Le modèle de Lotka-Volterra
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 68

Le modèle de Lotka-Volterra PowerPoint PPT Presentation


  • 67 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Le modèle de Lotka-Volterra. Version Volterra. Croissance exponentielle proies x en absence de prédateurs Décroissance exponentielle des prédateurs y en absence de proies

Download Presentation

Le modèle de Lotka-Volterra

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Le mod le de lotka volterra

Le modèle de Lotka-Volterra


Le mod le de lotka volterra

Version Volterra

  • Croissance exponentielle proies x en absence de prédateurs

  • Décroissance exponentielle des prédateurs y en absence de proies

  • L’ « interaction » proies-prédateurs est proportionnelle au nombre de rencontres entre les deux espèces, donc à leurs densités respectives(les coeff. B et D sont différents car la disparition d’une proie n’entraîne pas de facto la naissance d’un prédateur)


Le mod le de lotka volterra

Modèle de Lotka-Volterra

k1

Z + X 2X

k2

Y + X 2Y

Version Lotka

k3

Y W

k2 = B

k3 = C

Si [Z] >> [X]

alors k1Z=cste=A


Le mod le de lotka volterra

Etats stationnaires

1ère solution :

Premier état stationnaire : u0=0, v0=0

2ème solution :

Deuxième état stationnaire : u0=1, v0=1


Le mod le de lotka volterra

Analyse des modes normaux

Matrice jacobienne

Eléments de la jacobienne

Jacobienne à l’état stationnaire 1 (u0=0, v0=0)

Jacobienne à l’état stationnaire 2 (u0=1, v0=1)


Le mod le de lotka volterra

Jacobienne à l’état stationnaire 1 (u0=0, v0=0)

Analyse des

modes normaux

Trace de la jacobienne :

Déterminant de la jacobienne :

Equation caractéristique :

Discriminant de l’équation caractéristique :

La constante a étant toujours positive, D est négatif, ce qui signifie que les deux racines R1 et R2 sont de signes contraires.

L'état stationnaire est donc instable et de type point de selle. Les trajectoires s'écartent de cet état.

5

6


Le mod le de lotka volterra

Jacobienne à l’état stationnaire 2 (u0=1, v0=1)

Analyse des

modes normaux

Trace de la jacobienne :

Déterminant de la jacobienne :

Equation caractéristique :

Discriminant de l’équation caractéristique :

Le discriminant étant toujours négatif, l'équation caractéristique admet deux racines toujours imaginaires. La constante a étant toujours positive, D est positif. La trace est toujours nulle.

L'état stationnaire est un centre (cas très particulier). Les trajectoires sont (dans le système linéarisé) des cercles centrés sur l'état stationnaire.

3

2


Le mod le de lotka volterra

Sensibilité du modèle de Lotka-Volterra aux conditions initiales


Le mod le de lotka volterra

Oscillations glycolytiques


Le mod le de lotka volterra

Pye, 1971

Extrait S. carlbergensis

Milieu de culture : tréhalose


Le mod le de lotka volterra

Influence de la vitesse d’injection du substrat


Le mod le de lotka volterra

+

S

P

vPFK

(a)

(g)

a


Le mod le de lotka volterra

+

S

P

vin

vPFK

vout


Le mod le de lotka volterra

Etat(s) stationnaire(s) du système

soit

avec

dont l’unique racine positive est :


Le mod le de lotka volterra

Analyse des modes normaux


Le mod le de lotka volterra

Analyse des modes normaux : déterminant de la jacobienne

L’état stationnaire (a*, g*) ne peut donc être en aucun cas du type point de selle.


Le mod le de lotka volterra

Analyse des modes normaux : trace de la jacobienne

Condition d’instabilité : Tr* > 0 soit


Le mod le de lotka volterra

Analyse des modes normaux : discriminant

La valeur stationnaire du discriminant peut être positive ou négative. L’état stationnaire peut donc être, a priori, stable ou instable, de type « nœud » ou « foyer », selon la valeur des paramètres.


