第九章  二次型
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第九章 二次型. 研究对象 :. 二次齐次多项式. (1) 也叫二次型. (2) 在数学和物理的许多分支都有重要应用. (3) 展现矩阵的无穷魅力. 9.1 二次型和对称矩阵 9.2 复数域和实数域上的二次型 9.3 正定二次型 9.4 主轴问题. 9.1 二次型和对称矩阵. 学习目标: 1. 掌握二次型及其矩阵的定义, 2. 理解变量的线性变换 3. 掌握矩阵合同的概念 4. 掌握二次型的标准形. 一、二次型及其矩阵. 1 、定义: 设 F 是一个数域, F 上 n 元二次齐次多项式.

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第九章 二次型

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第九章 二次型

研究对象:

二次齐次多项式

(1)也叫二次型

(2)在数学和物理的许多分支都有重要应用

(3)展现矩阵的无穷魅力

9.1 二次型和对称矩阵

9.2 复数域和实数域上的二次型

9.3 正定二次型

9.4 主轴问题


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9.1 二次型和对称矩阵

学习目标:

1.掌握二次型及其矩阵的定义,

2.理解变量的线性变换

3.掌握矩阵合同的概念

4.掌握二次型的标准形


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一、二次型及其矩阵

1、定义:设F是一个数域,F上n元二次齐次多项式

叫做F上的n 元二次型,简称二次型

注:(1)二次型的特点

(ii)每项都为二次项

(2)例:下列是否二次型

答:不是

答:不是

答:是


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2、二次型的表示

1)分析:

约定aij=aji,


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2)分析:

其中矩阵A称为二次型 的矩阵.

计算


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于是有


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3)总结:


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4)说明:

i)二次型的矩阵A是对称矩阵,即

ii)二次型与它的矩阵相互唯一确定

(这表明二次型

完全由对称矩阵A决定.)

正因为如此,讨论二次型时矩阵是一个有力的工具.


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3、例题:

1)求下列二次型的矩阵

2)求下列矩阵的二次型

4、定义:

A的秩

1)例,求下列二次型的秩


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二、变量的线性变换

1、定义:

是两组变量,

关系式

变量的线性变换

称为           


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2、分析:

变量的线性变换


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3、定义:

注:


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————

————

4、分析:

即,B为对称矩阵.

也是二次型.


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5、总结:

(1)问:

实施变量的

非奇异线性变换

得到的二次型的矩阵为

(2)问:

经过变量的非奇异线性变换,二次型的秩

保持不变

(3)例:


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三、矩阵的合同

1、定义:设A,B为n 阶矩阵,

若存在可逆矩阵P,可使

则称B与A合同。

2、基本性质

①自反性:

任意矩阵A都与自身合同

② 对称性:

如果B与A合同,那么A也与B合同

③ 传递性:

如果 A 与 B 合同,B 与 C合同,

那么A 与 C合同。

3、性质:

若A与B合同,


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4、比较:合同,相似

A与B合同

A与B相似


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5、定义:

F上两个二次型等价,是指:可以通过变量

的非奇异线性变换将其中一个变成另一个.

6、分析 :

7、结论:

8、问:


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四、二次型的标准形

1、二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型

它的矩阵是对角阵

2、问:任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成

平方和的形式?若能,如何作非退化线性替换?


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n=1时,

结论成立.

二次型

3、定理:数域F上任一二次型都可经

过非退化线性替换化成平方和的形式.

证明:

对二次型变量个数n作归纳法.

假定对n-1元二次型结论成立. 下面考虑n元

分三种情形来讨论:

1)aii( i =1 , 2 , … , n ) 中至少有一个不为零,

不妨设 a11 0 , 这时


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是一个.

的n-1元二次型.

配方法

这里,


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它是非退化的,

且使


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由归纳假设,对 有非退化线性替换

使它变成平方和

于是,非退化线性替换


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就使 变成

2)

但至少有一个

不妨设

作非退化线性替换:


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这是一个 的二次型,且 的系数

不为零.

由情形1)知,结论成立.


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3)

由对称性,

这是一个n-1元二次型,由归纳假设,结论成立.

