METODE GENERALE PENTRU PRELUCRĂRI NUMERICE DE IMAGINI

1. METODE GENERALE PENTRU PRELUCRĂRI NUMERICE DE IMAGINI

2. Cuprins Eşantionarea semnalelor Utilizarea transformatei Fourier in prelucrarea semnalelor Transformata Fourier discretă Algoritmi de transformare Fourier rapidă Transformata Fourier bidimensionala continua Transformata Fourier bidimensionala discreta

3. EŞANTIONAREA SEMNALELOR Semnale şi sisteme discrete Semnalele: functii continand informatii asupra mediului. Matematic: valori continue (semnale continue) sau valori discrete (semnale discrete), una sau mai multe variabile  semnal unidimensional / multidimensional. Variabilele unei functii: continue sau discrete. Exemplu: semnalul audio un canal: tensiunea la momentul de timp t => functia: valori continue intr-un interval [Umin,Umax] . Exemplu: imagine dinamica bidimensionala niveluri de gri: valoarea nivelului de gri a imaginii – stralucirii, la momentul de timp t, in punctul de coordonate (x,y) din plan, x si y in [Xmin,Xmax] si respectiv [Ymin,Ymax], dimensiunile imaginii, iar G in [Gmin,Gmax].

4. Semnalul discret: definit la momente de timp discrete, variabilele si valorile functiei iau numai valori discrete reprezentare prin secventa de numere. Exemplu: semnal audio, discretizat : iar Uk, k=1,2,...,m, apartin unei multimi finite de valori {Umin,..., Umax}. Exemplu: imagine bidimensionala statica (t fixat ) => matrice de valori ale stralucirii: Gi,j apartinand unei multimi finite {Gmin,...,Gmax}.

5. Eşantionarea semnalelor periodice In vederea prelucrarii numerice un semnal analogic este esantionat la intervale egale de timp T => secventa de valori : unde f(t) functia continua ~ semnalul analogic, frecventa de esantionare 1/T. Daca F(w) transformata Fourier a semnalului analogic  teorema importanta privind frecventa minima de esantionare, in vederea reconstituirii semnalului initial din esantioane. Teorema WKS (Whittaker, Kotelnikov si Shannon): Teorema.Daca un semnal f(t) are transformata Fourier F(w) de banda limitata astfel incat F(w)=0 pentru w>wmax, atunci f(t) poate fi reconstituit in mod unic din esantioanele f(kT), kεZ daca 1/T>=wmax/π.

6. Pentru functiile periodice se aplica urmatoarea teorema : Teorema. O functie periodica f(t) care satisface conditiile dezvoltarii in serie Fourier si contine k componente armonice, poate fi reconstituita fara erori pe baza a N esantioane prelevate uniform dintr-o perioada daca este satisfacuta conditia N2k+1. Preluarea uniforma a celor N esantioane intr-un interval de timp egal cu o perioada a semnalului T0, necesita sincronizarea dispozitivului de esantionare cu semnalul prelucrat. Valoarea maxima a perioadei de esantionare in vederea evitarii erorilor la reconstituire este data de relatia : deci mai mica decit jumatate din perioada T0/k a componentei de cea mai inalta frecventa din spectrul semnalului, rezultand astfel o frecventa de esantionare a semnalului periodic mai mare decat cea a semnalului neperiodic.

7. O forma mai generala a teoremei esantionarii functiilor periodice se poate enunta astfel : Teorema. Un semnal periodic f(t) care satisface conditiile dezvoltarii in serie Fourier si care nu contine armonici de rang mai mare decat k, poate fi reconstituit fara erori pe baza a N esantioane preluate uniform pe durata a P perioade, daca frecventa de esantionare satisface conditia : Din aceasta inegalitate rezulta ca pentru o aceeasi valoare a lui k, teorema generalizata impune preluarea unui numar mai mare de esantioane (P > 1). Calculand raportul intre perioada semnalului T0 si perioada de esantionare T : Acest raport nu este un numar intreg, deci esantioanele corespunzatoare oricarei perioade nu reprezinta o reluare a esantioanelor din celelalte P-1 perioade.

8. Eşantionarea semnalelor multidimensionale Un semnal multidimensional: o functie reala de mai multe variabile reale, f:RnR. Exemplu: imagini bidimensionale. Metode de esantionare a semnalelor bidimensionale: esantionarea rectangulara si esantionarea hexagonala. Esantionarea rectangulara: avantaje  algoritmi de prelucrare obtinuti prin generalizarea teoremei stabilite pentru semnale unidimensionale si circuite fizice mai simple. Esantionarea hexagonala: mai eficienta (semnale de banda limitata intr-o regiune circulara din planul Fourier). Astfel, pentru o reconstruire exacta a semnalului initial este necesara o densitate de esantionare cu aproximativ 13.4% < esantionarea rectangulara.

