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3.2 特殊的 平行四边形－菱形

驶向胜利的彼岸. 九年级数学 ( 上 ) 第三章证明 ( 三 ). 3.2 特殊的 平行四边形－菱形. 想一想. 什么样的图形叫做菱形 ? 菱形的定义 : 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形有哪些性质 ?. 菱形是特殊的平行四边形 , 除具有平行四边形的一切性质外 , 还具有一些特殊的性质 : 菱形的四条边都相等 , 两条对角线互相垂直平分 , 每一条对角线平分一组对角. 定理 : 菱形的四条边都相等 定理 : 菱形的对角线互相垂直 , 并且每条对角线平分一组对角. 回顾与思考. 证明命题的一般步骤 :.

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3.2 特殊的 平行四边形－菱形

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  1. 驶向胜利的彼岸 九年级数学(上) 第三章证明(三) 3.2 特殊的 平行四边形－菱形

  2. 想一想 • 什么样的图形叫做菱形? 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 • 菱形有哪些性质? 菱形是特殊的平行四边形,除具有平行四边形的一切性质外,还具有一些特殊的性质: 菱形的四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角. • 定理:菱形的四条边都相等 • 定理:菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角

  3. 回顾与思考 • 证明命题的一般步骤: • (1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); • (2)根据题意,画出图形; • (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; • (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.); • (5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程; • (6)检查表达过程是否正确,完善.

  4. 小试牛刀 D A C B 菱形的性质 • 定理:菱形的四条边都相等. 已知:如图,四边形ABCD是菱形. 求证:AB=BC=CD=DA. • 分析:由菱形的定义,利用平行四边形性质可使问题得证. 证明: ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,AD=BC. ∴ AB=BC=CD=AD.

  5. 小试牛刀 D O A C B 菱形的性质 • 定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角. 已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O. 求证: (1).AC⊥BD; (2).AC平分∠BAD和∠BCD, BD平分∠ADC和∠ABC. 证明:(1) ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴AD=CD,AO=CO. ∵DO=DO, ∴△AOD≌△COD(SSS). ∴∠AOD=∠COD=900. ∴AC⊥BD. (2)∵AD=AB,DA=DC,AC⊥BD; ∴AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.

  6. 例题解析 A E B D C 菱形性质的应用 • 已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形ABCD的面积. 解:(1) ∵四边形ABCD是菱形, ∴∠AED=900, ∴AC=2AE=2×12=24(cm). (2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积 =2×△ABD的面积 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半

  7. 学以致用 D O A C B 已知菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O,且AC=8cm,BD=6cm，求菱形的周长和面积． 解得: 菱形的周长为20cm ,面积为24cm2

  8. 想一想 菱形的判别方法: 怎样判别一个四边形(平行四边形)是菱形? • 一组邻边相等的平行四边形是菱形. • 四条边都相等的四边形是菱形. • 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形.

  9. 我思,我进步 D A C B 菱形的判定 • 定理:四条边都相等的四边形是菱形. 已知:如图,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD是菱形. • 分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可使问题得证. 证明: ∵AB=BC=CD=DA, ∴AB=CD,BC=DA. ∴四边形ABCD是平行四边形.. ∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形.

  10. 2 我思,我进步 D O A C B 菱形的判定 • 定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是菱形. • 分析:要证明□ABCD是菱形,就要证明有一组邻边相等即可. • 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AO=CO. ∵AC⊥BD, ∴ DA=DC. (线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等) ∴四边形ABCD是菱形.

  11. 学以致用 已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F。求证：四边形AEDF是菱形。 证明: ∵DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形AEDF是平行四边形 ∴∠ADE=∠DAF. ∵DE∥AC, ∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠DAE=∠DAF. ∴∠DAE=∠ADE. ∴AE=ED. ∴平行四边形AEDF是菱形.

  12. 学以致用 已知菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF。求证： ∠AEF=∠AFE 证明: ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD, ∠B=∠D ∵BE=DF ∴△ABE≌△ADF(SAS) ∴AE=AF ∴∠AEF=∠AFE.

  13. D A C D B O A C B 本课 小结 菱形的性质 • 定理:菱形的四条边都相等. • ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD. • 定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角. • ∵AC,BD是菱形ABCD的两条对角线. ∴AC⊥BD, AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.

  14. D A C D B O A C B 本课 小结 菱形的判定 • 定理:四条边都相等的四边形是菱形. • 在四边形ABCD中, • ∵AB=BC=CD=AD, ∴四边形ABCD是菱形. • 定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. • ∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,AC⊥BD. ∴四边形ABCD是菱形.

  15. 独立 作业 P99习题3.5 2,3题. 祝你成功！

  16. 下课了! 再 见 结束寄语 • 严格性之于数学家,犹如道德之于人. • 条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.

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