Simulation distribu e et continue
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Simulation distribuée et continue. Simulation distribuée. (Section 1.6; LAW & KELTON, 90). Des processeurs spécialisés s’acquittent de fonctions spécialisées. Décomposition du modèle en plusieurs sous-modèles lesquels sont assignés à des processeurs différents.

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Simulation distribuée et continue

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Presentation Transcript


Simulation distribu e et continue

Simulation distribuée et continue


Simulation distribu e

Simulation distribuée

(Section 1.6; LAW & KELTON, 90)

Des processeurs spécialisés s’acquittent de fonctions spécialisées.

Décomposition du modèle en plusieurs sous-modèles lesquels sont assignés à des

processeurs différents.

Les processeurs communiquent entre eux à l’aide d’un système de messagerie.

Cela permet de synchroniser l’ensemble des opérations du modèle.

Une autre approche est telle que les processeurs sont autonomes ou encore, les

sous-modèles sont indépendants (File d’attente M/M/s ou s files M/M/1).

La réception d’un message par un sous-modèle où l’instant courant du récepteur

> l’instant courant du transmetteur entraîne la reprise d’une partie de la simulation

propre à ce sous-modèle.

Simulation distribuée et simulation continue


Simulation continue

Simulation continue

Il s’agit de modéliser un système dont l’état change continûment en fonction du temps.

Le modèle est représenté en général par un système d’équations différentielles à

valeurs initiales.

Elle est très utilisée dans tous les domaines : physique, chimie, biologie, génie,

informatique, sociologie, économie, gestion, etc.

Langages spécialisés en simulation continue:

ACSL, CSSL-IV, DYNAMO, CSMP, DSL/VS, etc.

Langages de simulation à événements discrets possédant des outils permettant la

simulation continue :

SIMAN, SIMSCRIPT II.5, SLAM II.

Simulation distribuée et simulation continue


R solution num rique d quations diff rentielles valeurs initiales

Résolution numérique d’équations différentielles à valeurs initiales

On cherche une approximation à la solution y(t) du problème:

y'(t) = dy/dt (t) = f(t, y(t)),a ≤ t ≤ b

y (a) = y0

En général, y(t) = (y1(t), ..., yn(t)) est un vecteur qui désigne l’état du système.

Note:- En pratique, on ne peut pas calculer y(t)pour tout t.

- On choisit un maillage de points t0 < t1 <... < tN sur [a, b].

- On calcule pour tout ti, une approximation Wi de y(ti).

- Maillage régulier:h = (b - a)/N(le pas d’intégration)

ti = a + i h

Il existe plusieurs façons d’obtenir les Wi.

Simulation distribuée et simulation continue


R solution num rique d quations diff rentielles valeurs initiales1

Résolution numérique d’équations différentielles à valeurs initiales

  • La plus simple est:LA MÉTHODE D’EULER.

  • - On suppose qu’on connaît y(ti) (approximé par Wi) et on veut approximer y(ti + 1).

  • - On se base sur la formule de TAYLOR:

    • y(ti + 1) = y(ti) + h y'(ti) + h2/2 y''(ti + qi h)(avec 0 < qi < 1)

    • [email protected](ti) + h f(ti , y (ti))car h est très petit.

    • LOCALE

    • [email protected] + h f(ti, y(ti)) =Wi +1

    • GLOBALE

    • \On pose W0 := y0 et on évalue

  • Wi + 1 := Wi + h f(ti, Wi)pour tout i = 1, 2, 3,...

  • Simulation distribuée et simulation continue


    R solution num rique d quations diff rentielles valeurs initiales2

    Résolution numérique d’équations différentielles à valeurs initiales

    Simulation distribuée et simulation continue


    Algorithme m thode d euler

    Algorithme (méthode d ’EULER)

    • Lire les paramètres a, b, N et y0;

    • h = (b - a)/N;//h = pas d’intégration

    • t = a;//t = instant courant

    • w = y0;//w = approximation de y(t)

    • Écrire la valeur de (t, w);

    • for (i = 1; i <= N; i++)

    • {

    • w = w + h * f (t, w);

    • t = a + i h;

    • Écrire (t, w)

    • }

    Note:-Si N est assez grand, on suppose que l’erreur est négligeable.

    -La méthode d’EULER est simple, mais faible numériquement.