9. Daca f(x,y) reprezinta un semnal continuu bidimensional procesul de esantionare rectangulara poate fi descris prin relatia: unde X si Y : perioada de esantionare pe orizontala, respectiv pe verticala.

10. Semnalul f(x,y) se considera de banda limitata pe un domeniu D din planul Fourier (care contine originea) daca transformata sa Fourier F(u,v) satisface conditia:

11. Teorema de esantionare rectangulara a semnalelor: Teorema. Un semnal f(x,y) poate fi reconstituit fara erori pe baza secventei de esantioane, daca este de banda limitata pe un domeniu D apartinand planului Fourier si perioada de esantionare dupa cele doua axe satisface conditia: unde u0 si v0 caracterizeaza domeniul rectangular R din planul Fourier

12. Procesul de esantionare hexagonala este descris de relatia:

13. Reconstituirea semnalului original din secventa de esantioane conditionata de urmatoarea teorema : Teorema. Daca f(x,y) este de banda limitata pe un domeniu hexagonal din planul Fourier si daca perioada de esantionare dupa cele doua axe satisface conditia : atunci f(x,y) poate fi reconstituit fara erori pe baza secventei

14. UTILIZAREA TRANSFORMATEI FOURIER IN PRELUCRAREA SEMNALELOR Transformata Fourier a unui semnal Considerand un semnal neperiodic unidimensional, reprezentat printr-o functie reala f(t), se defineste transformata Fourier prin relatia : unde i= . Relatia lui Euler: eix = cosx + i sinx In cazul in care functia F(w) este cunoscuta, utilizand transformata Fourier inversa se poate determina functia originala:

15. Alte definitii: sau

16. Daca f(t) este continua si integrabila si F(w) este integrabila. Transformata Fourier a unei functii reale este de obicei o functie imaginara: unde R(w) este partea reala si I(w) este partea imaginara. Daca f(t) este para (f(t)=f(-t)) atunci I(w)=0, pentru ca sin(-2πwt) este o functie impara (antisimetrica). Daca f(t) este antisimetrica (f(t)=-f(-t)) R(w)=0 pentru ca cos(-2πwt) este para (simetrica).

17. Sub forma exponentiala: unde: este numit si spectrul (amplitudinea) Fourier al lui f(t), iar: este faza. Patratul spectrului: reprezinta energia spectrului.

18. In cazul functiilor periodice de perioada T, exista posibilitatea dezvoltarii acestora in serie Fourier, conform relatiei: in care w=2π/T, iar coeficientii dezvoltarii se calculeaza astfel:

19. O functie periodica poate fi dezvoltata in serie Fourier daca aceasta respecta conditiile de convergenta. Dezvoltarea in serie Fourier poate fi exprimata si sub forma: unde: Relatiile precedente indica faptul ca un semnal periodic poate fi exprimat sub forma unei sume infinite de semnale sinusoidale de frecvente armonice ale fundamentalei w=2π/T. Transformata Fourier realizeaza o conexiune intre domeniul timp si domeniul frecventa, avand posibilitatea evaluarii marimii componentelor spectrale.

20. Transformata Fourier discretă Se considera o functie continua f(t) discretizata printr-o secventa {f(t0),f(t0+T),f(t0+2T),...,f(t0+(N-1)T)}, formata din N valori, preluate la intervale de timp egale T. Se noteaza secventa corespunzatoare de valori prin relatia: Se poate defini perechea de transformari Fourier discrete aplicate unui semnal esantionat in N puncte: si respectiv

21. Valorile U[j] din ecuatie pentru j=0,1,...,N-1 corespund esantioanelor transformatei Fourier continue, astfel: in care s-a notat prin S intervalul de esantionare in domeniul frecventa, iar esantionarea incepe in origine. Se poate arata ca intre intervalele de esantionare in domeniul timp si domeniul freventa este adevarata urmatoarea relatie:

22. Folosind notatia W=1/Ne-i2π/N ecuatia devine: care se mai poate scrie si sub forma matriciala:

23. O proprietate importanta a transformatei Fourier discrete: teorema lui Parceval (relatia energiilor): Teorema. Puterea medie a unei functii esantionate in timp este egala cu suma puterilor asociate fiecarei componente Fourier individuale si nu este afectata prin relatia de faza dintre aceste componente: Alte proprietati importante se refera la convolutie si corelatie.