Le mod le de lotka volterra

1.0 < µ < µ1(d) = 0.032144tr* < 0, d* > 0 nœud stable

2.µ1(d) = 0.032144 < µ < µ1(tr) = 0.03598tr* < 0, d* < 0foyer stable

3.µ1(tr) = 0.03598 < µ < µ2(d) = 0.04098tr* > 0, d* < 0foyer instable

4.µ2(d) = 0.04098 < µ < µ3(d) = 0.3574tr* > 0, d* > 0nœud instable

5.µ3(d) = 0.3574 < µ < µ2(tr) = 0.4572tr* > 0, d* < 0foyer instable

6.µ2(tr) = 0.4572 < µ < µ4(d) = 0.5543tr* < 0, d* < 0foyer stable

7.µ4(d) = 0.5543 < µtr* < 0, d* > 0nœud stable

µ = 0.36

3


Le mod le de lotka volterra

1.0 < µ < µ1(d) = 0.032144tr* < 0, d* > 0 nœud stable

2.µ1(d) = 0.032144 < µ < µ1(tr) = 0.03598tr* < 0, d* < 0foyer stable

3.µ1(tr) = 0.03598 < µ < µ2(d) = 0.04098tr* > 0, d* < 0foyer instable

4.µ2(d) = 0.04098 < µ < µ3(d) = 0.3574tr* > 0, d* > 0nœud instable

5.µ3(d) = 0.3574 < µ < µ2(tr) = 0.4572tr* > 0, d* < 0foyer instable

6.µ2(tr) = 0.4572 < µ < µ4(d) = 0.5543tr* < 0, d* < 0foyer stable

7.µ4(d) = 0.5543 < µtr* < 0, d* > 0nœud stable

µ = 0.45

3


Le mod le de lotka volterra

1.0 < µ < µ1(d) = 0.032144tr* < 0, d* > 0 nœud stable

2.µ1(d) = 0.032144 < µ < µ1(tr) = 0.03598tr* < 0, d* < 0foyer stable

3.µ1(tr) = 0.03598 < µ < µ2(d) = 0.04098tr* > 0, d* < 0foyer instable

4.µ2(d) = 0.04098 < µ < µ3(d) = 0.3574tr* > 0, d* > 0nœud instable

5.µ3(d) = 0.3574 < µ < µ2(tr) = 0.4572tr* > 0, d* < 0foyer instable

6.µ2(tr) = 0.4572 < µ < µ4(d) = 0.5543tr* < 0, d* < 0foyer stable

7.µ4(d) = 0.5543 < µtr* < 0, d* > 0nœud stable

µ = 0.55

2


Le mod le de lotka volterra

Méthode des isoclines nulles


Le mod le de lotka volterra

Diffusion

Première loi de Fick : le flux matériel J (cellules, concentration, nombre d’individus appartenant à une population, etc.) est proportionnel au gradient de « concentration » de ce matériel, ce qui, dans un espace à une dimension, s’exprime mathématiquement par :

D ( coefficient de diffusion) a pour dimension [longueur]2[temps]-1 (cm2 sec-1 par exemple).

Deuxième loi de Fick :

Equation générale d’un processus de réaction-diffusion :

(diffusion à une dimension)


Le mod le de lotka volterra

Diffusion

Réaction – diffusion à une dimension :

Formalisme plus général :

avec, dans le cas d’une diffusion monodirectionnelle :

Cas général d’une diffusion à 3 dimensions :


Le mod le de lotka volterra

Scilab

cd ..\g


Le mod le de lotka volterra

  • Qu‘est-ce que le phénomène d’excitabilité ?

  • Dans quelles conditions paramétriques peut-il être observé ?

  • Pourquoi n’observe-t-on jamais qu’une seule vague (et non, par exemple, un train d’oscillations) ?

  • Pourquoi lorsqu’ils se rencontrent, les deux fronts de vague s’annihilent-ils (ce qui a pour conséquence de faire que chaque point du cortex est soumis une et une seule fois au passage de la vague) ?

  • Quel est le mécanisme expliquant la transmission d’une unité à l’autre de la fluctuation initiale (phénomène de relais) ? La transmission est-elle soumise à des contraintes paramétriques particulières ?


Le mod le de lotka volterra

L’excitabilité est une propriété d’un état stationnaire stable d’un système qui posséde au moins une isocline nulle ayant une branche de pente négative (forme en S). Dans la plupart des zones de pente positive, l’état stationnaire est très stable : le système ne peut amplifier un pulse de concentration.

Cependant, à mesure que l’état stationnaire s’approche de l’extremum de la branche stable passant par l’origine (0, 0), le système devient excitable, c’est-à-dire capable d’amplifier un pulse de concentration (ici g). La zone d’excitabilité est en général très étroite.


Le mod le de lotka volterra

Condition à l’excitation effective d’un système excitable :

Pour que la fluctuation soit amplifiée, il faut que son amplitude dépasse un seuil. Le seuil diminue à mesure que l’état stationnaire soumis à la fluctuation approche le domaine instable.

L’excitabilité se définit ainsi comme la capacité d’un système à amplifier, au-delà d’un seuil, un pulse d’une de ses variables, à partir d’un état stationnaire stable.


