初中数学九年级  上册
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初中数学九年级 上册 ( 苏科版 ). §1.3.1 平行四边形的性质. 对边平行. 边. 对边相等. 角. 对角相等. 平行四边形. 互相平分. 对角线. 在表格相应的空格内打 “ √ ” (课本 13 页). 定理: 平行四边形的对边相等 ; 平行四边形的对角相等 ; 平行四边形的对角线互相平分.. 怎么想. 怎么写. 已知:如图,在  ABCD 中. 求证: AB = CD , AD = BC .. A. D. B. C.  证明:平行四边形的对边相等.. 要想证明 AB=CD , AD=BC ,.

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初中数学九年级 上册 ( 苏科版 )

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Presentation Transcript


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初中数学九年级 上册

(苏科版)

§1.3.1

平行四边形的性质


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对边平行

对边相等

对角相等

平行四边形

互相平分

对角线

在表格相应的空格内打“√”(课本13页)


3945672

定理: 平行四边形的对边相等;

平行四边形的对角相等;

平行四边形的对角线互相平分.


3945672

怎么想

怎么写

已知:如图,在 ABCD中.

求证:AB=CD ,AD=BC.

A

D

B

C

 证明:平行四边形的对边相等.

要想证明AB=CD,AD=BC,

只要证△ABC≌△CDA,

只需证∠BAC=∠DCA,

或∠BCA=∠DAC.


3945672

A

D

B

C

已知:如图,在 ABCD中.

求证:AB=CD ,AD=BC.

证明:连结AC.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴ AB∥CD ,AD∥BC.

∴ ∠BAC=∠DCA,∠BCA=∠DAC.

在△ABD 和△DCA 中,

∠BAC=∠DCA (已证),

AC=CA (公共边),

∠BCA=∠DAC (已证).

∴△ABC≌△DCA (ASA).

∴AB=CD ,AD=BC(全等三角形的对应边相等) .


3945672

A

D

B

C

试证明 平行四边形的对角相等.


3945672

怎么想

怎么写

已知:如图,在 ABCD中, AC,BD相交于点O.

求证:AO=CO ,BO=DO.

A

D

O

B

C

试证明 :平行四边形的对角线互相平分.

要想证明AO=CO ,BO=DO,

只要证△AOB≌△COD或

△AOD≌△COB,


3945672

A

D

O

B

C

已知:如图,在 ABCD中, AC,BD相交于点O.

求证:AO=CO ,BO=DO.

证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD ,AD∥BC (平行四边形的定义),

AB=CD (平行四边形的对边相等).

∴∠1=∠2,∠3=∠4.

在△AOB和△COD中,

∠1=∠2(已证),

AB=CD(已证),

∠3=∠4(已证),

∴△AOB≌△COD(ASA).

∴AO=CO,BO=DO(全等三角形的对应边相等) .


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定理 平行四边形的对边相等.

定理 平行四边形的对角相等.

定理 平行四边形的对角线互相

平分.


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已知:如图,在 ABCD中.

求证:∠A=∠C,∠B=∠D .

A

D

C

B

证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴ AB∥CD ,AD∥BC.

∴ ∠B+∠C=180°, ∠A+∠B=180°.

∴ ∠A=∠C.

同理可得,∠B=∠D.


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怎么想

怎么写

A

D

O

B

C

已知:如图,在 ABCD中, AC,BD相交于点O.

求证:AO=CO ,BO=DO.

要想证明AO=CO ,BO=DO,

只要证△AOB≌△COD,

只需证AB=CD,

只需证△ABC≌△CDA.


3945672

A

D

O

B

C

证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD ,AD∥BC .

∴∠1=∠2,∠3=∠4.

在△ABC和△CDA中,

∠1=∠2(已证),

AC=CA(公共边),

∠3=∠4(已证),

∴△ABC≌△CDA(ASA)

∴AB=CD (全等三角形的对应边相等) .

在△AOB和△COD中,

∠1=∠2(已证),

AB=CD(已证),

∠3=∠4(已证),

∴△AOB≌△COD(ASA).

