第三章 正规子群和群的同态与同构

1. 第三章正规子群和群的同态与同构 第一节群同态与同构的简单性质 第二节 正规子群和商群 第三节 群同态基本定理 第四节 群的同构定理 第五节 群的自同构群 第六节 共轭关系与正规化子

2. 第一节 群同态与同构的 简单性质 ★ 群同态的简单性质 ★ 群同构的简单性质

3. 复习回顾: 设 是两个群.如果存在映射 满足 为群 到群 则称 的一个同态映射.

4. 复习回顾: 当 与 又是满射时, 则称群 同态, 记为 到 为群 称 当 是一个双射时, 存在同构 的一个同构映射.如果群 到 与 同构, 记为 映射,就称群

5. 复习回顾: 注:对于同构的群 与 ,我们认为 与 是代数相同的,因为这是对于近世代数所 研究的问题来说,除了符号与名称上的区别 之外,二者没有实质的差异.

6. 定理1设 是一个群, 是一个有代数 如果 ,则 运算(也称为乘法)的集合. 也是一个群. 证因为 是群,其乘法满足结合律, 的乘法也满足结合律. 故

7. 设 是群 的单位元, 是 的任一元素,又设 是 到 的满同态,且在 之下 于是 即 是 的单位元. 又设 则 即 因此 也是一个群.

8. 注1)如果集合 与 各有一个代数运算, 且 ,则当 为群时, 却不一定是群. 2)上述定理中的同态映射必须是满射.

9. 例1 令 ,代数运算为数 的普通乘法; 又 关于数的普通乘法 作成群,令 则易知 是 到 的一个同态满射,故 . 是群,但 却不是群.

10. 是全体正 例2 设 是正有理数乘群, 偶数对 作成的半群. 则显然 是 到 的一个同态映射(但不是满射). 是群,但 并不是群.

11. 推论 设 是群 到群 的一个同态映射 的单位元的象是群 (不一定是满射).则群 的单位元; 的元素 的逆元的象是 的象的 逆元,即 或 .

12. 证 设 是群 的单位元,且在 之下 由于 是同态映射,故在 之下有 但 是群,故由 可知， 是 的单位元. 至于 可由定理1直接得到.

13. 的一个同态映射 定理2设 是群 到群 (不一定是满射),则 时,有 ,且 1）当 ; ,且在 之下 2）当 时,有 诱导出 到 的一个同态映射.

14. 证 1)任取 ,且在 之下令 , ,由于 ,故 ,且 其中 从而 ,即 对 的乘法封闭,且 . 但 是子群,从而 也是群且是 的子群.

15. 2) 当 时,由于 显然非空,任取 .则 ,且在 之下令 ,而 ,故 其中 ,且显然 从而 . 即 诱导出 到 的一个同态映射.

16. 定理3群 到群 的同态映射 是单射 的充分与必要条件是,群 的单位元 的逆象 只有 .

17. 证 只需证充分性. 设 是群 到群 的任一同态映射,且在 之下 的逆象只有 .又设在 之下 当 时,必 :因若 ,则由于 故 , ,矛盾.因此, 是单射.

18. 例3 设6阶群 不是循环群. 证明: . 不是循环群,故 中必含 分析:由于 2阶元或3阶元.但是 中非单位元的阶不 能都是2,也不能都是3,否则与Lagrange . 定理矛盾.故 中必有2阶元 和3阶元 从而 ,可构造同构.

19. 第二节 正规子群和商群 ★正规子群定义和简单性质 ★商群及商群的一个应用 ★与正规子群密切相关的哈密顿群 和单群

20. 一 正规子群定义和简单性质 中任一个 定义1设 , 如果对于 元素 ,都有 , 即 , 则称 为 的一个正规子群(或不变子群) . 简记为 .

21. 若 ,且 ,则记为 . 如果 是正规子群,那么 的左(右)陪集 可简称为 的陪集. 都是正规 注：① 群 的平凡子群 和 子群,即 , . 的任一个 ② 如果 是一个交换群,那么 子群 都是正规子群.

22. 例1 设 为群,而 叫做 的中心. 不仅 (习题课已证)而且有 . 例2设 , 其中 . 易知 .但是 的三个子群 都不是 的正规子群.

23. 定理1设 是群, .则 . 注:定理1也可改述为: 设 是群, .则 .

24. ,则对 证 设 有 中任意元素 当然有 有 中任意元素 反之,设对 则有 ,即 ;又由 可得 .因此 ,即

25. 例3 次交代群 是 次对称群 的一个正规子群. 例4 证明: Klein四元群 是 的 一个正规子群,因而也是交代群 的一个 正规子群.

26. 显然 是交换群,故 从而有 ,但是 的正规子群.因为 不是 . 注: 正规子群的正规子群不一定是原群的正规子群,即正规子群不具备传递性.

