第十一章 质点动力学基本方程

1. 第十一章 质点动力学基本方程 沈阳建筑大学 侯祥林

2. 第十一章 质点动力学的基本方程 §11-1 动力学的基本定律 § 11-2 质点的运动微分方程 § 11-3 质点动力学的两类基本问题 质点动力学第一类基本问题例题 质点动力学第二类基本问题例题 §11-4 质点相对运动动力学的基本方程 质点相对运动动力学问题例题

3. 第十一章 质点动力学的基本方程 质点是物体最简单，最基本的模型，是构成复杂物体系统的基础。质点动力学基本方程给出了质点受力与其运动变化之间的联系。 本章根据动力学基本定律得出质点动力学的基本方程，运用微积分方法，求解一个质点的动力学问题。 • §11-1 动力学的基本定律 质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿提出来的，称为牛顿三定律。 ×

4. 第一定律（惯性定律） 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 不受力作用的质点（包括受平衡力系作用的质点），不是处于静止状态，就是保持其原有的速度（包括大小和方向）不变，这种性质称为惯性。 第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，故称为惯性定律。 第二定律（力与加速度之间的关系的定律） 质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同，即 上式是第二定律的数学表达式，它是质点动力学基本方程。 建立了质点的加速度，质量与作用力之间的定量关系。 当质点上受多个力作用时，式中F应为此汇交力系的合力。 ×

5. 表明： (1) 质点在力作用下有确定的加速度，使质点运动状态发生改变。 (2) 对于相同质量的质点，作用力大，其加速度也大； (3) 用大小相等的力作用于质量不同的质点上，则质量大的质点加速度小，质量小的质点加速度大。 说明质点质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。 在地球表面，任何物体都受到重力P的作用。 在重力作用下得到的加速度称为重力加速度，用g表示。 根据第二定律有： 上式中的P和g分别是物体所受的重力和重力加速度的大小。 ×

6. 根据国际计量委员会规定的标准， 重力加速度的数值为9.80665m/s2 ，一般取9.8m/s2或9.81m/s2 。实际上在不同的地区，g的数值有些微小的差别。 力的单位： 国际单位制（SI）中力单位为N（牛顿） 1N=1kg×1m /s2 = 1kg m /s2 量纲： dim F=MLT 2 ×

7. 第三定律（作用与反作用定律） 两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。 这一定律就是静力学的公理四，它不仅适用于平衡的物体，而且也适用于任何运动的物体。 质点动力学的三个基本定律是在观察天体运动和生产实践中的一般机械运动的基础上总结出来的，因此只在一定范围内适用。 三个定律适用的参考系称为惯性参考系。 在一般的工程问题中，把固定于地面的坐标系或相对于地面作匀速直线平动的坐标系作为惯性参考系， 当研究人造卫星的轨道、洲际导弹的弹道、天体的运动等问题时，地球自转的影响不可忽略不计。 我们均取固定在地球表面的坐标系为惯性参考系。 ×

8. 以牛顿三定律为基础的力学，称为古典力学。在古典力学范畴内，认为质量是不变的量，空间和时间是“绝对的”，与物体的运动无关。当物体的运动速度远小于光速时，物体的运动对于质量、时间和空间的影响是微不足道的。 对于一般工程中的机械运动问题，应用古典力学都 可得到足够精确的结果。 近代物理已经证明，质量、时间和空间都与物体运动的速度有关。当物体的速度接近于光速（3×105 km/s）或所研究的现象涉及物质的微观世界，则需应用相对论力学或量子力学。 ×

9. 或 §11-2 质点的运动微分方程 质点动力学第二定律，建立了质点的加速度与作用力的关系。当质点受到n个力F1，F2，…Fn作用时，牛顿第二定律应写为： 该式是矢量形式的质点运动微分方程 在计算实际问题时需应用它的投影形式。 ×

10. 1. 质点运动微分方程在直角坐标轴上投影 设矢径r在直角坐标轴上的投影分别为x、y、z，力Fi在轴上的投影分别为Xi ，Yi ，Zi，则直角坐标轴上的投影形式为 ： ×

11. ` 已知： 2. 质点运动微分方程在自然轴上投影 由点的运动学知，点的全加速度a在切线与主法线构成的密切面内，点的加速度在副法线上的投影等于零，即: 式中 τ和 n为沿轨迹切线和主法线的单位矢量，如图所示。 式中ρ为轨迹的曲率半径。 ×

