3(a), pag. 112: a n b 2n

1. 3(a), pag. 112: anb2n

2. 3(b) pag. 112: wcwR

3. Só dicas ... • 3(c): anbmcn+m • basta empilhar a’s e b’s e desempilhá-los com os c’s • 3(d): anbn+mcm • basta empilhar a’s, desempilhá-los com alguns dos b’s até que todos os a’s sejam desempilhados passando a empilhar os b’s restantes que serão desempilhados com os c’s

4. 3(e): anbm, n≤m≤3n S  aSb | aSbb | aSbbb |  1 2 3 4 S  aSA1 | aSA2 | aSA3 |  A1 b A2  bA1 A3 bB B  bA1

5. Será mesmo que L(G)=L? • Provemos então que L(G)={anbm, n≤m≤3n} • L(G)L i.e. Se Sn+1anbm, então n≤m≤3n. Por indução em n. (base) n=0 S n=1 S2ab, S2abb, S2abbb (passo) (Se Sn+1anbm, então n≤m≤3n) implica (Sn+2an+1bm’ com n+1≤m’≤3(n+1))

6. Sn+1anbm implica que Sn anSbm anbm a) Sn anSbm anaSbbm n≤m, logo n+1≤m+1 m≤3n, logo m+1≤3n+3 b) Sn anSbm anaSbbbm n≤m, logo n+1≤m+2 m≤3n, logo m+2≤3n+3 c) Sn anSbm anaSbbbbm n≤m, logo n+1≤m+3 m≤3n, logo m+3≤3n+3

7. L(G)L Dado anbm com n≤m≤3n, seja k=m-n i.e. m=n+k. • k=0, k=n, k=2n é trivial! • 0<k<n: S n-k an-kSbn-k k anSbn+k  anbn+k 1 2 4 • n<k<2n k=2p, 1≤p S n-p an-pSbn-p p anSbn+2p  anbn+k 1 3 4 k=2p-1, 1≤p Sn-p an-pSbn-pan-p+1Sbn-p+2p-1anbn+2p-1 1 2 3

8. S  aSA1 | aSA2 | aSA3 |  A1 b A2  bA1 A3 bB B  bA1 δ(q,a,S)={(q,SA1), (q,SA2), (q,SA3), (q,)} δ(q,b,A1)={(q,)} δ(q,b,A2)={(q,SA1)} δ(q,b,A3)={(q,B)} δ(q,b,B)={(q,A1)}

9. Para exercitar ... 3(f): S  aaX | aXa | baY | bYa |  X  bS | aXX | b Y  aS | bYY | a 3(g): S  aaSbS | aSbSaS | bSaaS | 

10. Cuidado com o (h) • Posto que L não é uma LLC uma vez que jogando contra o diabo para cada k que ele escolha basta dar akbkck e ele perde.

11. 3(i): L={w : |w|a+|w|b=|w|c}

12. Descrições Informais de MTs • Uma máquina de Turing para {ww | w{a,e}*} • Dada x como entrada, varrer até encontrar o primeiro símbolo vazio, contando o número de símbolos mod 2 rejeitando caso x não seja par.

13. Escreve um marca de fim ┤ à direita e repetidamente varre um lado e outro da fita. • Em cada passada da direita para a esquerda, marca o primeiro a ou e não marcado com '. • Na passada da esquerda para a direita marca com `. • Vai assim até todos os símbolos estarem marcados. • por exemplo ...

14. ├aaeeaaaeea■■■■... ├aaeeaaaeeá┤■■■■... ├àaeeaaaeeá┤■■■■... ├àaeeaaaeéá┤■■■■... ├ààeeaaaeéá┤■■■■... ... ├ààèèàááééá┤■■■■... • agora varre a fita da esquerda para a direita repetidamente. Em cada passo apaga o primeiro marcado com ` mas se lembra deste símbolo

15. daí varre até o primeiro não marcado, checa se igual ao apagado e apaga-o; • se os símbolos não são iguais rejeita; • se todos os símbolos forem apagados, aceita. ├ààèèàááééá┤■■■■... ├■àèèà■áééá┤■■■■... ├■■èèà■■ééá┤■■■■... ... ├■■■■■■■■■■┤■■■■...

16. Número de a's é primo • Crivo de Eratóstenes: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 5 7 9 11 13 5 7 11 13 • seja ap na fita ├aaaaaaaaaaaaaOOO... (por razões tipográficas O vai representar o células vazia)

17. se p=0 rejeita, se p=1 aceita; • se tem pelo menos dois a's, apaga o primeiro, varre até o último a e o substitui por $ • agora temos um a nas posições 2,3, ..., p-1 e $ na posição p. ├Oaaaaaaaaaaa$OOO... • repita o laço: • varrendo do começo ├, encontre o primeiro símbolo não-vazio, digamos na posição m

18. Então m é primo! (invariante); • se o símbolo for $, p é primo e pare • senão, marque o a com ^ e tudo entre ele e ├ com ': ├Óâaaaaaaaaaa$OOO... • entra num laço para apagar todos os símbolos que ocorrem em posições que são múltiplas de m. • primeiro apaga o a debaixo de ^. ├ÓÔaaaaaaaaaa$OOO...

19. Desloca as marcas uma por vez para direita a uma distância igual ao número de marcas: ├OOáâaaaaaaaa$OOO... • apaga o símbolo sob ^, que está na posição 2m. ├OOáÔaaaaaaaa$OOO... • mantenha-se deslocando as as marcas e apagando os símbolos sob ^ até o fim. ├OOaOaOaOaO$'ÔOO...

20. se estivermos para apagar o $, rejeite a cadeia! • senão, volta e repete todo o pro-cesso acima; encontre o primeiro símbolo não vazio mais a esquerda marque-o com ^ e marca tudo a sua esquerda com '; ├ÓÓâOaOaOaO$OOO... • e vai deslocando e apagando: ├OOOOaOaOOÓ$'ÔOO...

21. volta e repete até ou tenta-se apagar $ e rejeita-se a cadeia ou se apagam todos os a's e aceita. ├OOOOaOaOOÓ$'ÔOO... ├ÓÓÓÓâOOÓ$'ÔOO... ├OOOOOÓÓÓ$'ÔOO...