第1章  向量与矩阵
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第1章 向量与矩阵 PowerPoint PPT Presentation


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第1章 向量与矩阵. 矩阵理论是线性代数中最重要的一个部分,向量与矩阵是数学中重要且应用广泛的工具。 本章介绍向量及相关知识、介绍矩阵及其相关的概念。研究矩阵的运算,着重讨论方阵的运算,方阵的逆矩阵。. 第1章 目录. 第 1.1 节 向量基本知识 第 1.2 节 矩阵及其运算 第 1.3 节 n 阶方阵 第 1.4 节 可逆矩阵. 第 1.1 节 向量基本知识. 1.二维向量和三维向量 二维向量(平面向量) 三维向量(空间向量) 2. n 维向量 n 维向量的概念 n 维向量的线性运算

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第1章 向量与矩阵

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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1

第1章 向量与矩阵

矩阵理论是线性代数中最重要的一个部分,向量与矩阵是数学中重要且应用广泛的工具。 本章介绍向量及相关知识、介绍矩阵及其相关的概念。研究矩阵的运算,着重讨论方阵的运算,方阵的逆矩阵。


1

第1章 目录

  • 第 1.1 节 向量基本知识

  • 第 1.2 节 矩阵及其运算

  • 第 1.3 节 n阶方阵

  • 第 1.4 节 可逆矩阵


1

第 1.1 节 向量基本知识

1.二维向量和三维向量

  • 二维向量(平面向量)

  • 三维向量(空间向量)

    2. n维向量

  • n维向量的概念

  • n维向量的线性运算

  • n维向量空间

  • 内积

返回


1

  • 与向量大小相等,方向相反的向量称为 的负向量,即-=- .

1.二维向量和三维向量

二维向量

定义1在平面直角坐标系中,取一个固定点O为始点(一般称为原点),取另一点A为终点作一线段OA,该线段既有大小又有方向,这样的线段称为平面向量,记作 或.

  • 若向量的终点A与始点O重合,则该向量称为零向量,记作θ,其大小为零,方向任意.


1

A

B

N

A

M

二维向量与三维向量示意

平面向量

a

a

空间向量


1

规定:当两个同起点向量的终点重合时,称这两个向量相等.

定义2

平面向量的加法和数乘运算统称线性运算 .

二维(平面)向量的线性运算

  • 定义3

  • (1)向量加法

    • 设,为两个平面向量,称+为这两个向量的和, -为两个向量的差.

(2)数乘向量

称k为数k与向量的数乘. k是大小为的k倍 的向量,当k>0时方向与相同;当k<0时方向与相反;当k=0时为零向量,其方向任意.


1

a

ka (k>0)

-ka(k>0)

二维(平面)向量线性运算示意

向量的加减法

向量与数的乘法


1

二维(平面)向量及线性运算的坐标表示

平面解析几何中,引进了坐标(或分量)的概念.即在平面直角坐标系中,一个平面向量唯一对应着一个二维有序数组 (a1,a2),称a1,a2为该向量的坐标。

线性运算可以归结为坐标之间的运算


1

二维向量空间


1

z

o

y

x

三维(空间)向量

三维向量

定义4在空间直角坐标系中,取一个固定点O为始点(一般称为原点),取另一点A为终点作一线段OA,该线段既有大小又有方向,这样的线段称为空间向量,记作 或  .

图示


1

  • 三维(空间)向量及线性运算


1

z

o

y

x

三维向量(空间向量)的模和单位向量

向量模的坐标表示


1

例题

例1

例2


1

定义5

例3

三维(空间)向量的数量积


1

定义6

例4

三维(空间)向量的正交


1

三维向量空间


1

定义6n个数a1,a2,…,an组成的一个有序数组(a1, a2, …, an) 称为n维向量.

注意: (1)本书中n维向量一般指实数域R上n维向量.

(2)当需要区分时,称为列向量,称T为行向量.

2.n维向量

其中第i个数ai称为向量的第i个分量.向量一般用α,β,γ等表示.


1

n 维向量及其运算

定义7 零向量: 0=(0, 0, …, 0)

负向量: -α=(-a1, -a2, …, -an)

向量相等: 设α=(a1, a2, …, an), β=(b1, b2, …, bn),

称α=β, 若ai=bi (i=1,2,…,n)

定义8 (线性运算)设α=(a1, a2, …, an), β=(b1, b2, …, bn),

向量加法α+β=(a1+b1, a2 +b2, …, an+bn) ;

向量减法α-β=(a1-b1, a2 -b2, …, an-bn) ;

向量数乘kα= (ka1, ka2, …, kan).