24. Convolutia Convolutia a doua functii reprezinta un proces de combinare a acestora, de introducere a unei functii in cadrul celeilalte. Astfel, fiind date doua functii f(t) si g(t) se defineste convolutia acestora prin relatia: unde s este o variabila de integrare. Notand F(w) si G(w) transformatele Fourier ale celor doua functii se poate arata ca transformata Fourier a convolutiei f(t)*g(t) este produsul F(w)G(w): Analog, transformata Fourirer a produsului de functii f(t)g(t) este convolutia transformatelor lor Fourier:

25. In cazul discret, considerand doi vectori reprezentand esantioanele a doua functii f(t) si g(t): se defineste convolutia acestora prin relatia: cu considerand u[k]=v[k]=0 pentru k<0 sau kN. Se poate demonstra ca: rezultat care permite obtinerea convolutiei a doi vectori aplicand transformata Fourier inversa produsului transformatelor Fourier al celor doi vectori.

26. Alte proprietati importante ale convolutiei sunt: c=a*b=b*a (comutativitatea) c=a*(b*d)=(a*b)*d=a*b*d (asociativitatea) c=a*(b+d)=(a*b)+(a*d) (distributivitatea) unde a, b, c si d sunt semnale unidimensionale sau imagini bidimensionale continue sau discrete.

27. Corelatia Asemanator, se defineste corelatia a doua functii continue f(t) si g(t) prin relatia: indicand gradul de apropiere ( asemanare ) dintre ele. In cazul discret: cu considerand u[k]=v[k]=0 pentru k<0 sau kN.

28. Se poate demonstra ca: unde reprezinta complex conjugatul lui fourier(v). De asemenea: aceste relatii fiind valabile si pentru cazul continuu.

29. Algoritmi de transformare Fourier rapidă Calcularea valorilor date de DFT  numar de inmultiri si adunari complexe proportional cu N2. Intr-adevar, pentru fiecare din cele N valori ale lui U[j] sunt necesare N inmultiri complexe dintre valorile esantioanelor u[k] si valorile functiei exponentiale e-i2πjk/N si N-1 adunari ale rezultatelor. S-au considerat valorile exponentialei calculate o singura data si pastrate intr-o tabela. Au fost dezvoltati algoritmi care calculeaza transformata Fourier a unui set de esantioane intr-un interval de timp mult mai scurt, necesitand un numar de operatii de inmultire si adunare proportional cu Nlog2N => algoritmi de transformare Fourier rapida (FFT).

30. Multe din procedeele FFT utilizeaza in calcule proprietatile expresiei W=e-i2π/N si anume: proprietati care rezulta din simetria, respectiv periodicitatea functiilor sinus si cosinus. Principiul fundamental pe care se bazeaza algoritmii FFT: descompunerea calculului transformarii Fourier discrete in mai multe transformari succesive de lungimi mai mici.

31. Schema algoritmului FFT pentru N=8:

33. Se poate demonstra ca executia acestui algoritm se poate face intr-un timp proportional cu NlogN. Pentru realizarea calculului efectiv al transformatei Fourier rapide este necesar sa se lucreze numai cu coeficientii polinoamelor care intervin in prelucrare, ceea ce simplifica foarte mult descrierea algoritmului:

34. Transformata Fourier bidimensionala continua Transformata Fourier poate fi extinsa cu usurinta la o functie f(x,y) de doua variabile, ca de exemplu in cazul imaginilor statice. Daca f(x,y) este continua si integrabila si F(u,v) este integrabila sunt adevarate relatiile de transformare Fourier directa si inversa:

35. La fel ca in cazul unidimensional se pot defini relatiile pentru spectrul (magnitudinea) Fourier: faza: spectrul energiei: unde R(u,v) si I(u,v) reprezinta componentele reala si imaginara ale lui F(u,v).

36. Urmatoarele proprietati sunt valabile atat in domeniul continuu, cat si in domeniul discret: a) transformata Fourier poate fi exprimata prin magnitudine si faza: Transformata Fourier a unei imagini poate fi complexa. Pentru reconstruirea completa a imaginii initiale sunt necesare ambele functii, magnitudinea si faza. Θ(u,v)=0 |F(u,v)|=const Imaginea initiala, magnitudinea si faza acesteia. Refacerea imaginii initiale

37. Se considera doua imagini cu dungi, 8 dungi verticale, respectiv 32 dungi orizontale. Se reprezinta magnitudinile transformatelor Fourier (axa u pe orizontala si v pe verticala). In ambele cazuri rezulta un punct luminos in centru, frecventa (0,0) insemnand valoarea medie. Frecventa mare in directia verticala genereaza doua puncte simetrice pe directie verticala, departate.

