Стереометрия

1. Стереометрия • ТЕМА: 2.3 • ТЕТРАЭДР. СЕЧЕНИЕ ТЕТРАЭДРА. • АК ВГУЭС • Преподаватель • БОЙКО ВЕРА ИВАНОВНА

2. специальности: • 08011051 «Банковское дело» • 10110151 «Гостиничный сервис» • 080110151 «Сервис домашнего и • коммунального хозяйства» • 10080151 «Товароведение и • экспертиза качества потребительских • товаров»

3. Требования к знаниям, умениям и навыкам В результате изучения лекции студент должен знать: * Представление о правильных многогранниках. * Определение тетраэдра и его изображение . * Элементы тетраэдра. * Как построить сечения тетраэдра. В результате изучения лекции студент должен уметь: • Изображать тетраэдр. • Решать задачи на построение сечений тетраэдра. 3

4. Содержание: 1. Понятие многогранника. 2. Определение тетраэдра и его элементов. 3. Изображение тетраэдра. 4. Сечения тетраэдра.

5. Многогранник • Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранником. • Многие многогранники изобрел не человек, а создала природа.

6. Тетраэдр – поверхность, составленная из четырех треугольников Определение

7. , / S S Тетраэдр. Слово составлено из греческих «четыре» и - «основание». Буквальное значение – «четырехгранник». По-видимому, термин впервые употреблен Евклидом. После Платона чаще встречается «пирамида» В А С

8. Тетраэдр имеет D 4 грани: DAC, DBC, DAB, ABC. 3 6 рёбер: DA, DB, DC, AB, AC, BC. 1 A 2 4 B 4 вершины (в каждой сходятся три ребра): D, A, B, C. C

9. Противоположные ребра: D DA и ВС, DB и АС, DС и АВ. A Основание: АВС B Боковые грани: DАВ, DВС, DАС. C

10. Изображение тетраэдра Пусть A0B0C0D0 – произвольный тетраэдр, A, B, C и D – параллельные проекции его вершин на плоскость изображений (π). Отрезки AB, BC, CA, AD, BD, CD служат сторонами и диагоналями четырёхугольника ABCD. Фигура, образованная из этих отрезков (или любая другая фигура, подобная ей), является изображением тетраэдра A0B0C0D0 .

11. Фигура, состоящая из сторон и диагоналей любого (выпуклого или невыпуклого) четырёхугольника, является изображением тетраэдра при соответствующем выборе плоскости изображений и направления проектирования. На этих рисунках невидимые рёбра изображены штриховыми линиями.

12. Точки М и N – середины ребер АВ и АС тетраэдра АВСD. Докажите, что прямая МN параллельна плоскости ВСD. А М В N D С

13. Какие многоугольники могут получиться в сечении ? Тетраэдр имеет 4 грани В сечениях могут получиться: • Треугольники • Четырехугольники

14. Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K • Найдите периметр сечения, если M, N, K – середины ребер и каждое ребро тетраэдра равно а. D M K N А C B

15. Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K • Найдите периметр сечения, если M, N, K – середины ребер и каждое ребро тетраэдра равно а. D K N А C M B

16. Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K • Найдите периметр сечения, если M, N, K – середины ребер и каждое ребро тетраэдра равно а. D K E А C M N B

17. Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K • MN ║ AC D K E А C M N B

18. Тетраэдр • Постройте сечение тетраэдра плоскостью, • проходящей через • точку М • параллельно (АВС). D М Р К А С В

19. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки Т, Р , О Д Р О Х В А М Т С

20. Через середины ребер АВ и ВС тетраэдра SАВС проведена плоскость параллельно ребру SВ. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SАВ и SВС по параллельным прямым. S Е К Дано: SАВС –тетраэдр, МА=МВ, ВN=NC, А С М N В

21. Изобразите тетраэдр DABC и на ребрах DB, DC, и BC отметьте соответственно точки М, N и К. Постройте точку пересечения прямой КN и плоскости ABD. D M N • • А С • K В • M 1

22. Задача1. На рёбрах AB, BDи CD тетраэдра ABCD отмечены точки M,N и P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP. D P . N . В С . M А Примеры построения сечений

23. Решение. Построим сначала прямую, по которой плоскость MNPпересекается с плоскостью грани ABC. Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для построения ещё одной общей точки продолжим отрезки NPи BCдо их пересечения в точке Е, которая и будет второй общей точкой плоскостей MNPи ABC. D P . N . E В . С . M . Q А

24. D А B K M N Вариант 1 • Задача № 1 • Постройте точку пересечения прямой АВ с плоскостью MNK.

25. D А K M Вариант 1ответ • Задача № 1 • Постройте точку пересечения прямой АВ с плоскостью MNK. B N Х

26. D K M N Вариант 1 • Задача № 2 • Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки А, Ви С; • С Є MND. С B А

27. D K M N Вариант 1ответ • Задача № 2 • Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки А, Ви С; • С Є MND. С B А

28. D K M N Вариант 2ответ • Задача № 1 • Постройте точку пересечения прямой АВ с плоскостью MDK. А B Х

29. D K M N Вариант 2 • Задача № 2 • Постройте сечениететраэдра плоскостью, проходящей через точки • А,В и С; В ЄNDK. А C B

30. D K M N Вариант 2ответ • Задача № 2 • Постройте сечениететраэдра плоскостью, проходящей через точки • А,В и С; В ЄNDK. А C B

31. Интересные факты

32. Тетраэдры в живой природе Некоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение. Например, таким образом могут располагаться грецкие орехи

33. Тетраэдр в технике

34. Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки. Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.

35. Тетраэдры в микромире Вода, Лёд, Н2О Молекула метана СН4 Молекула аммиака NH3 Алмаз C - тетраэдр с ребром равным 2,5220 ангстрем Флюорит CaF2, тетраэдр с ребром равным 3, 8626 ангстрем Сфалерит, ZnS, тетраэдр с ребром равным 3,823 ангстрем Комплексные ионы [BF4] -, [ZnCl4]2-, [Hg(CN)4]2-, [Zn(NH3)4]2+.

36. - Что такое многогранник, его поверхность? - Назвать основные элементы тетраэдра. - Сколько граней, ребер и вершин в тетраэдре? - Как многоугольники могут получится в сечении тетраэдра? - Как строить сечения тетраэдра? - Где в жизни встречается тетраэдр? • Вопросы для самопроверки

37. Используемая литература: 1.Геометрия: Учебник для средней школы. 10–11 классы./ Под ред. Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева и др. – М.: Просвещение, 2010. 2. Геометрия. 10 класс. Поурочные планы / Авт.-сост. Г.И. Ковалева – Волгоград: Учитель, 2011 3. Геометрия.10-11 классы. И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. Москва: Мнемозина, 2003