1

线性运算性质

设α,β,γ,0为n维向量, k,l为数域F中的数,则

1.α+β= β+ α(加法交换律)

2.α+(β+γ)=(α+β)+γ(加法结合律)

3.α+0=α

4.α+(-α)=0

5. k (α+β)= kα+kβ(数乘分配律)

6. (k+l) α=kα+lα(数乘分配律)

7. (kl)α=k(lα)(数乘结合律)

8. 1α=α


1

n维向量空间定义


1 1 3 4 a b c d

负号表示调出货物.设

A

B

C

D

第一次

调进

100

250

500

200

第二次

调进

200

100

0

250

现存

货物量

例1.1.3 某仓库储存4种货物,A、B、C、D.存储情况见下表.

300

150

500

450

则现存货物量


1 1 5 n

称向量组1, 2, …,n为基本单位向量组,

称向量为基本单位向量组1, 2,…,n的线性组合 .

例1.1.5 已知n维向量

一般地,我们称由线性运算组合成的式子

为s个向量α1,α2 ,…,αs的线性组合,i为n维向量,ki (i=1,2,…, s)为实数.


1 1 6

注 这里行向量和列向量没有严格区分。

例1.1.6已知向量


1

练习


1

为向量α与β内积.

n维向量的内积、长度

1.n维向量的内积

定义


1

内积的性质

2.长度(范数)

(ⅰ)

(ⅱ)

(ⅲ)

(ⅳ)

当且仅当α= 0时,[α,α]=0.

定义

称之为向量α的长度(范数).

注:长度为1的向量,即为单位向量.


1

3.正交

定义 若[α,β]=0,称向量α与β正交.

1.判断下列向量组是否正交?

(1) (2, 0),(1, 1);

(2) (2, 0, 0), (0, 1, -1);

不正交

正交

正交


1

第1.2节 矩阵及其运算

  • 1.矩阵概念

  • 2.线性运算

  • 3.矩阵乘法

  • 4.矩阵转置

  • 5.矩阵的初等变换

返回


1

1.矩阵概念

注 矩阵一般用大写字母A、B,… , 表示.


1

例1

由定义知,确定一个矩阵的两个要素是维数m×n及元素.


1

腰围(英寸) 数量(条)

例2牛仔裤具有不同的品牌和型号,某专卖店现库存W牌牛仔裤23条:

28 3

30 11

32 6

34 3

库存的其它牌号可按照牛仔裤的型号从小到大排列如下:

W L CF BO BA

牌子 数量(条)

28 30 32 34

L 5, 5,3,4

CF 1, 7,0,0

BO 6, 2,2,2

BA 3 ,0,0,3

试通过矩阵将上面的信息表示出来.


1

例3(通路矩阵)

4

1

3

3

2

每条线上的数字表示连接该两城市的不同通路总数.该图提供的通路信息,试用矩阵形式表示(称之为通路矩阵).

2


1

例4 试写出游戏“石头、剪子、布”的二人零和对策中甲的得分矩阵,规定胜者得1分,败者得-1分,平手各得零分.

乙方


1

一个公司有5家零售店,第一家有10台电视t,15个立体电唱机s,9个磁带架d,12个录音机r;第二家有20t,14s,8d,5r;第三家有16t,8s,15d,6r;第四家有25t,15s,7d,16r;第五家有5t,12s,20d,18r.试用矩阵表示各家零售店的存货.

例5

用行表示商品,用列表示零售店,那么下面矩阵表示各家零售店的存货.

这是一个5×4矩阵


1

2. 矩阵的线性运算

  • 矩阵相等

  • 矩阵加法

  • 矩阵减法

  • 数乘矩阵


1

定义 设有两个m×n矩阵

  • 矩阵的相等

则称矩阵A和B相等. 记作A=B

矩阵相等必须满足:行列对应相等且元素对应相等.


1

定义 设有两个m×n矩阵

  • 矩阵的加法

称为矩阵A与B的和. 记作

注:只有同型的两个矩阵才能进行加法运算.


1

已知公司的5家零售店关于商品电视t,立体电唱机s,磁带架d,录音机r存货用矩阵表示如下:

接例5

若公司又给它的各个零售店发货,数量为D,新的存货量分别是多少?