38. b) daca semnalul 2D este real, atunci transformata Fourier are o anumita simetrie: unde este complex conjugatul lui F(-u,-v). Aceasta implica: c) daca semnal 2D este real si par, atunci transformata Fourier este reala si para:

39. d) transformarile Fourier directa si inversa sunt operatii liniare: fourier(w1a+w2b)=fourier(w1a)+fourier(w2b)=w1A+w2B fourier-1(w1A+w2B)=fourier-1(w1A)+fourier-1(w2B)=w1a+w2b unde a si b sunt semnale 2D (imagini), iar w1 si w2 sunt constante complexe arbitrare. e) transformata Fourier din spatiul discret este periodica in ambele variabile u si v. F(u+2πj,v+2πk)=F(u,v) pentru j si k intregi.

40. f) fiind date semnalele multidimensionale a, b si c, precum si transformatele lor Fourier A, B si C, atunci sunt adevarate relatiile: c=a*b C=AB c=ab C=1/(4π2)A*B Este o proprietate foarte importanta egalitatea intre convolutia din domeniul spatial si inmultirea din domeniul frecventa, si reciproc! => metodologie pentru implementarea convolutiei; => modul in care doua semnale interactioneaza pentru a produce un al treilea semnal.

41. Transformata Fourier bidimensionala discreta Considerand discretizarea functiei continue f(x,y) intr-o matrice de esantioane de tipul: in care (x0,y0)=(0,0) pentru u=0,1,2,...(M-1) si v=0,1,2,...(N-1).

42. se defineste transformata Fourier discreta prin ecuatia: iar transformarea Fourier inversa: pentru x=0,1,2,...,(M-1) si y=0,1,2,...,(N-1). Relatiile dintre imcrementii in domeniile spatial si frecventa sunt:

43. Considerindu-se pentru o imagine patrata N=M, ecuatiile precedente se mai pot scrie si sub forma: pentru u,v=0,1,2,...,(N -1) si pentru x,y=0,1,2,...,(N-1). De notat faptul ca in expresiile ambelor functii s-a inclus un factor 1/N.

44. Principalul avantaj al proprietatii de separabilitate este acela ca F[u,v] si f[x,y] se pot obtine in doua etape succesive, aplicand transformari Fourier directe si inverse unidimensionale. Astfel, pentru calculul lui F[u,v] intr-o prima etapa se considera x constant ( transformare pe randuri ) si se calculeaza: iar in etapa urmatoare ( transformare pe coloane ):

45. Calcularea unei transformări bidimensionale Fourier ca o serie de transformări unidimensionale:

46. O proprietate importanta a transformarii Fourier discrete este periodicitatea: F[u,v]=f[u,N-v] f[-x,y]=f[M-x,y] F[-u,v]=f[M-u,v] f[x,-y]=f[x,N-y] F[aM+u,bN+v]=F[u,v] f[aM+x,bN+y]=f[x,y]

47. La fel ca in cazul continuu se pot defini relatiile pentru spectrul de frecventa (magnitudinea) Fourier: faza: spectrul energiei: unde R[u,v] si I[u,v] F[u,v] = R[u,v] + i I[u,v] reprezinta componentele reala si imaginara ale lui F[u,v].

48. Urmatoarele proprietati sunt valabile atat in domeniul continuu, cat si in domeniul discret: Definitia convolutiei pentru doua functii bidimensionale f(x,y) si g(x,y) este data de relatia: iar pentru cazul discret: pentru x=0,1,2,...,M-1 si y=0,1,2,...,N-1. Teorema convolutiei pentru doua dimensiuni este data de relatiile: si

49. Analog cazului unidimensional, corelatia a doua functii bidimensionale f(x,y) si g(x,y) este data de relatia: iar pentru cazul discret: pentru x=0,1,2,...,M-1 si y=0,1,2,...,N-1. Se poate demonstra ca: si ca:

50. Algoritm (de dedublare succesiva) pentru calcularea FFT a valorilor furnizate prin vectorul F, cu lungimea 2LN de valori reale (partea imaginara se initializeaza cu 0 ). Rezultatul este returnat tot prin vectorul F, cu valori complexe.