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Problemlösen im Mathematikunterricht

Problemlösen im Mathematikunterricht. Michael Rüsing B. M. V. – Schule Bardelebenstraße 9 45147 Essen michael@ruesing-essen.de. Voraussetzungen. Problemlösen kann man nur durch Problemlösen lernen Problemlösen muss ein durchgehendes Prinzip im Mathematikunterricht sein

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Problemlösen im Mathematikunterricht

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Presentation Transcript

  1. Problemlösen im Mathematikunterricht Michael Rüsing B. M. V. – Schule Bardelebenstraße 9 45147 Essen michael@ruesing-essen.de

  2. Voraussetzungen • Problemlösen kann man nur durch Problemlösen lernen • Problemlösen muss ein durchgehendes Prinzip im Mathematikunterricht sein • Problemlösestrategien können in allen Gebieten der Mathematik erfahren und eingeübt werden • Schulbuchaufgaben müssen Anlässe zum Problemlösen bieten

  3. Abgrenzung Problemlösen - Modellieren (so wie es die Kernlehrpläne in NRW verstehen) Modellieren: Arbeiten in außermathematischen Kontexten Problemlösen: Arbeiten in innermathematischen Situationen, nachdem das Modell aufgestellt worden ist

  4. Klasse 6: -  wenden die heuristischen Strategien „Beispiele finden“, „Überprüfen durch Probieren“, „Unterscheiden und Abarbeiten verschiedener Fälle“ an -  übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle (Rechenoperationen, Terme, Gleichungen, geometrische Darstellungen, Diagramme) Klasse 8: -  überprüfen bei einem Problem die Möglichkeit mehrerer Lösungen -  wenden die heuristischen Strategien „Spezialfälle finden“ und „Verallgemeinern“ an und variieren damit die Problemstellung -  nutzen verschiedene Darstellungsformen (Tabellen, Skizzen, Gleichungen) zur Problemlösung Klasse 10: -  zerlegen komplexe Probleme in Teilprobleme -  nutzen verschiedene heuristische Strategien („Zerlegen“, „Analogie bilden“, „Zurückführen auf Bekanntes“, „Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten“) und bewerten ihre Praktikabilität

  5. Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien Systematisches Probieren Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten Transformation in eine andere Darstellungsart -         Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle Mustererkennung Reduktion des Schwierigkeitsgrades -         Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe Zerlegung in Teilprobleme Analogiebildung

  6. Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien Systematisches Probieren Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten Transformation in eine andere Darstellungsart -         Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle Mustererkennung Reduktion des Schwierigkeitsgrades -         Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe Zerlegung in Teilprobleme Analogiebildung

  7. Darstellung des Weges: • Polygonzug • Codierung u-r-r-r-u-r-u Strategie: Suche das Nachbarfeld mit der größeren Zahl

  8. Problem der Eindeutigkeit der Lösung

  9. 7 5 0 0 0 7 0 5 0 0 7 0 0 5 0 7 0 0 0 5 0 7 5 0 0 0 7 0 5 0 0 7 0 0 5 0 0 7 5 0 0 0 7 0 5 0 0 0 7 5 5 7 0 0 0 5 0 7 0 0 5 0 0 7 0 5 0 0 0 7 0 5 7 0 0 0 5 0 7 0 0 5 0 0 7 0 0 5 7 0 0 0 5 0 7 0 0 0 5 7

  10. 7 5 0 0 0 7 5 0 0 0 7 0 5 0 0 7 0 0 5 0 7 0 0 0 5 0 7 5 0 0 0 7 0 5 0 0 7 0 0 5 0 0 7 5 0 0 0 7 0 5 0 0 0 7 5 Strategie „Durchschieben“ 4

  11. 7 5 0 0 0 7 5 0 0 0 7 0 5 0 0 7 0 0 5 0 7 0 0 0 5 0 7 5 0 0 0 7 0 5 0 0 7 0 0 5 0 0 7 5 0 0 0 7 0 5 0 0 0 7 5 Strategie „Durchschieben“ 4 3 2 1 7 5 0 0 0

