторов по результатам эксперимента строят ДИАГРАММЫ РАССЕЯНИЯ, число которых равно числу факторов.

В качестве иллюстрации рассмотрим построение диафрагмы рассеяния для фактора х1.

110


ТАБЛИЦА 2. дисперсии, можно оценить вклад каждого из исследуемых факторов на выходной параметр.

111


2. По полученным данным в масштабе построим диаграмму рассеяния для фактора х1

112


у выходного параметра У в опытах, когда фактор х

44

43,5

43,25

42

41

40

38,75

37,75

38,75

37,25

38

37

36,5

36,75

36

35,5

34

33,25

32

31

30,75

30

-1

+1

-1

+1

-1

-1

-1

-1

+1

-1

+1

+1

+1

+1

Х

Х

Х

Х

Х

Х

Х

7

6

4

1

3

2

5

113


Аналогично строятся диаграммы рассеяния для других факторов

Расстояние, обозначенное стрелками, характеризует различия между средними значениями выходного параметра на 2-х уровнях рассматриваемого фактора и ПОКАЗЫВАЕТ насколько существенно он влияет на величину выходного параметра (чем больше расстояние, тем больше влияние).

Сравнивая расстояния на диаграммах рассеяния располагают их в порядке снижения влияния на механическую скорость: х3, х1, х5, х7, х2,х6, х4.

При этом: х2,х6, х4 могут быть признаны как незначимые (не оказывающие на выходной параметр у существенного влияния).

114


ПЛАНЫ ПЛЕКЕТТА - БЕРМАНА рассеяния для других факторов

Метод отсеивания несущественных факторов

Если число входных факторов от 9 до 15, то минимальное количество опытов должно быть 16, если факторов 16, то опытов необходимо провести уже 32!!!

Когда число факторов превышает 8, метод случайного баланса становится НЕРАЦИОНАЛЬНЫМ

Размерность матриц насыщенных планов равна nх(n-1); где первый сомножитель n– число опытов, а второй - (n-1) – число факторов, каждый из которых изменяется на двух уровнях: верхнем (+1) и нижнем (-1)

115


По результатам отсеивающего эксперимента, выполненного с использованием плана Плекетта – Бермана для n = 12, оценить существенность влияния на показатель фильтрации бурового раствора (y, см330 мин) концентрации (кг / м3) следующих компонентов: глинопорошка марки ПББ (Х1); Барита (Х2); СА(ОН)2 (Х3); СаСI2 (Х4); Окзила (Х5); КМЦ – 600 (Х6); Нефти (Х7); Графита (Х8); Факторы Х9, Х10,Х11 принять фиктивными.

ПРИМЕР

116


МАТРИЦА ПЛАНИРОВАНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ

117


1 РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ. Найдём оценки коэффициентов линейной модели при каждом из факторов по формуле:

Хij= уровень j – го фактора в i – м опыте; уi– значение выходного параметра в i – м опыте; N – число опытов

2. Определим дисперсию воспроизводимости эксперимента с фиктивными факторами (если их нет, необходимо дублировать опыты)

(83)

(84)

m=N-(N–1-e)–1 число степеней свободы;

(N - 1)общее число факторов в матрице;

e – число фиктивных факторов;

Aei- оценки коэффициентов при фиктивных факторах;

118


3. Определим дисперсию оценок коэффициентов

(85)

4. Определим существенность влияния исследуемых факторов на выходной параметр. Фактор оказывает существенное влияние на выходной параметр, если выполняется неравенство:

(86)

Подсчёт этих коэффициентов показывает, что только в двух случаях это неравенство выполняется. Это означает, что только эти два фактора оказывают существенное влияние на показатель фильтрации бурового раствора: концентрация глинопорошка Х1 и концентрация КМЦ – Х6

119


МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ МЕХАНИЗМА ЯВЛЕНИЙ

Цель:получение зависимости выходного параметра от входных факторов y=f(x1, x2,…, xk), анализ которой позволяет оценить степень и характер влияния каждого из факторов на выходной параметр, т.е. установить механизм влияния.

  • Основные методы планирования эксперимента, для изучения механизма явлений:

  • полный факторный эксперимент;

  • дробный факторный эксперимент;

  • латинские, греко-латинские, гипергреко-латинские и комбинационные квадраты.

120


ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ (ПФЭ)

В теории планирования эксперимента связьy=f(x1, x2,…, xk)называется функцией отклика (показывает, как откликается y на изменение xi). Может быть представлена графически и аналитически.