    Simulation distribuée et simulation continue


    Un syst me proie pr dateur exemple

    Un système proie-prédateurexemple

    Il y a 2 types d’animaux : les proies sont la nourriture des prédateurs.

    x(t) : # proies au temps t

    y(t) : # prédateurs au temps t

    Le modèle est le suivant :

    x'(t)= taux de variation du nombre de proies

    = r x(t) - c x(t) y(t)

    y'(t)= taux de variation du # de prédateurs

    = - s y(t) + d x(t) y(t)

    Taux de mortalité

    dû à la prédation

    Taux de croissance naturel

    en l’absence de prédateurs

    Taux de croissance

    dû à la prédation

    Taux

    d’extinction

    naturel

    Simulation distribuée et simulation continue


    Un syst me proie pr dateur exemple1

    Un système proie-prédateurexemple

    La population initiale est x(0) = x0 > 0 et y(0) = y0 > 0.

    Il s’agit d’un système (déterministe) discret approximé par un modèle continu.

    Il est possible de le résoudre analytiquement:

    toutes les solutions (x(t), y(t)) pour x0 0, y0 0 sont périodiques autour du point (x, y)  (s/d, r/c).

    Note :

    Il existe plusieurs raffinements possibles:plusieurs espèces,

    perturbations aléatoires,

    etc.

    Paramètres d’entrée :

    r = 0.005s = 0.01c = 0.00001

    d = 0.000005 x0= 2000 y0= 150

    durée de la simulation = 5000

    Simulation distribuée et simulation continue


    Un syst me proie pr dateur exemple n 1000

    Un système proie-prédateurexemple (N = 1000)

    Simulation distribuée et simulation continue


    Un syst me proie pr dateur exemple n 10001

    Un système proie-prédateurexemple (N = 1000)

    Simulation distribuée et simulation continue


    Un syst me proie pr dateur exemple n 100 000

    Un système proie-prédateurexemple (N = 100 000)

    Simulation distribuée et simulation continue


    Un syst me proie pr dateur exemple n 100 0001

    Un système proie-prédateurexemple (N = 100 000)

    Simulation distribuée et simulation continue


    Exemple n 100 000 x0 y0 2000 150 et 2000 300

    Exemple : N = 100 000(x0, y0) = (2000, 150) et (2000, 300)

    (2000, 500)

    Simulation distribuée et simulation continue


    R solution num rique d quations diff rentielles valeurs initiales3

    Résolution numérique d’équations différentielles à valeurs initiales

    La méthode d’Euler n’est pas très efficace. Il faut trouver mieux.

    La méthode d’Euler est basée sur la formule de Taylor en retenant 2 termes seulement.

    Une approche consisterait à utiliser n > 2 termes.

    MÉTHODE DE TAYLOR D’ORDRE n

    y(ti+1) y(ti) + h y'(ti) + h2/2 y''(ti) + … + hn/n! y(n)(ti)

     wi + h f(ti, wi) + h2/2 f'(ti, wi) + … + hn/n! f(n-1)(ti , wi)

    où y'(t) = dy/dt (t) = f(t, y(t)).

    Pour n > 2, nous avons en général une meilleure approximation qu’avec la méthode d’Euler, pourvu que la dérivée || f(n) || soit suffisamment petite en valeur absolue.

    Toutefois, il faut connaître les dérivées de f d’ordre 1 à n-1, ce qui n’est pas le cas en pratique. Les méthodes les plus utilisées n’exigent que des évaluations de f et non de sa dérivée.

    Simulation distribuée et simulation continue


    Valuation de fonctions

    Évaluation de fonctions

    On veut évaluer

    MÉTHODE SIMPLISTE

    [GORDON, p. 40]

    Tirer des couples (X, Y) dans ce

    rectangle où

    X : U[a, b], Y : U[0, c]

    Estimer I comme suit:

    \ I = p. c. (b - a)où E[I] = I un estimateur sans biais et Var [I] élevée.

    Simulation distribuée et simulation continue


    M thode sugg r e par law kelton

    Méthode suggérée parLaw & Kelton

    Soient X : U[a, b],Z : g(X),

    • 1˚)Générer X1, X2,..., Xn i.i.d. U(a, b)

    • 2˚)Yi = (b - a) g(Xi )

    • etE[Y] = I et

    Intégrales simples: Il existe des méthodes numériques plus efficaces que la simulation.

    Intégrales multiples :

    LA SIMULATION (MONTE-CARLO) EST

    SOUVENT LE SEUL RECOURS.

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