总之,数域P上任一二次型都可经过非退化线性

替换化成平方和的形式.


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二次型

经过非退化线性替换

称为

的一个标准形.

4、二次型的标准形的定义:

所变成的平方和形式

注:1)由上定理知任一二次型的标准形是存在的.

2)可应用配方法得到二次型的标准形.


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5、例:求

的标准形.

解:作非退化线性替换


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再令

最后令


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所作的非退化线性替换是


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6、定理:数域F上任一对称矩阵合同于

一个对角矩阵.


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(1)

互换矩阵的

两行,再互

换矩阵的

两列;

) 乘矩阵的第 i行;再以数 k乘

(2)

以数 k(

1、

定义:合同变换是指下列三种变换

(3)

将矩阵的第i行的k倍加

到第

行,再将第

的k倍加到第

列( ).

五、合同变换法

矩阵的第 i列.


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为初等阵,则

2、合同变换法化二次型为标准形

(1)基本原理:

设对称矩阵A与对角矩阵D合同,则存在可逆矩阵

C, 使D=C´AC.

又,


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所以,

又注意到

就相当于对A作s次合同变换化为D.

所以,在合同变换化矩阵A为对角阵D的同时,

对E施行同样的初等列变换便可求得可逆矩阵C满足


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① 写出二次型

的矩阵A

D为对角阵,且

为标准形.

(2)基本步骤:

对A作合同变换化为对角矩阵D

对E仅作上述合同变换中的初等列变换得C

③ 作非退化线性替换X=CY,则


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解:

的矩阵为

r1+r2

c1+c2

3、例:用合同变换求下面二次型的标准形


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r2- r1

r3+2r2

r3+r1

c3+2c2

c2- c1

c3+c1

-2r2

-2c2


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作非退化线性替换X=CY, 则二次型化为标准形


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4、说明:

 ①对A每施行一次合同变换后所得矩阵必仍

为对称矩阵.(因为合同变换保持矩阵的对 称性--可利用这一点检查计算是否正确.)

②对A作合同变换时,无论先作行变换还是

先作列变换,结果是一致的.

③可连续作n次初等行(列)变换后,再依次作n次相应的初等列(行)变换.


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5、练习:求下面二次型的标准形,并求出所作的非退化线替性换.

答案:

作非退化线性替换

f 的标准形为


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详解:

的矩阵为


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作非退化线性替换X=CY ,则 f 的标准形为


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小结

基本概念

1、二次型的标准形

2、合同变换

基本结论

定理1、任一数域P上的二次型 f (x1,x2,…,xn) 可

经过非退化线性变换X=CY化为标准形

定理2、数域P上对称矩阵合同于一 个对角矩阵.


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9.2 复数域和实数域上的二次型

学习目标:

1.掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、

2. 掌握实二次型的惯性指标、符号差等概念。

3.掌握实二次型的惯性定律.


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复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型.

一、 复二次型

1、定理: 复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩.

即:两个复二次型等价的充分且必要条件

是它们有相同的秩.

 证:条件的必要性是明显的. 我们只要证条件的充分性. 设A,B是复数域上两个n阶对称矩阵,且A与B有相同的秩r,由定理9.1.2,分别存在复可逆矩阵P和Q,使得


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的一个平方根.

取 n 阶复矩阵


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那么 ,而

因此,矩阵A,B 都与矩阵

合同,所以A与B合同.


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(1)

二、实二次型

1、定理:实数域上每一n 阶对称矩阵A 都合同于如下形式的一个矩阵:

这里 r 等于A的秩.

证: 由定理9.1.2,存在实可逆矩阵P,使得


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  如果r > 0 ,必要时交换两列和两行,我们总可以假定


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那么


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(1)

2、定理:实数域上n 元二次型都与如下形式的二次型等价:

这里 r 是所给的二次型的秩.

  注: 二次型(1)叫做实二次型的典范形式,该定理是说,实数域上每一个二次型都与一个典范形式等价. 在典范形式里,平方项的个数 r 等于二次型的秩,因而是唯一确定的.