  12. Ergänzende Problemstellung: Wie viele unterschiedliche Wege gibt es von A nach E?

  13. Ergänzende Problemstellung: Wie viele unterschiedliche Wege gibt es von A nachE? Wende die Strategie „Durchschieben“ an 7 Buchstaben: 4 x r und 3 x u u uu r r r r 5 Positionen u r uu r r r 4 Positionen r u u u r r r 4+3+2+1 Pos u r r uu r r 3 Positionen r r u uu r r 3+2+1 Pos u r r r uu r 2 Positionen r r r uuu r 2+1 Pos u r r r r uu1 Position r r r r uu u 1 Pos

  14. Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien Systematisches Probieren Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten Transformation in eine andere Darstellungsart -         Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle Mustererkennung Reduktion des Schwierigkeitsgrades -         Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe Zerlegung in Teilprobleme Analogiebildung

  15. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen • Übertragung in eine andere Darstellung • K > A; K > J • K > L; F > L • F > N; F an Position 1; N an Position 2 F > N > K; die Reihenfolge von A, L und J ist unbestimmt

  16. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen • Übertragung in eine andere Darstellung • K > A; K > J • K > L; F > L • F > N; F an Position 1; N an Position 2 Weitere Fragestellungen: Welche Aussage war überflüssig?

  17. F < L Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen • Übertragung in eine andere Darstellung • K > A; K > J • K > L; F > L • F > N; F an Position 1; N an Position 2 Weitere Fragestellungen: Ersetze (2) durch „Florian ist jünger als Leila.“

  18. 5. Stunde Arbeit am Vormittag Lehrling in einer Stunde Maler in einer Stunde

  19. Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien Systematisches Probieren Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten Transformation in eine andere Darstellungsart -         Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle Mustererkennung Reduktion des Schwierigkeitsgrades -         Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe Zerlegung in Teilprobleme Analogiebildung

  20. n3 = 3² + 2 · 3

  21. n3 = 3² + 2 · 3 n3 = 4² - 1 n100 = 100² + 2 ·100n100 = 101² - 1

  22. Ergänzung: Bestimme Umfang und Flächeninhalt der Figur im 100. Schritt

  23. +1 +1 +1 Flächeninhalt: 1 2 3 4 Rechteckmuster mit Anfangswert 1 und Additionszahl 1

  24. +2 +2 +2 Umfang: 4 6 8 10 Rechteckmuster mit Anfangswert 4 und Additionszahl 2

  25. 2 · 101 2 · 100 + 2 101 · 2 Verschiedene Zählweisen für die 4. Figur 100. Figur 2 · 5 2 · 4 + 2 5 · 2

  26. Paradoxon des Zenon (Klasse 11) Vereinfachungen: Geschwindigkeit Achill 10 m/s Geschwindigkeit Schildkröte 5 m/s Vorsprung 10 m

  27. Paradoxon des Zenon (Klasse 11) Vereinfachungen: Geschwindigkeit Achill 10 m/s Geschwindigkeit Schildkröte 5 m/s Vorsprung 10 m

  28. Paradoxon des Zenon (Klasse 11) Vereinfachungen: Geschwindigkeit Achill 10 m/s Geschwindigkeit Schildkröte 5 m/s Vorsprung 10 m = 10 · 1 = 10 · 1,5 = 10 · 1,75 = 10 · 1,875

  29. Paradoxon des Zenon (Klasse 11) Vereinfachungen: Geschwindigkeit Achill 10 m/s Geschwindigkeit Schildkröte 5 m/s Vorsprung 10 m = 10 · 1 = 10 · 1,5 = 10 · 3/2 = 10 · 1,75 = 10 · 7/4 = 10 · 1,875 = 10 · 15/8

  30. Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien Systematisches Probieren Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten Transformation in eine andere Darstellungsart -         Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle Mustererkennung Reduktion des Schwierigkeitsgrades -         Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe Zerlegung in Teilprobleme Analogiebildung

  31. E 6.4 Eine Klassenfahrt wird geplant Die Klasse 6c will eine Wanderfahrt machen. Es soll ins 165 km entfernte Waldbach gehen. Dort wollen die 32 Schülerinnen und Schüler mit zwei Begleitern 5 Tage lang in der Jugendherberge bleiben. An einem Tag ist die Besichtigung der nahe gelegenen Burg ‚Schreckenstein’ mit einer Führung geplant. Nun unterhalten sich die Schülerinnen und Schüler darüber, wie viel jeder einzelne bezahlen muss.

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