1

则现存货量用矩阵表示为

如果该日各个零售店各个商品销售数量为M,

则各个零售店当天各种商品

剩余数量如何求出?(思考)


1

矩阵的加法满足下列运算规律

(i) A+B=B+A

(ii) (A+B)+C=A+(B+C)

(iii) A+O=O+A=A

(iv) A-A=A+(-A)=O

其中A、B、C和零矩阵O是同型矩阵.

例1


1

定义 数k与矩阵A的乘积记作kA或 A k,简称数乘,

规定为

  • 数与矩阵的乘法

数乘矩阵运算规律:

(i) k(A+B)=kA+kB

(ii) (k+h)A=kA+h A

(iii) k(h A)=(k h)A

(iv) 1A=A

其中A、B为m╳n 矩阵;k、h为数.


1

(续)若公司要求各个零售店年底对现存四种商品打折10%处理,设打折前的存货价值矩阵是V,打折后各个零售店四种商品的存货价值是多少呢?

利用数乘矩阵可得


1

例2


1

例3


1

矩阵的乘法

由已知得

W L CF BO BA

28 30 32 34

  • 某服装商店一天的销售量如下表:且知

    • 每条W牌牛仔裤的利润是15元;

    • 每条L 牌牛仔裤的利润是17.5元;

    • CF牌是20元、 BO牌是12.5元、 BA牌是20元.

引例


1

W L CF BO BA

28 30 32 34

设为A

问题 1. 在这一周之内.,最小号牛仔裤的销售利润总和是多少?

问题 2. 30号牛仔裤的利润总和是多少?

问题 3. 所有牛仔裤的销售利润总和是多少?


1

问题 2. 30号牛仔裤的利润总和是多少?

问题 3. 所有牛仔裤的销售利润总和是多少?

总利润

862.5元


1

其中

记作C =AB.

矩阵乘法定义

注 只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.

矩阵A与B的乘积是一个m×n矩阵


1

注 按此定义,一个1 × s矩阵与一个s × 1矩阵的乘积是一个1阶方阵,也就是一个数.如前例中求得携手销售各个型号牛仔裤利润总和.

这表明乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素cij

是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和.


1

例4


1

例5

由该例可知,在一般情况下,矩阵的乘法不满足交换律,即 AB≠BA.

且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.


1

矩阵的乘法运算规律 (假设运算都是可行的)

  • (AB)C=A(BC);

  • A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA;

  • (iii) k(AB)=(kA)B=A(k B), (其中k为数).

注意

矩阵的乘法不满足交换律,

如果AB = BA时, 称 A, B为可交换矩阵.


1

矩阵的转置

定义 把矩阵A的行列互换得到一个n×m矩阵,称为A

的转置, 记作AT .

例如


1

(i) (AT)T=A (ii) (A+B)T=AT+BT

运算规律 (假设运算都是可行的)

(iii) (kA)T=k AT (iv) (AB)T=BTAT

证明 (iv)

由矩阵的乘法定义, (AB)T的 一般项为


1

对于多个矩阵相乘,有


1

解法1

解法2

例6


1

综合练习


1

综合练习


1

矩阵的初等变换

定义 对m×n矩阵施以以下变换均称为矩阵的初等变换:

初等行变换:

  • (i)对调两行;

(ii)以非零数k乘某行的所有元素;

(iii)把某一行的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去.

将上述定义中 “行”改为“列”即为初等列变换定义.


1

初等行(列)变换统称初等变换.教材重点讨论初等行变换.

初等列变换

(i)对调两列;

(ii)以非零数k乘某列的所有元素;

(iii)把某一列的所有元素的k倍

加到另一列对应的元素上去.


1

例如


1

等价矩阵

定义 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,称

矩阵A、B等价.

(i)反身性,A→A;

(ii)对称性,若A→B则B→A;

(iii)传递性,若A→B,B→C则A→C.

矩阵等价关系满足以下性质:

注 (1)等价作为一种关系满足以上三个性质.

(2)等价也可以应用于线性方程组或向量组,例如线性方程组与其同解方程等价等等.


1

称为行阶梯形矩阵

特点:

横线下方全是0;

每阶只有一行,阶数即非零行行数;

竖线后面第一个元素为非零元.

行阶梯形矩阵与行最简形矩阵

用例说明:

一般标准形矩阵

矩阵A经过初等变换总可以化为这种标准形;

该标准形由 m、n、r完全确定.

一般地

继续行初等变换

也称为行最简形矩阵

特点:

各阶第一个非零元都是1,所在列其余元素均为0.