Найти модель, значит найти вид функции отклика и записать её уравнение. Искать модель нужно среди полиномов!

Графическое представление функции отклика называется поверхностью отклика

Простейшие полиномиальные модели для 2,3 и 4 факторов соответственно можно представить в следующем виде:

121


УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ (ПФЭ)

(87)

(88)

(89)

122


Эффект взаимодействия двух факторов х1х2 называется эффектом взаимодействия первого порядка, трех факторов х1х2х3 – второго порядка и т.д.Полное число всех возможных эффектов, включая b0, линейные эффекты и взаимодействия всех порядков, равно числу опытов ПФЭ.

Проверка воспроизводимости опытов

Суммарная величина всех ошибок, полученных при проведении опыта называется ошибкой опыта или ошибкой воспроизводимости. Её необходимо оценить и по возможности и свести к минимуму.

Не путайте повторные опыты с повторными измерениями параметра в одном и том же опыте!

На следующей странице приведена схема последовательности проверки воспроизводимости опытов с равномерным дублированием

123


124


(90)

где yij– значение выходного параметра вj – м повторном опыте

i- ой серии опытов;m – число повторных опытов; i = 1,2,…,m; j = 1,2,…N

  • Проводят проверку воспроизводимости опытов, используя критерий Кохрена

  • а). Если опыты воспроизводимы, то определяют дисперсию воспроизводимости эксперимента (дисперсию, характеризующую ошибку эксперимента):

Число степеней свободы этой дисперсии

(91)

125


  • б). Если опыты не воспроизводимы, то нужно попытаться достигнуть воспроизводимости выявлением и устранением источников нестабильности эксперимента, а также использованием более точных методов и средств измерений.

  • Если же никакими способами добиться воспроизводимости опытов не удается, то к такому эксперименту данный метод планирования (ПФЭ) неприменим.

Методика построения ПФЭ типа 2k

  • Выбор границ области определения каждого входного фактора (оптимальные добавки КМЦ для пресных растворов составляют от 0,2 до 0,5% (на сухое вещество));

  • Для упрощения, записи условий присвоения эксперимента и обработки экспериментальных данных верхний уровень обозначается как (+1) будет соответствовать концентрации КМЦ равной 0,5%, а (-1) – концентрации 0,2%.

126


Основной (нулевой) уровень фактора равен среднему арифметическому его значений на верхнем и нижнем уровнях:

Интервал варьирования фактора равен среднему арифметическому разности его значений на верхнем и нижнем уровнях:

Интервал варьирования фактора это некоторое число, прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень, а вычитание из основного – нижний уровень.

  • Выбор матрицы планирования опытов. Проведение опытов.

  • Если число факторов и уровней каждого фактора равно 2, то имеем ПФЭ типа 22. Если число факторов равно 3, то – 23и т.д.

  • Все возможные комбинации для 2, 3 и т.д. факторов, варьируемых на верхнем и нижнем уровнях, можно записать в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбы – значениям факторов. Такие таблицы называются матрицами планирования эксперимента.

127


Матрица планирования эксперимента типа 22

Каждый столбец в матрице планирования называют вектор – столбцом, а каждую строку – вектор – строкой.

Первая строка в таблице А соответствует первому опыту, в котором оба фактора х1 и х2 находятся на нижнем уровне. Во втором опыте фактор х1 находится на верхнем уровне, х2 – на нижнем уровне и т.д.

128


Матрица планирования ПФЭ типа 2 эксперимента типа 23

129


Матрица планирования ПФЭ типа 2 эксперимента типа 24

130


Правила построения матриц планирования ПФЭ типа 2k:

1). число вектор – строк равно числу опытов N = 2k;

2). число вектор – столбцов равно числу факторов;

3). в каждом векторе столбце число плюсов (+1) равно числу минусов (-1);

4). в первом вектор - столбце знаки чередуются через один (один плюс, один минус или наоборот), во втором – через два (два плюса, два минуса), далее – через 4, 8, 16 и т.д.

Свойства матриц планирования (независимо от числа факторов)

  • Свойство симметричности относительно центра (основного или нулевого уровня) : Алгебраическая сумма элементов вектор – столбца каждого фактора равнанулю

(92)

где j – номер фактора (j = 1,2,3…k)N – число опытов; i – номер опыта.