27. 的一个同态 定理2设 是群 到群 满射,则在 之下 的正规子群的象是 的 的正规子群的逆象是 一个正规子群, 的 一个正规子群.

28. 证 1)设 .则由上节定理2知， 再任取 , ,则由于 是同态满射,可 令 其中 , ,于是 但是 , ,故 ,从而 . 2)若 ,则可类似证明 .

29. 定理3群 的一个正规子群与一个子群 的乘积是一个子群; 两个正规子群的乘积仍是 一个正规子群.

30. 证 1)设 ,任取 由于 ,故 从而 同理可得 因此 ,从而 2) 设 .则由上知, .又对任意 ,有 故

31. 二 商群及商群的一个应用 设 是群 的一个正规子群, 则任取 二陪集 与 ,有 即 .我们称此为陪集的乘法.

32. 定理4群 的正规子群 的全体陪集 对于陪集的乘法作成一个群,称为 关于 的商群,记为 .

33. 和群 由定理可知,对任意整数 中任意 中任意 元素 ,都有 另外,由于商群 中的元素就是 在 中的陪集,因此 又根据Lagrange 定理,对有限群 有 从而有

34. 定理5设 是一个 阶有限交换群,其中 是一个素数,则 阶元素,从而有 有 阶子群. 提示:对n用数学归纳法可证. 推论 ( 为互异素数) 阶交换群必为 循环群.

35. 三 哈密顿群和单群 定义2设 是一个非交换群.如果 的每个子群都是的正规子群,则称 是一个 哈密顿群.

36. 例4 四元数群 是一个哈密顿群. 证 首先 是非交换群显然.其次, 的 真子群只有 显然 是正规子群.令 则 因此, 从而 同理可证 是一个哈密顿群.

37. 1,2,3,5,7阶群都是循环群,满足交换律, 从而不是哈密顿群;又因为在同构意义下4阶 群只有4阶循环群和Klein四元群,6阶群只有 循环群和3次对称群,所以都不是哈密顿群.因 此四元数群(8阶)是阶数最小的哈密顿群.

38. 定义3阶大于1且只有平凡正规子群的群, 称为单群. 结论:1)素数阶群都是单群;三次对称群不 是单群. 时, 可以 2) 是单群, 不是单群.当 证明 是单群. 3) 的正规子群只有:

39. 定理6有限交换群 为单群的充分与必要 条件是, 为素数. 为素数,则 是一个素数阶循环群, 证 设 从而 显然是一个单群. 反之,设 是一个单群且 在 中任 取元素 .若 ,则由于 是交换群,故 这与 ,从 是单群矛盾.因此 n必为素数. 而

40. 第三节 群同态基本定理 ★ 群同态基本定理 ★ 群同态映射下两个群的子群间 的关系

41. 一 群同态基本定理 定理1设 是群 的一个正规子群,则 , 即任何群均与其商群同态. 称群 到商群 的这个同态满射为 到商群 的自然同态.

42. 间建立以下映射: 证 在群 与商群 这显然是 到 的一个满射. 又任取 ,则有 即 是 到 的一个同态满射,故 .

43. 的一个同态映射, 定义 设 是群 到群 的单位元在 之下所有的逆象作成的集合,叫 做 的核,记作 . 群 中所有元素在 之下的象作成的集合, 称为 的象集,记作 . 显然， .

44. 定理2（群同态基本定理）设 是群 到群 的一个同态满射.则 ,且 . 证 显然 . 设 则在 与 间建立以下映射:

45. 1)设 ,则 .于是 故 确为 到 的一个映射; 2)任取 ,则因 是满射,故有 使 ,从而 ,故 为 到 的 一个满射; ,从而 ,则 3)又若 即 为 到 的一个单射.

46. 因此, 为 到 的一个双射. 又由于 故 为 到 的同构映射. 同另一个群 注:1)定理2表明, 如果一个群 在同构意义下是 的一个商群. 同态, 则这个群 2)定理1、2表明,每个群能而且只能同它的 商群同态.

47. 与 , 推论1 设 是两个有限群. 如果 则 . 证 因为 ,设此同态核为 ,则由定理2得 ,从而 .但是 ,故 .

48. 定理3设 与 是两个群,且 .若 是 也是循环群. 循环群,则 证 设 .由于 ,设在此同态下 .下证 的生成元 在 中的像是 显然 ;另一方面,任取 ,令 且 ,于是 .因此 ,故 ,结论得证.

49. 推论2循环群的商群也是循环群. 二 群同态映射下两个群的子群间的关系 引理 设 是群 到群 的一个同态映射,又 .如果 ,则 .

50. 证 易证 , .任取 则 ,于是有 使 从而 .但由假设 ,故 即 .因此