称为标准形矩阵

特点:

左上角是一个单位矩阵,其余元素均为0.

经列初等变换


1

矩阵的高斯消元法

任何一个m×n矩阵A都可以经过行初等变换化为行阶梯形.对行阶梯形继续行初等变换可以化为行最简形.化简时使用以下矩阵的高斯消元法.

矩阵高斯消元法的步骤:

(1)取矩阵中元素a110为主元,如果a11=0为零,通过行交换将第一列上元素不为零的某行换到第一行;

(2)用主元a11将第一列中a11以下的其他元素消为零;

(3)对除去第一行以外的行重复以上作法,则将矩阵化为行阶梯形;

(4)将最后一个非零行中的首个非零元,通过乘以某常数化为1,并将其所在列该非零元上面的元素都消为零,依此,由下向上递推,最后将A化为行最简形.


1

例1


1

例2


1

继续行初等变换,


1

例3

此题建议学生完成.

标准形


1 3 n

第1.3节 n阶方阵

  • 1.方阵概念

  • 2.几种特殊的矩阵(方阵)

  • 3.线性变换

  • 4.方阵的运算

    • 方阵的其他运算

  • 5.初等矩阵

  • 返回


    1

    1.方阵概念

    定义1.3.1 由n2个数排成的n×n矩阵

    i,j=1,2,…,n

    称为n阶方阵.记作A=

    定义1.3.2 由方阵左上角元素到右下角元素表示的位置称为方阵的主对角线,主对角线元素的和即称为方阵的迹,记作:


    1

    2.几种特殊的矩阵(方阵)

    (1)零阵

    所有n2个元素全为零的矩阵称为n阶零阵,记作

    在方阵运算中起数字“0”作用,零阵的迹等于0.

    例如


    1

    (1)对角矩阵

    2.几种特殊的矩阵(方阵)

    定义 所有非主对角线元素全等于零的n阶矩阵称为

    对角矩阵.

    是一个四阶对角矩阵.

    当对角线元素都相等时有:


    1

    (2)数量矩阵

    定义 如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都相等,

    则称此矩阵为n阶数量矩阵,或标量矩阵.

    视作数乘单位阵

    当a=1时,

    对角元全为 1,

    其他元素都是零 的

    对角阵称为单位矩阵.


    1

    定义 如果n阶矩阵主对角线下方的元素都等于零,

    则称此矩阵为上三角矩阵.

    (3)三角形矩阵

    如果n阶矩阵主对角线上方的元素都等于零,

    则称此矩阵为下三角矩阵.

    A为n阶上三角矩阵;B为n阶下三角矩阵.


    1

    练习

    在下列矩阵中,指出三角阵、对角阵、数量阵、单位阵:


    1

    定义 如果n阶矩阵A满足A=AT,则称矩阵A为

    对称矩阵.

    (4)对称矩阵

    对称矩阵A=(aI j)中的元素满足aij=aji,i,j=1,2,…n

    即A中元素关于主对角线为对称.

    性质(1)对称矩阵A与B的和也是对称矩阵

    (2)数乘对称矩阵仍为对称矩阵.


    1

    定义 如果n阶矩阵A满足AAT= ATA=E ,则称矩阵A为

    正交矩阵.

    (5)正交矩阵

    性质(1)若A为正交矩阵,则AT也是正交矩阵;

    (2)正交矩阵A与B的乘积也是正交矩阵.


    1

    3.线性变换

    线性变换与矩阵存在着一一对应关系.

    称此矩阵为线性变换的系数矩阵.


    1

    例如

    称此矩阵为上述线性变换的系数矩阵.

    显然该矩阵即为前面提及正交矩阵.


    1

    其它三种常见的线性变换

    恒等变换

    单位阵

    线性变换

    对角矩阵


    1

    对应下(上)三角矩阵的线性变换

    三角矩阵


    1

    例2


    1

    3.方阵的运算

    • 方阵作为行数与列数相等的一类矩阵,同样可以进行第1.2节中定义的各种运算,并满足相应的运算律,方阵的和,差,数乘,乘积及转置矩阵仍为方阵.

    例1


    1

    例题

    例2


    1

    例3

    注 一般情况下,两个n阶方阵相乘不满足交换律,AB≠BA。但是 其乘积仍为n阶方阵。


    1

    方阵的其他运算

    (1) n阶方阵的幂

    定义 设A是一个n阶方阵,k为正整数,

    称为A的k次幂.

