Теория пластин

1. Теория пластин Основные понятия и гипотезы теории изгиба анизотропных пластин. Перемещения и деформации тонкой пластины

2. Основные понятия и гипотезы теории изгиба анизотропных пластин • Пластина- призматическое или цилиндрическое тело, толщина которого h мала по сравнению с другими габаритными размерами. Для исследования напряженно-деформированного состояния пластин введем систему координат x,y,z так, чтобы ось z была перпендикулярна пластине (Рис.1). Рис.1 Пластина

3. Основные понятия и гипотезытеории изгиба анизотропных пластин Таблица 1 Классификация пластин Классификация, предложенная Б.Г.Галеркиным, представлена в Таблице 1. • Любая плоскость, перпендикулярная оси z, является координатной плоскостью. • Пересечение боковой поверхности пластины с координатной плоскостью называется контуром. • Координатная плоскость, сохраняющая свои размеры при деформировании пластин, называется срединной плоскостью. • Перемещение точек пластины в направлении z называется прогибом.

4. Основные понятия и гипотезы теории изгиба анизотропных пластин • Гипотеза прямых нормалей: любой прямолинейный элемент, нормальный к срединной поверхности, остается прямолинейным и нормальным к срединной поверхности после деформирования пластины (γyz=0, γxz=0) и длина его не изменится (εz=0). • Гипотеза недеформируемости срединной плоскости: , где u, ν – перемещения точек плоскости пластины, zc – координата срединной плоскости. • Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластины, параллельными срединной плоскости, позволяет пренебречь напряжениями σz по сравнению с напряжениями σх и σy

5. Перемещения и деформации тонкой пластины Исследуем геометрическую сторону задачи об изгибе пластины. Следуя 1-й гипотезе, рассмотрим соотношения Коши: (1) следовательно, прогиб не зависит от координаты z, (2)

6. Перемещения и деформации тонкой пластины Для определения f1и f2 воспользуемся 2-й гипотезой (3) или (4) Если выбрать систему координат x,y,z из условия zc=0; окончательно получим (5) Таким образом, все компоненты перемещения точки пластины выражаются через функцию прогиба w и через z - расстояние до срединной плоскости.

7. Перемещения и деформации тонкой пластин Из 6 геометрических соотношений Коши 3 уже использовали для . Выпишем оставшиеся соотношения (6) где Kx, Ky, Kxy - кривизны. Таким образом, все компоненты тензора деформации определяются через функцию прогиба