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(2)

(3)

那么

(4)

(5)

3、定理 (惯性定律):设实数域上n元二次型

等价于两个典范形式

证: 设(2)和(3)分别通过变量的非奇异线性变换


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化为所给的二次型 如果 不

妨设 考虑 个方程的齐次线性方程组

(6)

因为 所以 因此,方程组(6)在R内有非零解. 令 是(6)的一个非零解. 把这一组值代入 的表示式


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(4)和(5). 记

我们有


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然而

所以

因为 都是非负数,所以必须

又 所以 是齐次线性方程组

的一个非零解.这与矩阵 的非奇异性矛盾.


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这就证明了 . 同理可证得 . 所以

4、总结:实二次型都与唯一的典范形式(1)等价. 在(1)中,正平方项的个数 p 叫做所给二次型的惯性指标.正项的个数p与负项的个数 r – p 的差s = p – (r – p) = 2p – r 叫做所给的二次型的符号差. 注意:一个实二次型的秩,惯性指标和符号都是唯一确定的.


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证 设 是实数域上两个n元二次型. 令 分别是它们的矩阵. 那么由定理9.2.2,存在实可逆矩阵P,使得

如果 等价,那么 合同. 于是存在实可逆矩阵Q 使得 . 取 ,那么

5、定理:实数域上两个 n 元二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩和符号差.


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因此 都与同一个典范形式等价,所以它们有相同的秩和符号差.

  反过来,如果 有相同的秩 r和符号差s ,

那么它们也有相同的惯性指标 . 因此 都与矩阵


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合同. 由此推出 合同,从而 等价.

6、推论 :实数域 R 上一切n元二次型可以分成

类,属于同一类的二次型彼此等价,属于不同类的二次型互不等价.

证 给定 . 令


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由定理9.2.4,R上每一n元二次型恰与一个以 为矩阵的典范形式等价. 当 r 取定后,p 可以取0,1,… ,r;而 r 又可以取0,1,…,n中任何一个数. 因此这样的 共有

个. 对于每一个 ,就有一个典范形式


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与它相当. 把与同一个典范形式等价的二次型放在一类,于是 R 上的一切 n 元二次型恰可以分成

类,属于同一类的二次彼此等价,属于不同类的二次互不等价.

7、例 :a 满足什么条件时,二次型

的惯性指标是0,符号差是-2 ?写出其典范形。


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解 实二次型 的矩阵为

所以当 或 时,二次型的惯性指标是0,符号差是-2,其典范形为

经过合同变换可化为标准形


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1、n元复二次型       的规范形

这里,=秩( f ).

2、n元实二次型 的规范形

这里,=秩( f ),p 称为 f 的正惯性指数;

称为 f 的负惯性指数;   称为 符号差.

三、小结

基本概念:


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推论、两个复对称矩阵A、B合同

基本结论

定理、任意一个复系数二次型,经过一适当的

非退化线性变换可变成规范形,且规范形是唯一的.

即,任一复对称矩阵A合同于一个对角矩阵


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其中  的个数等于矩阵A的秩.

定理、任意一个实二次型,经过一适当的非退化

线性变换可变成规范形,且规范形是唯一的.

即,任一实对称矩阵A合同于一个对角矩阵


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且二次型   与    的

推论、两个实对称矩阵A、B合同的充要条件是

正惯性指数相等.


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正定的判

2.掌握实二次型

定定理。

9.3 正定二次型

学习目标:

1.掌握正定二次型、正定矩阵、顺序主子式、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型、不定二次型的概念。


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称为正定的,如果对于

实二次型

任意一组不全为零的实数

都有

实对称矩阵称为正定的,如果二次型

一、正定二次型与正定矩阵

1.基本概念

i)正定二次型

ii)正定矩阵


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1)

2)

3)

2、例:下列实二次型是否为正定的二次型:


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从而

例: 若 , 都是 阶正定矩阵, 证明: 是正定矩阵。

证明:

只需证明 正定。

由 , 都是正定矩阵,知 , 正定,

所以对于任意一组不全为

零的实数


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实二次型 是正定的当且仅当 .

证明:若 正定,则对任意一组不全为零的实数 ,都有. 分别选取 为 ,则有.