    注 A k就是k个A连乘.显然只有方阵的幂才有意义.

    规定:A0=E.

    运算律

    (i) A k Al=A k+1

    (ii)(A k)l=A k l

    其中k、l为正整数.

    例如


    1

    例1

    ①因为矩阵乘法一般不满足交换律,所以对于两个n阶方阵A与B, (AB)k一般不等于A k B k.即

    ②如果Ak=O,不一定有A=O. 例如取


    1

    (n为自然数)

    例2


    1

    (2)矩阵多项式

    定义1.3.3 设(*)为x的多项式,A为n阶矩阵,E为n阶单位阵,称 (**)为关于A的矩阵多项式.

    例1


    1

    课堂练习


    1

    5.初等矩阵

    定义 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵, 称为

    初等矩阵(初等方阵).

    三种初等变换对应着三种初等矩阵,以3阶单位阵为例予以说明.

    (i)互换E的i、j 两行(或i、j两列),记E [i,j]

    例如


    1

    (ii)E的第i行(或第i列)乘以不等于零的数k,得

    例如

    (iii)把E的第j行的k倍加到第i行上(或第i列的k倍加到第j列上),得

    例如


    1

    初等矩阵性质和有关定理

    性质 初等矩阵的转置矩阵仍是初等矩阵.

    矩阵的初等变换与初等矩阵有着非常密切的关系.

    定理1.3.2设A是m行n列矩阵,则(1)对A施以一次初等行变换所得到的矩阵,等于用同种m阶初等 矩阵左乘A.(2)对A施以一次初等列变换所得到的矩阵,等于用同种n阶初等 矩阵右乘A.

    例如


    1

    例1

    注 ①该矩阵仅经过一系列行变换,即 可化为标准形矩阵;

    ②该化简过程可以用连续左乘初等矩阵进行表示;

    ③该化简结果说明方阵A 与单位阵等价.


    1

    例2

    注 ①化简过程表明,某些矩阵仅经过一系列行变换,即 可化为标准形矩阵;

    ②如果设P8P7P6P5P4P3P2P1=P,那么PA=E.

    ③由等价矩阵定义知:A与单位阵E等价,即AE.

    这里Pi代表施行的初等变换,也代表对应的初等矩阵.


    1

    第1.4节 可逆矩阵

    • 1. 逆矩阵概念

    • 2. 逆矩阵性质

    • 3. 求逆矩阵方法

    • 4. 逆矩阵应用

    返回


    1

    1.逆矩阵概念

    定义对于n阶方阵A,如果有一个n阶方阵B,使得AB=BA=E,

    则方阵A称为可逆矩阵,简称A可 逆. 方阵B称为A的逆矩阵.记为A-1.

    结论 (1) 这时矩阵B亦可逆,B的逆阵为A.即B-1=A.

    (2) 如果方阵A可逆,则A的逆矩阵是唯一的.

    证 (2)设B、C都是A的逆矩阵,则有

    B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.唯一性得证.

    注可逆矩阵也称为非退化阵,也常被称为非奇异阵;

    不可逆矩阵称为退化阵,也常被称为奇异阵.

    先给出一个例子.


    1

    例1

    注 这是二阶方阵求逆阵的一种简便方法.

    一般地


    1

    练习

    答案


    1

    2.逆矩阵的性质

    性质1 若A可逆,则A-1也可逆,且(A-1)-1=A.

    由AA-1=E,得A-1也可逆,且(A-1)-1=A.

    性质2 若A可逆,数k不为零,则kA可逆,且

    (kA)-1=k-1A-1.

    根据AA-1=E,由(kA)(k-1A-1)=k k-1AA-1=E,

    即 kA可逆,且 (kA)-1=k-1A-1.


    1

    2.逆矩阵的性质

    性质3 若A可逆,则AT也可逆,且(AT)-1=(A-1)T.

    性质4 A、B为同阶方阵且均可逆,则AB也可逆,且

    (AB)-1=B-1A-1.


    1

    例2


    1

    例3


    1

    练习

    答案


    1

    复习初等矩阵相关知识

    定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵, 称为初等矩阵.

    初等矩阵都是可逆矩阵,其逆矩阵仍是初等矩阵,且

    例如

    矩阵的初等变换与初等矩阵的关系.

    前节定理1.3.2设A是m行n列矩阵,则(1)对A施以一次初等行变换所得到的矩阵,等于用同种m阶初等矩阵左乘A.(2)对A施以一次初等列变换所得到的矩阵,等于用同种n阶初等矩阵右乘A.