  • Условие нормировки. Сумма квадратов элементов каждого вектор - столбца равна числу опытов.

где j ≠ u.

131


где j ≠ u.

(93)

Ортогональность матрицы позволяет получать оценки коэффициентов регрессии, независимыми друг от друга, это дает возможность оценить влияние каждого фактора на выходной параметр и отбросить те, коэффициенты при которых не значимы.

  • Расчет значений коэффициентов регрессии.

Процедуру расчета рассмотрим на примере типа 22. Для вычисления коэффициентов b0, b1, b2, b12, уравнения составим расчетную матрицу, приведенную в таблице D.

132


Для расчета коэффициента b почленных произведений любых двух вектор – столбцов матрицы равна нулю0 используется столбец х0 (фиктивная переменная), для расчета коэффициента b1 – столбец х1, b2 – столбец х2, b12 – столбец х1· х2.

Для любого числа факторов вычисление оценок коэффициентов регрессии ведется по следующим формулам:

j u

Формула (1) используется для вычисления коэффициента b0 и коэффициентов линейных эффектов (b1, b2, . . .), а формула (2) – для вычисления коэффициентов взаимодействий всех порядков (b12, b23, b123, . . .).

Рассчитаем коэффициенты регрессии b0, b1, b2, b12 с помощью приведённых формул (1) и (2)

133


Вычисления сводятся к приписыванию столбцу у знаков соответствующего фактору столбца и алгебраическому сложению полученных значений.Деление результата на число опытов в матрице планирования дает искомый коэффициент.

При числе факторов равном 3 и 4, расчет коэффициентов регрессии выполняется аналогично описанному выше, но по своим расчетным матрицам, принцип составления которых рассмотрим на примере ПФЭ типа 23.

134



Обработка результатов ПФЭ типа 2

  • Проверка адекватности модели;

  • Проверка значимости коэффициентов регрессии;

  • Интерпретация результатов эксперимента;

  • Переход от кодированных значений факторов к натуральным.

Под адекватностью понимается способность математической модели предсказывать результаты эксперимента в некоторой области с требуемой точностью или, иными словами, способность полученного уравнения регрессии достаточно точно описывать объект исследования

136


I типа 2. Гипотезу об адекватности модели проверяют с помощью F – критерия Фишера:

(97)

где - дисперсия воспроизводимости (см. формулу 91) с числом степеней свободы

Дисперсия адекватности (остаточная дисперсия)

(98)

где:

уi– экспериментальное значение выходного параметра в i – ом опыте;

- значение выходного параметра в i – ом опыте, рассчитанное по уравнению регрессии;

m1– число степеней свободы дисперсии адекватности;

N– число опытов, результаты которых используются при подсчете коэффициентов регрессии;

k* - число факторов и их взаимодействий, включенных в уравнение регрессии.

137


1. Из уравнений регрессии исключаем все эффекты взаимодействия (приводим уравнения к линейному виду и проверяем адекватность линейных моделей)

(99-101)

2. Определяем дисперсию адекватности для линейных моделей;

3. Находим расчетное значение критерия Фишера;

4. Сравниваем его с табличным значением.

Если неравенство (97) выполняется, то гипотеза об адекватности линейной модели принимается.

Если модель оказывается НЕАДЕКВАТНОЙ… ЧТО ДЕЛАТЬ?

138


1). В уравнения (100) и (101) для расчета включаем эффекты взаимодействия, коэффициенты при которых имеют наибольшую абсолютную величину (можно включить все эффекты взаимодействия, кроме одного, так как в противном случае m1 = 0).

2). Для того, чтобы m1 = 1 и можно было включать в уравнения (99) – (101) все эффекты взаимодействия, выполняют дополнительный опыт в центре области эксперимента (на основном уровне), результаты которого используют только для проверки гипотезы об адекватности модели.

Если ни одним из этих приёмов адекватность модели не достигнута, то необходимо построить новый план эксперимента, уменьшив интервалы варьирования факторов.

В конце концов, не мытьём, так катаньем, добиваемся АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ

139


Для адекватных моделей расчета включаем эффекты взаимодействия, коэффициенты при которых имеют наибольшую абсолютную величину (можно включить все эффекты взаимодействия, кроме одного, так как в противном случае

II. (Проверка значимости коэффициентов регрессии)

Проверка значимости коэффициентов регрессии осуществляется с помощью t - критерия Стьюдента:

где

- абсолютная величина i – го коэффициента регрессии;

tТАБЛ. - табличное значение критерия Стьюдента для заданного уровня значимости α и числа степеней свободы - (см. формулы 17 и 18);

Dbi - дисперсия i – го коэффициента регрессии.

