ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 24

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ PowerPoint PPT Presentation


  • 178 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Определение функции нескольких переменных Геометрическое изображение функции двух переменных Частное и полное приращение функции Предел и непрерывность функции нескольких переменных. § 1. Определение функции нескольких переменных. S = xy. y. x.

Download Presentation

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


4856396

  • ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ


4856396

  • Определение функции нескольких

  • переменных

  • Геометрическое изображение функции

  • двух переменных

  • Частное и полное приращение функции

  • Предел и непрерывность функции

  • нескольких переменных


4856396

§ 1. Определение функции нескольких переменных

S = xy

y

x

z

V = xyz

y

x


4856396

Определение1.1 Если каждой паре (x,y) значений двух, независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенной значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

или


4856396

Способы задания функции двух переменных

  • Табличный (таблица)

  • Аналитический (формула)

  • Графический (график)

  • Словесный (словесное описание функциональной

  • зависимости)

S = xy

x

y


4856396

Определение1.2Совокупность пар (x,y) значений x и y, при которых определяется функция z = f(x, y), называется областью определения или областью существования этой функции.

Геометрически: если каждую пару значений xи yизобразить точкой М(х, у) в плоскости Оху, то область определения функции изобразится в виде некоторой совокупности точек на плоскости.


4856396

  • Линия, ограничивающая область определения –граница

  • области

  • Точки области, не лежащие на границе –внутренние точки

  • области

  • Область, состоящая из одних внутренних точек –открытая

  • (незамкнутая)

  • Если к области относятся и точки границы –замкнутая

  • область

Определение1.3 Область называется ограниченной, если существует такое постоянное С, что расстояние любой точки М области от начала координат О меньше С, т. е. |OM| < C.


4856396

Пример 1:Определить естественную область определения

функции z = 2x –y

Аналитически выражение z = 2x –yимеет смысл при любых значениях x и y. Следовательно, естественной областью определения функции является вся плоскость Оху.

у

О

х

Рис. 1


4856396

Пример 2:Определить естественную область определения

функции

Для того, чтобы z имело действительное значение, нужно, чтобы под корнем стояло неотрицательное число, т. е. х и у должны удовлетворять неравенству

или

Все точки М(х, у), координаты которых удовлетворяют указанному неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга.

у

1

О

1

х

Рис. 2


4856396

Пример 3:Определить естественную область определения

функции

Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то должно выполняться неравенство

или

у

Это значит, что областью определения функции z является половина плоскости, расположенная над прямой

у = –х, не включая самой прямой (рис. 3)

х

О

у= -х

Рис. 3


4856396

Пример 4:Площадь треугольника S с основанием х и

высотой у.

у

х

Рис. 4

Областью определения этой функции является область х> 0,

у> 0(т. к. основание треугольника и его высота не могут ни отрицательными, ни нулем).

Областью определения рассматриваемой функции не совпадает с естественной областью того аналитического выражения, с помощью которого задается функция.


4856396

Определение1.3 Если каждой рассматриваемой совокупности значений переменных x,y, z, … , u, tсоответствует значение переменнойw, то wназывают функцией независимых переменных x,y, z, … , u, tи записывают

или

Область определения функции четырех или большего числа переменных не допускает простого геометрического истолкования.


4856396

§ 2. Геометрическое изображение функции нескольких переменных

Рассмотрим функцию

определенную в области G на плоскости Оху, и систему прямоугольных декартовых координат Охуz(рис. 5).

z

P

Получили в пространстве точку Р с координатами

х,у,z = f(x, y).

z=f(x,y)

O

у

у

х

х

G

Рис. 5


4856396

Определение2.1 Геометрическое место точек Р, координаты которых удовлетворяют уравнению называется графиком функции двух переменных.

Уравнениев пространстве определяет некоторую поверхность. Т. о., графиком функции двух переменных является поверхность, проектирующаяся на плоскость Оху в область определения функции.

Параболоид вращения

Рис. 6


4856396

§ 3. Частное и полное приращение функции нескольких переменных

Рассмотрим функцию

Величину

называют частным приращением z по х(у = const).

Величину

называют частным приращением z по y(x = const).

Величину

называют полным приращением функцииz.


4856396

§ 4. Предел и непрерывность функции нескольких переменных

Определение 4.1 Окрестностью радиуса rточки M0(x0,y0)называется совокупность всех точек (х, у), удовлетворяющих неравенствут. е. совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса r с центром в точке M0(x0,y0).

y

M0(x0,y0)

M(x,y)

r

O

x

Рис. 7


4856396

Замечание: Если говорят, что функция f(x, y) обладает каким-либо свойством «вблизи точки (х0, у0)» или «в окрестности точки (х0, у0)», то подразумевают, что найдется такой круг с центром (х0, у0), во всех точках которого данная функция обладает указанным свойством.

Определение4.2 Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки M(x,y)к точке M0(x0,y0), если для каждого ε> 0 найдется такое число r > 0, что для всех точек M(x,y), для которых выполняется неравенство

Имеет место неравенство


4856396

Определение4.3 Пусть точка M0(x0,y0) принадлежит области определения функции f(x, y). Функция z = f(x, y)называется непрерывной в точке M0(x0,y0), если имеет место равенство

причем точка M(x,y) стремится к точке M0(x0,y0) произвольным образом, оставаясь в области определения функции

Определение4.4 Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной в области.


4856396

Пример 6: Вычислить предел

Решение: В точке (0; 2) функция

определена, т. к. можно вычислить значение функции в этой точке. Поэтому точка (0; 2) является точкой, принадлежащей области определения функции. Тогда для вычисления предела воспользуемся равенством

Получим:

Ответ:


4856396

Пример 7: Вычислить предел

Решение: Точка (0; 3) не принадлежит области определения функции, т. к. при х = 0, имеет место неопределенность 0/0. Поэтому умножим и разделим числитель и знаменатель дроби на величину у и произведем замену u = xy.

Получим:

Ответ:


4856396

Определение4.5 Если в некоторой точке N0(x0,y0) не выполняется условието точка N0(x0,y0)

называется точкой разрыва функции z = f(x, y).

Условие непрерывности может не выполняться в следующих случаях:

z = f(x, y)определена во всех точках некоторой окрестности точки N0(x0,y0), за исключением самой точки N0(x0,y0);

z = f(x, y)определена во всех точках окрестности N0(x0,y0), но не существует предела

z = f(x, y)определена во всех точках окрестности точки N0(x0,y0) и существует предел но


4856396

Пример 6:Функциянепрерывна при любых значениях хи у, т. е. в любой точке плоскости Оху.


4856396

Свойства функции нескольких переменных, непрерывной в замкнутой и ограниченной области

Свойство 1. Непрерывная функция в замкнутой ограниченной области Dдостигает по крайней мере один раз наибольшего значения М и наименьшего значения m

Свойство 2. Если функция f(x, y, …)непрерывна в замкнутой и ограниченной области Dи если М и m– наибольшее и наименьшее значение функции f(x, y, …) в области, то для любого числа µ, удовлетворяющего условию m< µ < М, найдется в области такая точка N*(x0*,y0*, …), что будет выполняться равенство f(x0*,y0*, …) = µ.


4856396

Следствие свойства 2. Если функция f(x, y, …)непрерывна в замкнутой и ограниченной области и принимает как положительные, так и отрицательные значения, то внутри области найдутся точки, в которых функция f(x, y, …) обращается в нуль.


  • Login