12. 质点运动微分方程在自然轴系上的投影式为： 式中Fit,Fin,Fib分别是作用于质点的各力在切线、主法线和副法线上的投影。 牛顿第二定律的直角坐标投影形式和自然轴投影形式是两种常用的质点运动微分方程。 牛顿第二定律的矢量形式可向任一轴投影，得到相应的投影形式，如向极坐标系的径向投影、周向投影等。 ×

13. §11-3 质点动力学的两类基本问题 质点动力学的问题可分为两类： （1）一是已知运动，求作用于质点的力； （2）二是已知作用于质点的力，求质点的运动。 这两类问题称为质点动力学的两类基本问题。 求解质点动力学的第一类基本问题比较简单，例如已知质点的运动方程，只需求两次导数得到质点的加速度，代入质点的运动微分方程中，得一代数方程组，即可求解。 求解质点动力学的第二类基本问题，例如求质点的速度、运动方程等，从数学的角度看，是解微分方程或求积分的问题，还需要确定相应的积分常数。对此，需按作用力的函数规律进行积分，并根据具体问题的运动条件确定积分常数。 ×

14. 两类问题的求解方法和步骤 质点动力学第一类基本问题 已知运动，求作用于质点的力 质点动力学第一类基本问题，求解此类问题的步骤如下： （1）选定某质点为研究对象； （2）分析质点的运动情况，计算质点的加速度； （3）分析作用在质点上的力，包括主动力和约束反力； （4）根据未知力的情况，选择恰当的投影轴，写出在该轴的运动微分方程的投影式 （5）求出未知的力 ×

15. 例1 小球质量为m，悬挂于长为l的细绳上，绳重不计。小球在铅垂面内摆动时，在最低处的速度为v；摆到最高处时，绳与铅垂线夹角为φ，此时小球速度为零。试分别计算小球在最低与最高位置时绳的拉力。 解： (1) 取小球为研究对象 (2) 分析运动：小球作圆周运动。 在最低处有法向加速度an=v2/l， 在最高处φ角时，法向速度为零an=0 (3) 受力分析：重力 P=mg 和绳拉力F1。 最低处： 最高处： ×

16. 则绳拉力 则绳拉力 (4) 小球在最低点： 质点运动微分方程沿法向的投影式： 小球在最高处： 质点运动微分方程沿法向投影式： ×

17. 曲柄连杆机构 ×

18. 例 2 曲柄连杆机构如图所示。曲柄OA以匀角速度ω转动，OA=r，AB=l，当λ=r/l 比较小时，以O为坐标原点，滑块B的运动方程可近似写为： 如滑块的质量为m，忽略摩擦及连杆AB的质量，试求当φ=ωt=0和π/2时，连杆AB所受的力。 解： （1）以滑块B为研究对象 （2）分析运动 由滑块运动方程： ψ=ωt时 求导： ×

19. （3）受力分析 AB为二力杆 （4）质点运动微分方程沿法向的投影式： AB杆受拉力 ×

20. AB杆受压力 选题 ×

21. 质点动力学的第二类基本问题 已知作用于质点的力，求质点的运动规律 质点动力学第二类基本问题求解步骤如下： （1）选定某质点为研究对象； （2）分析作用在质点上的力，包括主动力和约束反力； （3）求质点运动微分方程的投影式 （4）求质点运动方程 ×

22. 平板电容器 交流电源 质点运动轨迹 例3 质量为m的质点带有电荷e，以速度v0进入强度按E=Acoskt变化的均匀电场中，初速度方向与电场强度垂直，如图所示。质点在电场中受力F=-eE作用。已知常数A、K，忽略质点的重力，试求质点的运动轨迹。 解： （1）取质点为研究对象初始位置O为坐标原点，x、y轴垂直。 （2）受力分析 电场力为： 在三轴上投影：X=Z=0 Y=-eA coskt 质点初速度在z轴上的投影等于零，质点的轨迹必定在oxy平面内。 ×

23. 平板电容器 交流电源 质点运动轨迹 （3）写出质点运动微分方程在x轴和y轴上的投影式 （4）求质点运动方程 t=0时，vx=v0 解得 ×

24. t=0 时x=y=0 得质点运动方程： 消去时间t，得轨迹方程 轨迹为余弦曲线 ×

25. 如果质点的初始速度为v0=0： 质点的运动方程应改为： 这是直线运动。 可见，在同样的运动微分方程之下，不同的运动初始条件将产生完全不同的运动。 选题 ×