若 .则对任意一组不全为零的实数 ,都有

所以

是正定的。


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非退化实线性替换保持实二次型的正定性不变.

设实二次型

(1)

(2)

(3)

则 是正定的 是正定的。

经过非退化实线性替换

变成二次型


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证明: 若 是正定的。对于任意一 组不全为零的实数 ,令

由于 是可逆实矩阵,故 也是一组不全为零的实数,从而

因为二次型(3)也可以经非退化实线性替换

变到二次型(1),所以按同样理由,当(3)正定时,(1)也正定.


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实二次型 是正定的 它的正惯性指数等于 .

实二次型 是正定的 它的规范形为 。

一个实对称矩阵是正定的 它与单位矩阵合同.

的行列式大于零,但它对应的二次型 不是正定的。

二、正定二次型的判别

1.判别定理1:

例: 正定矩阵的行列式大于零. 逆命题不成立。

反例:


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练习: 若 是 阶实矩阵,则满足( )时, 是正定矩阵。

提示:

称为矩阵 的顺序主子式.

矩阵 的第 个顺序主子式为

2.矩阵的顺序主子式:


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称为矩阵 的顺序主子式.

3.判别定理2:实二次型

是正定的 矩阵 的顺序主子式全大于零.


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所以, 正定。

4、例: 判定二次型

是否正定.

的矩阵为

,它的顺序主子


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练习: 若 是正定矩阵,则下列结论错误的是( )。

A. , B. 非退化, C. 的元素全是正实数, D. 的主对角上元素全为正。

练习 :设

易知 都是正定矩阵,但

不是正定矩阵。


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三、小结

基本概念:

1、正定二 次型;

正定矩阵;

2、顺序主子式、主子式

基本结论:

1、非退化线性替换保持实二次型的正定

性不变.


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负定.

2、实二次型 正定

A 与单位矩阵 E 合同,即存在可逆矩阵C,使

4、实对称矩阵 A 正定

3、实二次型 f (x1,x2,…,xn)=X´AX 正定

A=C´C

A 的各级顺序主子式全大于零

f 的正惯性指数 p等于 n


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9.4 主轴问题

学习目标

1.掌握变量的正交变换

2.掌握将实二次型通过变量的正交变换化为 只含平方项的二次型


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  我们已经看到, 实数域上一个二次型 可以经过变量的非奇异变换

一、变量的正交变换

化为二次型


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1、定义:将n元实二次型通过变量的正交变换化为只含平方项的二次型问题, 这个问题称为二次型的主轴问题.

注:(1)这里所说的变量的正交变换指的是这个变换的矩阵是正交矩阵.

(2)由于正交矩阵是非奇异的, 所以变量的正交变换是非奇异的.

(3)即:给一个实对称矩阵A, 要寻求一个正交矩阵U, 使得 是对角形式,


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化为 这里U是一个正交矩阵,而 是二次型 的全部特征根.

2、定理: 设

是实数域上一个二次型, 那么总可以通过变量的正交变换


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证 是一个n 阶实对称矩阵.由定理8.4.3 和 8.4.6,存在一个正交矩阵U , 使得

这里 是A的全部特征根.这也就相当于说以A为矩阵的二次型可以通过变量的正交变换化为标准形式 □


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是实数域上一个n元二次型, 是它的矩阵.

(i)二次型 的秩等于A 的不等于零的特征根的个数, 而符号差等于A 的正特征根个数与负特征根个数的差. (ii)二次型 是正交的必要且只要A的所有特征根都是正数.

二、实对称矩阵的相似对角形

1、推论: 设


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解 (1) 的矩阵为

2. 例:已知实二次型

(1)用正交线性变换将二次型化为标准形,并写出所用的正交线性变换;

(2)求出的秩、惯性指标与符号差.

求f 的全部特征根:因为


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故的全部特征根为 (二重), 。

对特征根 ,解齐次线性方程组

得一基础解系:


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对特征根 ,解齐次线性方程组

正交化、单位化得:

得一基础解系:


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以 为列作一个正交矩阵


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于是 经过正交线性变换 ,化为标准形

(2)由(1) 的秩为2,惯性指标 ,符号差 .


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