Le mod le de lotka volterra

Trajectoire dans le plan de phase, suite à une excitation supraliminaire


Le mod le de lotka volterra

A t= 0, Dg=0.4


Le mod le de lotka volterra

Perturbations et période réfractaire

Dg = 2.0

Dg = 0.4

Dg = 0.2

g seuil


Le mod le de lotka volterra

Période réfractaire annihilation de la vague


Le mod le de lotka volterra

Le phénomène de relais

  • Transmission de l’excitation d’une unité à l’autre, via la diffusion du calcium cytosolique

Programme VagueCaRelais

(nb_cycles = 100)

Existence d’une limite supérieure et d’une limite inférieure à la diffusion entre lesquelles

le signal d’excitation amplifié est transmis entre unités corticales.

Détermination des valeurs limites de d pour lesquelles le relais se produit


Le mod le de lotka volterra

De l'excitabilité aux oscillations

µ = 0.2

µ = 0.0333


Le mod le de lotka volterra

Relais d'oscillations

Tous les compartiments basculent dans un état oscillant : synchronisation des oscillations, en phase dans tous les compartiments

Un seul compartiment bascule dans un état oscillant : ondes concentriques en provenance d’un émetteur

Une rangée de compartiments basculent dans un état oscillant : vagues successives

Dans les 2 derniers cas, comment sont relayées les oscillations par les unités restées dans l’état excitable ?

Programme VagueCaRelais


Le mod le de lotka volterra

Relais d'oscillations

Programme VagueCaRelais

nb_cycles = 400;// NOMBRE DE FIGURES INTERMEDIAIRES DESIREES

for cycle=1:nb_cycles

//***** Terme de réaction : intégration numérique ********

t=10; // temps d'intégration pour chaque cycle

for i=1:m

if i==m/2 then mu=0.2;

else mu=0.0333; end;

Y1=ode([alpha(i);g_new(i)],0,t,paramecie);

alpha(i) = Y1(1,1);

g_old(i) = Y1(2,1);

end

ftp://ftp.u-psud.fr/pub/from-upsud/f2e79a0c/VagueCaRelais.sce


Le mod le de lotka volterra

oscillations calcium

intégration calcium


Le mod le de lotka volterra

Motifs de Turing


Le mod le de lotka volterra

Classiquement : la diffusion homogénéise

Turing: la diffusion peut engendrer des homogénéités en

amplifiant des fluctuations locales et en créant une structuration

permanente de l’espace.


Le mod le de lotka volterra

Les vagues de calcium étudiées précédemment sont-elles des

« structures de Turing » ?

NON: la vague ou les oscillations de calcium sont des structures

qui évoluent dans le temps (la concentration en un point de

l’espace n’est pas constante au cours du temps).

Une fois établie, une structure de Turing est au contraire

stationnaire dans le temps et dans l’espace.


Le mod le de lotka volterra

Système de réaction-diffusion

Un système de réaction-diffusion est susceptible de présenter

des phénomènes d’instabilité dépendants de la diffusion

(ou instabilités de Turing) si son état stationnaire homogène est

stable aux petites perturbations en absence de diffusion pour

devenir instable aux mêmes petites perturbations lorsque

la diffusion est présente.


Le mod le de lotka volterra

Exemple simple de modèle de Turing

(développé à partir du modèle de Lotka-Volterra)

Proies, x

prédateurs, y

Dans la plupart des modèles de Turing, x et y sont présents au temps 0, mais il n’y a pas de flux d’entrée extérieur. On remplacera donc ici le terme Ax par une simple constante A

De plus, y est supposée pouvoir être détruite par un processus (noté b etappelé "évocateur" par Turing) d’ordre 0, c’est-à-dire indépendant de y.

B = C = D = 1/16

A = 1

Termes de réaction


Le mod le de lotka volterra

Exemple simple de modèle de Turing

(développé à partir du modèle de Lotka-Volterra)

Termes de réaction

Termes de diffusion

(diffusion à 1 dimension)

Les valeurs des coefficients de diffusion de x et de y diffèrent d’un facteur 4.

Dans tous les compartiments : b = 12 ± 0.25


Le mod le de lotka volterra

X

Y


Le mod le de lotka volterra

X

Y


Le mod le de lotka volterra

X

Y


Le mod le de lotka volterra

Dx multiplié par 2

Dy multiplié par 2

La valeur des coefficients de diffusion influe sur la longueur d’onde des patterns.

X

Y


Le mod le de lotka volterra

Rythmes circadiens (Tyson, 1999)


Le mod le de lotka volterra

Rythmes circadiens (Tyson, 1999)

avec


  • Login