- дисперсия воспроизводимости.

Т.е. дисперсии двух коэффициентов регрессии равны друг другу, так как они зависят только от ошибки эксперимента, которую характеризует и числа опытов.

140


Таким образом, если выполняется (102), коэффициент регрессии считается значимым!

  • Не значимость коэффициента регрессии может быть вызвана одной из следующих причин:

  • малым интервалом варьирования фактора (факторов);

  • низкой воспроизводимостью опытов;

  • нахождением данного фактора на уровне, близком к оптимальному;

  • не влиянием или очень малым влиянием данного фактора на изучаемый процесс.

  • III. Интерпретация результатов эксперимента.

  • Интерпретация результатов эксперимента – это перевод полученной модели с абстрактного математического языка на язык экспериментатора.

  • Устанавливается степень влияния каждого из факторов на исследуемый параметр.

  • Устанавливается характер влияния факторов на исследуемый параметр.

  • Интерпретируются эффекты взаимодействия первого порядка

  • Интерпретируются эффекты взаимодействия более высоких порядков

141


Количественная мера степени влияния каждого из факторов на исследуемый параметр – абсолютная величина коэффициента регрессии, вычисленного по результатам эксперимента. Чем она больше, тем сильнее влияет фактор на выходной параметр.

О характере влияния говорят знаки коэффициентов регрессии: (+) свидетельствует о том, что с увеличением значения фактора величина параметра растёт, () убывает.

  • для увеличения исследуемого параметра необходимо увеличивать значения тех факторов, коэффициенты регрессии при которых имеют знак плюс;

  • при уменьшении значений «плюсовых» факторов параметр также будет уменьшаться;

  • для уменьшения исследуемого параметра необходимо увеличивать значения тех факторов, коэффициенты регрессии при которых имеют знак минус;

  • при снижении значений «минусовых» факторов значения выходного параметра возрастают.

142


Если эффект взаимодействия двух факторов имеет положительный знак, то для увеличения исследуемого параметра требуется одновременно увеличение (уменьшение) значений факторов,

например, х1= +1 и х2= +1, или х1= -1 и х2= -1.

Для уменьшение параметра факторы должны одновременно изменяться в разных направлениях,

например, х1= +1 и х2= -1, или х1= -1 и х2= +1.

Если эффект взаимодействия двух факторов имеет отрицательный знак, то для увеличения параметра факторы должны одновременно изменяться в разных направлениях,

например, х1= +1 и х2= -1, или х1= -1 и х2= +1.

Для уменьшения параметра требуется одновременное увеличение ( уменьшение) факторов,

например, х1= +1 и х2= +1, или х1= -1 и х2= -1.

143


IV двух факторов имеет . Переход от кодированных значений факторов к натуральным.

Уравнения регрессии для натуральных, а не кодированных значений факторов, можно получить, используя формулу перехода

(104)

гдехj- кодированное значение фактора;

- натуральное значение фактора;

- натуральное значение основного уровня;

- интервал варьирования фактора;

j - номер фактора.

При этом коэффициенты регрессии изменяются и возможность интерпретации влияния факторов по величинам и знакам коэффициентов регрессии пропадет, зато появляется возможность прогнозировать результаты опытов (значения выходного параметра) при любых натуральных значениях факторов в исследованной области факторного пространства, что имеет большое практическое значение.

144


Метод крутого восхождения Бокса‑Уилсона

  • Предложен в 1952 году и является одним из наиболее популярных методов выхода в область оптимума или в так называемую «почти стационарную (постоянную) область».

  • Применение этого метода требует:

  • высокой точности измерения факторов и параметров, а также большой варьируемости факторов, что достижимо преимущественно при лабораторных исследованиях;

  • выполнения значительного числа опытов, особенно при большом числе входных факторов;

  • строгого соответствия функции отклика у = f(x1, х2, …хk) линейной модели.

  • Предположим, что имеется некоторый выходной параметр (критерий оптимизации) у (выход керна в %), зависящий от факторов x1(GОС; ТС) и х2 (u,об/мин), изолинии (линии равных значений) которого приведены ниже на рисунке, и нам необходимо найти условия (пределы значений x1 и х2), при которых у достигает максимума.