    1

    前节例2

    注 ①化简过程表明,某些矩阵仅经过一系列行变换,即 可化为标准形矩阵;

    ②如果设P8P7P6P5P4P3P2P1=P,那么P一定是可逆阵;

    ③由矩阵定义:AB=BA=E知,P是A的逆阵.


    1

    例2

    分析

    • 结论:只需将单位阵E经过同样的行初等变换,即可得A-1

      • 从而给出一种新的求逆阵方法——初等变换法.


    1

    利用行初等变换求矩阵A的逆矩阵:

    (i)构造n×2n矩阵(A|E);

    (ii)对于(A|E)连续施以行变换把A化为E,同时对E施以完全相同的初等行变换,这时 E就化为A 的逆阵A-1.

    3.求逆矩阵方法


    1

    例3


    1

    继续进行初等变换,

    注这是一种很重要的求逆及其相关运算的方法.


    1

    4.逆矩阵的应用

    • (1)解形如AX=B的矩阵方程

    • (2)解形如Ax=b的二,三元线性方程组


    1 ax b

    (1)解形如AX=B的矩阵方程

    方法1

    例1

    可以验证AX=B


    Ax b a

    利用初等变换法解AX=B,其中A可逆.

    分析


    1

    例1(续) 解矩阵方程AX=B,其中

    解利用矩阵的初等变换法.由

    方法2


    1 ax b1

    例1(续) 解矩阵方程AX=B,其中

    如果先求出A的逆阵,再利用矩阵乘法结果相同.

    方法3


    1

    例2

    分析


    1

    继续行初等变换,


    1

    继续行初等变换,


    1

    例3

    方法1


    1

    方法2


    1

    求矩阵 X使满足 AXB = C .

    例4

    若A-1,B-1存在,则由A-1左乘上式,B-1右乘

    上式,有

    A-1AXBB-1=A-1CB-1, (A-1A)X(BB-1 )=A-1CB-1,

    即 X = A-1CB-1.

    首先求出A、B逆阵(学生完成)


    1

    求出A、B逆阵为

    于是


    1

    练习


    1

    需要指出:

    注:处理矩阵问题,也可以利用列初等变换,但一般用行变换作为常用方法.


    2 ax b

    (2)解形如Ax=b 的二,三元线性方程组

    将线性方程组看作矩阵方程AX=B的特殊情形

    即将b看作列矩阵,那么上述方法都可以应用

    到解线性方程组中来,包括:

    (I)应用矩阵乘法解线性方程组(适合低阶情形)

    (II)利用初等变换法解Ax=b,(这是解方程组的重要方法).

    (III)利用逆阵解AX=B,要求A可逆.


    1

    (3)线性方程组的矩阵形式

    线性方程组


    1

    例题

    解三元线性方程组:

    (1)用初等变换解这个三元线性方程组


    1

    (2)利用逆阵解这个三元线性方程组:

    求得

    于是有


    1

    练习

    答案


    1

    第1.5节 数学实验

    ——矩阵运算

    1.命令A+B、kA、A.B用以计算矩阵的和、数乘、乘法;

    2.命令Transpose[A]用以计算矩阵的转置;

    3.命令Det[A]用以计算方阵A的行列式;

    4.命令MatrixPower[A,m]用以计算方阵A的m次幂;

    5.命令Inverse[A]用以求出矩阵A的逆矩阵;

    6.命令RowReduce[A]用以将矩阵A化为行最简形,从而求出A的秩.

    注: 进行矩阵运算时,结果会以向量形式显示矩阵运算结果,如果在运算命令最后加上“//MatrixForm”,则会给出运算结果的矩阵.

    返回


    1

    例 1

    解 第1步:打开Mathematica 4.0窗口,键入

    第2步: 键入2 A-3 B//MatrixForm

    A. Transpose[B]//MatrixForm

    第3步 :按“Shift+Enter”键,便得计算结果.


    1

    例 2

    解 第1步:打开Mathematica 4.0窗口,键入

    第2步: 键入Det[A]

    MatrixPower[A,10]//MatrixForm

    Inverse[A] //MatrixForm

    第3步 :按“Shift+Enter”键,便得计算结果.


    1

    例 3

    解 第1步:打开Mathematica 4.0窗口,键入

    第2步: 键入Inverse[A]. B. Inverse[A]//MatrixForm

    第3步 :按“Shift+Enter”键,便得计算结果.


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