26. ×

27. 例4 质量为m的小球以水平速度v0 射入静水之中，如图所示。如水对小球的阻力F与小球速度v的方向相反，而大小成正比，即F=-μv。 μ为阻尼系数。忽略水对小球的浮力，试分析小球在重力和阻力作用下的运动。 解： （1）取小球为研究对象 （2）受力分析： 小球在任意位置M处，受力有重力mg和阻力 F=-μvxi- μ vyj。 ×

28. （3）小球沿x、y轴的运动微分方程为 为求vx、vy，将上两式分离变量，得 ×

29. 积分: 由初始条件： t=0时，vx=v0，vy=0。代入上两式求得两个积分常数 ×

30. 可得 ×

31. 或 可得 ×

32. 再积分，得 由初始条件：t=0时，x=y=0。代入上两式，求得常数 ×

33. 4）质点的运动方程为 当t趋于无穷大时: 小球趋于等速铅垂下落 下落速度 c= mg/μ,称为极限速度。 小球的轨迹趋于一铅垂直线 ×

34. 5）如忽略介质阻力，应有μ =0 选题 得到水平抛射体的运动方程 其轨迹为抛物线 ×

35. 质量弹簧系统 ×

36. 或 例5 物块在光滑水平面上并与弹簧相联，如图所示。物块质量为m，弹簧刚度系数为k。在弹簧拉长变形量为a时，释放物块。求物块的运动规律。 解： 1）以物块为研究对象， 设弹簧未变形处为坐标原点O，物体在任意坐标x处弹簧变形量为|x|。 2）受力分析 大小为F=k|x|, 并指向O点 弹簧力水平方向 3）物块沿x轴的运动微分方程: ×

37. 化为自由振动微分方程的标准形式 此微分方程的解可写为: 其中A、θ为任意常数，应由运动的初始条件决定。取t=0时 x=a， 解出 ×

38. 则此物块的运动方程为: 此物块做简谐振动，振动中心为O点，振幅为a. 周期为T=2π/ωn称为圆频率，应由其标准形式的运动微分方程直接确定。 选题 ×

39. 例6 粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在θ= θ0 时才掉下来。求滚筒每分种的转数n。 解： 1）视铁球为研究质点。 铁球被旋转的滚筒带着沿圆弧向上运动，当铁球到达某一高度时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。 2）质点在上升过程中，受到重力mg、筒壁的法向反力FN和切向反力F的作用。 ×

40. 时铁球将落下，这时 当 3）列出质点的运动微分方程在主法线上的投影式 质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度： 解得 ： 铁球就会紧贴筒壁转过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉碎矿石的作用。 显然，θ0越小，要求n越大。 当时，θ0=0 选题 ×

41. O 例7 一圆锥摆，如图所示。质量m=0.1kg的小球系于长l=0.3m的绳上，绳的另一端系在固定点O，并与铅直线成 =600角。如小球在水平面内作匀速圆周运行，求小球的速度v与绳的张力F的大小。 解： 1）以小球为研究的质点 2）作用于质点的力： 有重力mg和绳的拉力F。 ×

42. O 3）选取在自然轴上投影的运动微分方程 得 解得 选题 绳的张力与拉力F的大小相等。 ×

43. 例8 如图所示，求行星M绕太阳S运动的轨迹。 解： 1）取行星为研究对象 设太阳的质量为ms，行星的质量为m，两者中心的距离为r。 2）力分析： 太阳对行星的引力为 ： r0为单位矢量 3）运动分析： 研究行星绕太阳运动时，取太阳中心S为惯性参考系的的原点，忽略其它行星对于所研究的行星引力，应用牛顿第二定律有： ×

44. 用极坐标研究行星的运动，则有： 其中φ0为垂直于矢量r0并指向φ角增大的方向的单位矢量。比较以上两式得： ×

45. 引用点的加速度在极坐标轴系的投影： 于是得行星绕太阳的运动微分方程 ×

46. 求轨迹方程，需消去时间t,建立只有极坐标r和φ的方程。求轨迹方程，需消去时间t,建立只有极坐标r和φ的方程。 设： ×

47. 令 上式成为： 通解等于齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和。 右端项为零时，对于1/r的齐次方程通解为 其中D、δ为任意常数式 ×

48. 特解可取为： 由此可得通解 若以ｅ＝Dp代入上式，即为圆锥曲线的一般表达式 ×

49. 式中ｐ、ｅ和δ为三个常数，由运动初始条件确定。式中ｐ、ｅ和δ为三个常数，由运动初始条件确定。 设ｔ＝０时，r＝r1，φ= φ1，初速度v0与初始位置r0的矢径之间的夹角为θ，则有： ×

50. 解得： 选题 ×