∴AO=CO,BO=DO(全等三角形的对应边相等) .

AB=CD


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E

D

C

F

怎么想

怎么写

例题

  已知:如图,在 ABCD中,E,F分

别是AD,BC的中点.

  求证:BE=DF.

要证BE =DF,

只需证△ABE≌△CDF.

只需证AB =CD,AE =CF.

∠A=∠C.


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证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠A=∠C (平行四边形的对角相等),

AB=CD, AD=BC (平行四边形的对边相等).

∵E,F分别是AD,BC的中点,

∴AE= AD, CF= BC.

∴AE=CF.

∴△ABE≌△CDF(SAS).

∴BE=DF(全等三角形的对应边相等) .

E

D

C

F


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E

E

  如果AE= AD,CF= BC,BE与DF

相等吗?

F

  如果AE= AD,CF= BC,BE与DF

相等吗?

  如果AE= AD,CF= BC,BE与DF

相等吗?

拓展一

D

C


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F

拓展二

  已知:如图,在 ABCD中,

  求证:BE=DF.

E,F分

别是AD,BC的中点.

BE∥DF.

D

C


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D

F

C

证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD (平行四边形的对边相等).

∵BE∥DF,

∴四边形BEDF是平行四边形

(平行四边形的定义) .

∴BE=DF(平行四边形的对边相等) .


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例2、如图,在□ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AE=CF.请你以点F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条线段,猜想并证明它和图中已有的某一线段相等(只需证明一组线段相等即可).

(1)连结_________.

(2)猜想:______=______.

(3)证明:


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E

D

A

O

B

C

怎么想

怎么写

F

小试身手

已知:如图, ABCD的对角线AC,BD

相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别相交

于点E,F.

  求证:OE=OF.

要证OE =OF,

只需证△AOE≌△COF

或△DOE≌△BOF .

只需找两个三角形全等

的条件.


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E

D

A

O

E

D

A

证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OA=OC (平行四边形的对角线互相平分),

AD∥BC.

∴∠OAE=∠OCF.

在△AOE 和△COF中,

∠OAE=∠OCF(已证),

AO=OC(已证),

∠AOE=∠COF(已证) ,

∴△AOE≌△COF (ASA).

∴OE=OF(全等三角形的对应边相等) .

O

B

C

B

C

F

F

小试身手

已知:如图, ABCD的对角线AC,BD

相交于点O,过点O的直线与BA,DC的延长线

分别相交于点E,F.

  求证:OE=OF.

已知:如图, ABCD的对角线AC,BD

相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别相交

于点E,F.

  求证:OE=OF.


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1.判断题(对的在括号内填“∨”,错的填“×”)

(1)平行四边形两组对边分别平行;( )

(2)平行四边形的四个内角都相等;( )

(3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180°;( )

(4)如果平行四边形相邻两边长分别是2cm和3cm,那么周长是10cm;( )

(5)在平行四边形ABCD中,如果∠A=35°,那么∠B=55°;( )


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2.平行四边形的周长为30,两邻边的差为5,则其较长边是____ ____.

※3.在□ABCD中,AC=10,BD=6,则边长AB,AD的可能取值为( ).

(A)AB=4,AD=4 (B)AB=4,AD=7

(C)AB=9,AD=2 (D)AB=6,AD=2

※4.平行四边形一边长为12cm,那么它的两条对角线的长度可能是( ).

(A)8cm和14cm (B)10cm和14cm

(C)18cm和20cm (D)10cm和34cm


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C

E

a

b

B

D

F

  已知:如图,直线a∥b,AB∥CD.

  求证:AB=CD.

  已知:如图,直线a∥b,AB∥CD∥EF .

  求证:AB=CD=EF.

得出结论:

夹在两条平行线间的平行线段相等.


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平行四边形的对边相等

性质

定理

平行四边形的对角相等

平行四边形的对角线互相平分

学有所获

研究四边形问题常用的思考方法--

将四边形问题转化为三角形问题.


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