145


+1;+1 Бокса‑Уилсона

-1;+1

х

2

в

2

А

х

1

+1;-1

-1;-1

в

1

0

90

В

70

50

30

10

х

2

х

1

146


Для решения этой задачи требуется:

  • В окрестности некоторой начальной точки, например, А, осуществить ПФЭ типа 22 ;

  • Определить адекватную результатам эксперимента линейную модель;

  • Выбрать направление наибольшего роста выходного параметра у, т.е. кратчайший путь движения к области экстремума (оптимума);

  • Очевидно, что самым кратчайшим путем будет путь перпендикулярный изолиниям, т.е. движение по самому крутому склону куполообразной поверхности (отсюда название метода – крутое восхождение).

  • Двигаться в выбранном направлении, определяя условия проведения новых «мысленных» опытов по формулам

147


(105) требуется:

(106)

где - натуральное значение I– го фактора в N+1

опыте;

- натуральное значение i–го фактора в

начальной точке (на новном или нулевом

уровне ПФЭ);

- интервал варьирования i–го фактора;

а- величина шага, который должен быть

разумным.

148


Проверка правомерности использования исходной линейной модели в новой области факторного пространства крутое восхождение, особенно вблизи оптимума, проконтролировать опытами, сравнивая полученные экспериментальные значения у с расчетными (прогнозными) с помощью t - критерия Стьюдента по формуле

(107)

  • При выполнении неравенства (107) исходной линейной моделью можно пользоваться, она остается адекватной.

  • В противном случае модель неадекватна и нужно принять одно из следующих решений:

  • область оптимизма достигнута;

  • необходимо выбрать новое направление движения.

  • При принятии второго решения вся процедура, начиная с п. 1, полностью повторяется, только начальной точкой уже является не точка А, а достигнутая в движении точка, например, точка В.

149


Метод эволюционного планирования (ЭВОП)

Предложен Боксом. Заключается в поиске области оптимальных условий адаптивных путей, т.е. путем определения направления дальнейшего поиска или условий новых опытов по результатам предыдущих опытов.

Для реализации метода ЭВОП в соответствии с матрицей планирования ПФО типа 22 выполняется серия опытов, дополненная опытом на основном (нулевом) уровне.

Допустим, что по результатам I серии опытов получены следующие данные (рис.):

при (х11, х21) у = 10;

при (х12, х21) у = 11;

при (х10, х20) у = 11;

при (х11, х22) у = 12;

при (х12, х22) у = 14.

Из анализа результатов I серии опытов следует, что основной или нулевой точкой во II серии опытов должна быть точка с координатами (х12, х22), в которой значение критерия оптимизации максимально (у = 14).

150


22 планирования (ЭВОП)

23

х

2

20

19

23

18

15

12

14

х

22

22

17

11

х

20

13

10

х

11

21

х

х

х

х

10

11

12

1

151


Допустим, что планирования (ЭВОП)II серия опытов, в которых опыты в точках (х10, х20) и (х12, х22) относятся к I серии, дала следующие результаты: 15,18 и 13.

Тогда во II серии опытов основной точкой должна быть точка с у = 18. При этом дополнительные опыты дали такие результаты: 19, 20, 17.

В IV серии опытов были получены значения критерия оптимизации равные 22, 23, 24, а в последней серии - 23, 22.

Таким образом, достигнута «почти стационарная область», находящаяся вблизи точки с у = 24.

152


СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД планирования (ЭВОП)

Предложен в 1962 г. По своей сути близок к методу ЭВОП. Является адаптационным методом пошагового экспериментального поиска области оптимальных условий.

В n мерном случае под симплексом понимается гипермногогранник с n+1 равноудаленной вершиной, в трехмерном  тетраэдр, в двухмерном  правильный треугольник.

ПРИМЕР

Осуществим три опыта с координатами (х11, х22), (х12, х22), и (х13, х23), для которых значения критерия оптимизации будут соответственно равны 10, 13 и 12. Следующий опыт разумно выполнить на максимальном удалении от «худшей» точки, в котором у = 10.

153


х планирования (ЭВОП)2

37

38

40

36

32

33

33

35

13

х22

(х21) х23

10

12

х11

х12

х13

х1

154


Новый симплекс образуется двумя вершинами исходного симплекса и новым опытом в точке, образованной зеркальным отражением «худшей» вершины относительно противоположной стороны (перенос вершины показан пунктиром).

