ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Sponsored Links
This presentation is the property of its rightful owner.
1 / 24

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ PowerPoint PPT Presentation


  • 225 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Определение функции нескольких переменных Геометрическое изображение функции двух переменных Частное и полное приращение функции Предел и непрерывность функции нескольких переменных. § 1. Определение функции нескольких переменных. S = xy. y. x.

Download Presentation

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


  • ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ


  • Определение функции нескольких

  • переменных

  • Геометрическое изображение функции

  • двух переменных

  • Частное и полное приращение функции

  • Предел и непрерывность функции

  • нескольких переменных


§ 1. Определение функции нескольких переменных

S = xy

y

x

z

V = xyz

y

x


Определение1.1 Если каждой паре (x,y) значений двух, независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенной значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

или


Способы задания функции двух переменных

  • Табличный (таблица)

  • Аналитический (формула)

  • Графический (график)

  • Словесный (словесное описание функциональной

  • зависимости)

S = xy

x

y


Определение1.2Совокупность пар (x,y) значений x и y, при которых определяется функция z = f(x, y), называется областью определения или областью существования этой функции.

Геометрически: если каждую пару значений xи yизобразить точкой М(х, у) в плоскости Оху, то область определения функции изобразится в виде некоторой совокупности точек на плоскости.


  • Линия, ограничивающая область определения –граница

  • области

  • Точки области, не лежащие на границе –внутренние точки

  • области

  • Область, состоящая из одних внутренних точек –открытая

  • (незамкнутая)

  • Если к области относятся и точки границы –замкнутая

  • область

Определение1.3 Область называется ограниченной, если существует такое постоянное С, что расстояние любой точки М области от начала координат О меньше С, т. е. |OM| < C.


Пример 1:Определить естественную область определения

функции z = 2x –y

Аналитически выражение z = 2x –yимеет смысл при любых значениях x и y. Следовательно, естественной областью определения функции является вся плоскость Оху.

у

О

х

Рис. 1


Пример 2:Определить естественную область определения

функции

Для того, чтобы z имело действительное значение, нужно, чтобы под корнем стояло неотрицательное число, т. е. х и у должны удовлетворять неравенству

или

Все точки М(х, у), координаты которых удовлетворяют указанному неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга.

у

1

О

1

х

Рис. 2


Пример 3:Определить естественную область определения

функции

Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то должно выполняться неравенство

или

у

Это значит, что областью определения функции z является половина плоскости, расположенная над прямой

у = –х, не включая самой прямой (рис. 3)

х

О

у= -х

Рис. 3


Пример 4:Площадь треугольника S с основанием х и

высотой у.

у

х

Рис. 4

Областью определения этой функции является область х> 0,

у> 0(т. к. основание треугольника и его высота не могут ни отрицательными, ни нулем).

Областью определения рассматриваемой функции не совпадает с естественной областью того аналитического выражения, с помощью которого задается функция.


Определение1.3 Если каждой рассматриваемой совокупности значений переменных x,y, z, … , u, tсоответствует значение переменнойw, то wназывают функцией независимых переменных x,y, z, … , u, tи записывают

или

Область определения функции четырех или большего числа переменных не допускает простого геометрического истолкования.


§ 2. Геометрическое изображение функции нескольких переменных

Рассмотрим функцию

определенную в области G на плоскости Оху, и систему прямоугольных декартовых координат Охуz(рис. 5).

z

P

Получили в пространстве точку Р с координатами

х,у,z = f(x, y).

z=f(x,y)

O

у

у

х

х

G

Рис. 5


Определение2.1 Геометрическое место точек Р, координаты которых удовлетворяют уравнению называется графиком функции двух переменных.

Уравнениев пространстве определяет некоторую поверхность. Т. о., графиком функции двух переменных является поверхность, проектирующаяся на плоскость Оху в область определения функции.

Параболоид вращения

Рис. 6


§ 3. Частное и полное приращение функции нескольких переменных

Рассмотрим функцию

Величину

называют частным приращением z по х(у = const).

Величину

называют частным приращением z по y(x = const).

Величину

называют полным приращением функцииz.


§ 4. Предел и непрерывность функции нескольких переменных

Определение 4.1 Окрестностью радиуса rточки M0(x0,y0)называется совокупность всех точек (х, у), удовлетворяющих неравенствут. е. совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса r с центром в точке M0(x0,y0).

y

M0(x0,y0)

M(x,y)

r

O

x

Рис. 7


Замечание: Если говорят, что функция f(x, y) обладает каким-либо свойством «вблизи точки (х0, у0)» или «в окрестности точки (х0, у0)», то подразумевают, что найдется такой круг с центром (х0, у0), во всех точках которого данная функция обладает указанным свойством.

Определение4.2 Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки M(x,y)к точке M0(x0,y0), если для каждого ε> 0 найдется такое число r > 0, что для всех точек M(x,y), для которых выполняется неравенство

Имеет место неравенство


Определение4.3 Пусть точка M0(x0,y0) принадлежит области определения функции f(x, y). Функция z = f(x, y)называется непрерывной в точке M0(x0,y0), если имеет место равенство

причем точка M(x,y) стремится к точке M0(x0,y0) произвольным образом, оставаясь в области определения функции

Определение4.4 Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной в области.


Пример 6: Вычислить предел

Решение: В точке (0; 2) функция

определена, т. к. можно вычислить значение функции в этой точке. Поэтому точка (0; 2) является точкой, принадлежащей области определения функции. Тогда для вычисления предела воспользуемся равенством

Получим:

Ответ:


Пример 7: Вычислить предел

Решение: Точка (0; 3) не принадлежит области определения функции, т. к. при х = 0, имеет место неопределенность 0/0. Поэтому умножим и разделим числитель и знаменатель дроби на величину у и произведем замену u = xy.

Получим:

Ответ:


Определение4.5 Если в некоторой точке N0(x0,y0) не выполняется условието точка N0(x0,y0)

называется точкой разрыва функции z = f(x, y).

Условие непрерывности может не выполняться в следующих случаях:

z = f(x, y)определена во всех точках некоторой окрестности точки N0(x0,y0), за исключением самой точки N0(x0,y0);

z = f(x, y)определена во всех точках окрестности N0(x0,y0), но не существует предела

z = f(x, y)определена во всех точках окрестности точки N0(x0,y0) и существует предел но


Пример 6:Функциянепрерывна при любых значениях хи у, т. е. в любой точке плоскости Оху.


Свойства функции нескольких переменных, непрерывной в замкнутой и ограниченной области

Свойство 1. Непрерывная функция в замкнутой ограниченной области Dдостигает по крайней мере один раз наибольшего значения М и наименьшего значения m

Свойство 2. Если функция f(x, y, …)непрерывна в замкнутой и ограниченной области Dи если М и m– наибольшее и наименьшее значение функции f(x, y, …) в области, то для любого числа µ, удовлетворяющего условию m< µ < М, найдется в области такая точка N*(x0*,y0*, …), что будет выполняться равенство f(x0*,y0*, …) = µ.


Следствие свойства 2. Если функция f(x, y, …)непрерывна в замкнутой и ограниченной области и принимает как положительные, так и отрицательные значения, то внутри области найдутся точки, в которых функция f(x, y, …) обращается в нуль.


  • Login