További logikák Kitekintés Lukasiewicz, fuzzy, temporális

1. További logikákKitekintésLukasiewicz, fuzzy, temporális

2. Miért is kellett a logika? • Egy rendszer modelljének ellenőrzésekor felmerül, vajon hogyan viselkedik? Mi lehet egy változás (külső hatás, bemenet) következménye? • Alapelv: • Vannak állításaink (kijelentéseink, tényeink) • Vannak szabályaink (függvényeink, következtetési szabályaink). Erre érkezik a bementet, és az adott tények és szabályok ismeretében megadjuk a kimenetet, vagy megadunk célfüggvényt, és kiszámítjuk az értékét az adott tények, szabályok függvényében.

3. A modell-verifikációhoz és validációhoz: • Egyértelmű szintaktikára (nyelvi konstrukcióra) és • Jól definiált szemantikára (jelentéstanra) kell építenünk, hogy: • Automatizálhassuk a folyamatot, • Eldönthessük a modell véges struktúra-e, • Működése szimulálja-e a modellezett rendszert, …

4. A Logika mint struktúra • Definiáljuk az értékhalmazt és egyéb szereplőket (igaz, hamis, predikátumok és igazságértékeik, formulák igazságértéke, függvények, …) • Definiáljuk a művelethalmazt (és, vagy, negáció, implikáció), • Adjunk hozzá relációkat, (pl. szintaktikus, szemantikus következményfogalom, ekvivalens formula fogalma, … ) • És írjunk fel struktúrát, például: Boole algebra Elsőrendű logika Temporális logika, Fuzzy struktúra (Útóbbi kettőről később lesz szó. )

5. Maradjanak meg az alapvető elvek minden struktúrában! • Alapvetően legyen felismerhető az „és” és „vagy” eredménye az igaz és hamis predikátumokra vonatkozóan. • Az implikáció őrizze meg alaptulajdonságait …

6. Lukasiewicz logikájaJan Lukasiewicz (1878 – 1956) • Lukasiewicz 1920 és 1922 között dolgozta ki logikai rendszerét. Tőle függetlenül Post is ebben az időben jutott hasonló eredményekhez. • Ők készítették az első publikált leírásokat a többértékű logikai rendszerről. Majdnem húsz évvel később Bochvar es Kleene, külön - külön, kidolgozták saját többértékű logikai rendszerüket egyedi konnektívumokkal. • Lukasiewicz többértékű logikai rendszerét a nem-euklideszi geometriához hasonlítja. Bevezeti a harmadik értéket: az „eldönthetetlen” vagy „lehetséges” értéket, jelölése: ½

7. Lukasiewicz logikája • A 3-értekű logikai rendszere két művelten alapul, melyek bázist alkotnak: ⊃ és ￢, amelyek az implikációt és a negációt jelölik. Ezek igazságtáblái a következők:

8. Lukasiewicz logikája • A további műveleteket definícióval, háromértékű igazságtáblával vezeti be: • p ∨ q ⇔ (p ⊃ q) ⊃ q • p ∧ q ⇔ ￢(￢p ∨ ￢q) • p ≡ q ⇔ (p ⊃ q) ∧ (q ⊃ p). Figyeljük meg: • Az implikáció határfeltételei teljesülnek, de a p ⊃ q ≡ (￢p ∨ q) állítás nem teljesül!

9. Lukasiewicz logikája • A konnektívumok (mMűveletek) további értelmezése: • |￢p| = 1 - |p| • |p ⊃ q| = min (1, 1 - |p| + |q|) • |p ∧ q| = min (|p|, |q|) • |p ∨ q| = max (|p|, |q|) • |p ≡ q| = 1 – abs (|p| - |q|) Felhasználják a FUZZY logikában is.

10. Fuzzy bolyhos, homályos, életlen, elmosódott, lágy körvonalú, életlen vonalú spicces, becsípett A tudományos és műszakiéletben: olyan objektum,amelynek nincsenek éles határai,bizonytalan, pontatlan, nemegyértelmű.

11. Példa: életkor

12. Fuzzy műveletek Fuzzy „és”, azaz metszet Fuzzy „vagy” azaz unió

13. Temporális logika Egy lineáris idejű temporális logikaPLTL (Propositional Linear Time Temporal Logic) felépítése: • Atomi kijelentések (AP elemei) • Boole logikai operátorok: ∧ (ÉS), ∨ (VAGY), ¬ (NEGÁLÁS) • Temporális operátorok: – F p: „Valamikor p”, egy elérhető állapotban igaz lesz p – G p: „Mindig p”, minden elérhető állapotban igaz lesz p – X p: „Következő p”, a következő állapotban igaz lesz p – p U q: „p amíg q”, egy elérhető állapotban igaz lesz q, és addig minden állapotban igaz p.

14. Modális logika • A modális logikamodellezi azt is, hogy ha például egy esemény (kijelentés) lehetséges, esedékes vagy éppen szükségszerű, tudott vagy hitt, kötelező, bizonyítható. • A modális logika legjellemzőbb kifejezései a „lehetséges, hogy A” (jelben: ' ') és a „szükségszerű, hogy A” (jelben: '  ') és ezek átfogalmazásai, például: • „Lehet, hogy holnap tengeri csata lesz.” • „Nixon győzhetett volna.” • „Szükségszerű, hogy egy modális logikáról szóló bevezetőben mindig az alethikus modalitással kezdik.”

15. Ezek az operátorok dualitás elve mentén kölcsönösen kifejezhetők egymással; ha A mondat, akkor • lehetséges A akkor és csak akkor, ha nem szükségszerű, hogy nem A, azaz:  A     A • szükségszerű A akkor és csak akkor, ha nem lehetséges nem A, azaz:  A A • A szükségszerűségen és a lehetőségen kívül, azaz az ún. alethikus modalitásokon kívül számos modalitás vizsgálható, melyek például a megismerhetőségre (episztemikus modalitás), meggyőződés fokára (doxatikus modalitás), az időbeli elhelyezkedés szintjeire (temporális modalitás), egy normarendszer szerinti megengedhető tevékenységekre (deontikus modalitás), egy formális rendszerbeli bizonyíthatóságra vonatkoznak.

16. Források • Logikai struktúrák: • http://www.inf.u-szeged.hu/tanszekek/szamitastudomanyalapjai/logika.pdf • Fuzzy: • http://www.tankonyvtar.hu/informatika/fuzzy-rendszerek-5-3-8-5-080904 • Temporális: https://sauron.inf.mit.bme.hu/Edu/FormModsz/2006/Form06.nsf • (előadások címszó alatt)