Таким образом, для определения условий нового опыта достаточно знать условия предыдущих опытов и значения критерия оптимизации.

Достижение «почти стационарной области» видно из приведенного рисунка (вокруг точки с у = 40 последовательное экспериментирование привело к циклическому повторению симплексов).

155


ПЛАНИРОВАНИЕ И ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ

  • Установить основной уровень х0j и интервал варьирования Δхjдля каждого j-го фактора;

  • Определить условия проведения опытов для исходного симплекса

  • хij= х0j+ rij· Δхj при i ≤ j;

  • хij= х0j- Rij· Δхj при i = j + 1; (108)

  • хij= х0j при i >j + 1;

  • где хij –значение j - го фактора в i - ом опыте (при получении k факторов исходный симплекс содержит k+1 опыт;

156


  • Проводят опыты для исходного симплекса и определяют «худший» опыт, который необходимо отбросить;

  • Определяют условия проведения следующего (k+2) опыта по формуле

(110)

хjотбр  значение j го фактора в отброшенном опыте;

хjнов  значение j го фактора в новом опыте;

А  номер отброшенного опыта.

  • Осуществляют новый (k+2) опыт, вновь отбрасывают опыт с «худшим» значением критерия оптимизации и по формуле (110) определяют условия следующего нового опыта (k+3);

157


  • Последовательное экспериментирование продолжают до достижения области оптимума, которое характеризуется или одинаковыми результатами во всех вершинах симплекса (что бывает весьма редко), или циклическим возвратом к реализованным ранее симплексам (см. рис.);

  • При достижении области оптимума необходимо провести несколько опытов (обычно 3-4) в центре последнего симплекса, координаты которого определяют по формуле

где хij– значения j - го фактора;

bi = (k+1) вершине проверяемого симплекса.

158

(111)


  • Полученный в центре последнего симплекса результат оценивают с позиции достижения «почти стационарной области» по условию (112)

  • где

  • - дисперсия воспроизводимости по результатам m

  • опытов в центре последнего симплекса;

  • - среднее значение критерия оптимизации в (k+1)

  • вершине последнего симплекса;

  • - среднее значение критерия оптимизации по

  • результатам m опытов в центре последнего

  • симплекса.

  • Выполнение неравенства (112) указывает на достижения области оптимума.

159


Метод поиска области оптимальных условий по результатам «пассивного» эксперимента

  • Найти значение условной величины Rj по формуле (113)

(113)

  • Определить условия проведения нового опыта (N+1),

(114)

В формуле (114) знаки плюс или минус ставятся при поиске соответственно максимума или минимума целевой функции.

Обратите внимание на то, что при малом числе опытов и низкой их воспроизводимости (при больших искажениях) данный метод может дать неверные результаты.

160


Алгоритм обработки результатов экспериментов с целью получения квадратичной модели

  • Вычисляют вспомогательные коэффициенты λ, А, С

(117)

где

k- число факторов;

N- общее число опытов;

n0число опытов в центре плана (в нулевой точке).

(118)

(119)

2). Определяют величины S0, Sj, Sju, Sjj

(120)

(123)

161

(121)

(122)


3). Вычисляют коэффициенты модели экспериментов с целью получения квадратичной модели

(124)

(125)

(126)

162

(127)


4) Находят дисперсию воспроизводимости опытов

(128)

5) Оценивают значимость коэффициентов модели по условию

где

 bi -абсолютное значение j– го коэффициента модели;

Dbj-дисперсия j– го коэффициента модели;

tтабл.-табличное значение критерия Стьюдента при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы m=N-k*

k*- число коэффициентов в модели.

(129)

При выполнении неравенства (129) рассматриваемый коэффициент модели значим.

(131)

163

(130)


(132) воспроизводимости опытов

(133)

6) Проверяют адекватность модели по условию

где Fтабл- табличное значение критерия Фишера при заданном уровне значимости α и числа степеней свободы

(134)

(136)

(135)

Dад. –дисперсия адекватности (остаточная дисперсия)

(137)

164

При выполнении неравенства (134) модель адекватна.


7) Исследуют полученную квадратичную модель на экстремум, для чего решают следующую систему уравнений

Решение этой системы уравнений позволяет найти оптимальные значения х1, х2-,…хk, соответствующие экстремуму критерия оптимизации (целевой функции).

(138)

165


ad