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第九章 二次型

第九章 二次型. 研究对象 ：. 二次齐次多项式. (1) 也叫二次型. (2) 在数学和物理的许多分支都有重要应用. (3) 展现矩阵的无穷魅力. 9.1 二次型和对称矩阵 9.2 复数域和实数域上的二次型 9.3 正定二次型 9.4 主轴问题. 9.1 二次型和对称矩阵. 学习目标： 1. 掌握二次型及其矩阵的定义， 2. 理解变量的线性变换 3. 掌握矩阵合同的概念 4. 掌握二次型的标准形. 一、二次型及其矩阵. 1 、定义： 设 F 是一个数域， F 上 n 元二次齐次多项式.

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第九章 二次型

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  1. 第九章 二次型 研究对象： 二次齐次多项式 (1)也叫二次型 (2)在数学和物理的许多分支都有重要应用 (3)展现矩阵的无穷魅力 9.1 二次型和对称矩阵 9.2 复数域和实数域上的二次型 9.3 正定二次型 9.4 主轴问题

  2. 9.1 二次型和对称矩阵 学习目标： 1.掌握二次型及其矩阵的定义， 2.理解变量的线性变换 3.掌握矩阵合同的概念 4.掌握二次型的标准形

  3. 一、二次型及其矩阵 1、定义：设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式 叫做F上的n 元二次型，简称二次型 注：（1）二次型的特点 （ii）每项都为二次项 (2)例：下列是否二次型 答:不是 答:不是 答:是

  4. 2、二次型的表示 1）分析： 约定aij=aji，

  5. 2）分析： 其中矩阵A称为二次型 的矩阵. 计算

  6. 于是有

  7. 3）总结：

  8. 4）说明: i）二次型的矩阵A是对称矩阵,即 ii）二次型与它的矩阵相互唯一确定 （这表明二次型 完全由对称矩阵A决定.) 正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具.

  9. 3、例题: 1）求下列二次型的矩阵 2）求下列矩阵的二次型 4、定义: A的秩 1）例，求下列二次型的秩

  10. 二、变量的线性变换 1、定义： 是两组变量, 关系式 变量的线性变换 称为　　　　　　　　　　　

  11. 2、分析： 变量的线性变换

  12. 3、定义： 注：

  13. ———— ———— 4、分析： 即，B为对称矩阵. 也是二次型.

  14. 5、总结： （1）问： 实施变量的 非奇异线性变换 得到的二次型的矩阵为 （2）问： 经过变量的非奇异线性变换，二次型的秩 保持不变 （3）例：

  15. 三、矩阵的合同 1、定义：设A，B为n 阶矩阵， 若存在可逆矩阵P，可使 则称B与A合同。 2、基本性质 ①自反性： 任意矩阵A都与自身合同 ② 对称性： 如果B与A合同，那么A也与B合同 ③ 传递性： 如果 A 与 B 合同，B 与 C合同， 那么A 与 C合同。 3、性质: 若A与B合同,

  16. 4、比较：合同，相似 A与B合同 A与B相似

  17. 5、定义： F上两个二次型等价，是指：可以通过变量 的非奇异线性变换将其中一个变成另一个. 6、分析 ： 7、结论： 8、问：

  18. 四、二次型的标准形 1、二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型 它的矩阵是对角阵 2、问：任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成 平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？

  19. n=1时， 结论成立. 二次型 3、定理：数域F上任一二次型都可经 过非退化线性替换化成平方和的形式. 证明： 对二次型变量个数n作归纳法. 假定对n－1元二次型结论成立. 下面考虑n元 分三种情形来讨论： 1)aii( i =1 , 2 , … , n ) 中至少有一个不为零， 不妨设 a11 0 , 这时

  20. 是一个. 的n－1元二次型. 配方法 这里，

  21. 它是非退化的， 且使

  22. 由归纳假设，对 有非退化线性替换 使它变成平方和 于是，非退化线性替换

  23. 就使 变成 2） 但至少有一个 不妨设 作非退化线性替换：

  24. 则 这是一个 的二次型，且 的系数 不为零. 由情形1）知，结论成立.

  25. 3） 由对称性， 即 这是一个n－1元二次型，由归纳假设，结论成立. 总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性 替换化成平方和的形式.

  26. 二次型 经过非退化线性替换 称为 的一个标准形. 4、二次型的标准形的定义: 所变成的平方和形式 注：1）由上定理知任一二次型的标准形是存在的. 2）可应用配方法得到二次型的标准形.

  27. 5、例：求 的标准形. 解：作非退化线性替换 则

  28. 再令 或 则 最后令 或

  29. 则 即 所作的非退化线性替换是

  30. 6、定理：数域F上任一对称矩阵合同于 一个对角矩阵.

  31. （1） 互换矩阵的 两行，再互 换矩阵的 两列; ) 乘矩阵的第 i行；再以数 k乘 （2） 以数 k（ 1、 定义：合同变换是指下列三种变换 （3） 将矩阵的第i行的k倍加 到第 行，再将第 列 的k倍加到第 列（ ). 五、合同变换法 矩阵的第 i列.

  32. 若 为初等阵，则 2、合同变换法化二次型为标准形 （1）基本原理： 设对称矩阵A与对角矩阵D合同，则存在可逆矩阵 C, 使Ｄ＝Ｃ´ＡＣ. 又，

  33. 所以， 又注意到 就相当于对A作s次合同变换化为D. 所以，在合同变换化矩阵A为对角阵D的同时， 对E施行同样的初等列变换便可求得可逆矩阵C满足

  34. ① 写出二次型 的矩阵A D为对角阵,且 即 为标准形. （2）基本步骤： 对A作合同变换化为对角矩阵D ② 对E仅作上述合同变换中的初等列变换得C ③ 作非退化线性替换X=CY，则

  35. 解： 的矩阵为 r1+r2 c1+c2 3、例：用合同变换求下面二次型的标准形

  36. r2－　r1 r3+2r2 r3+r1 c3+2c2 c2－　c1 c3+c1 －2r2 －2c2

  37. 令 则 作非退化线性替换X=CY, 则二次型化为标准形

  38. 4、说明： 　①对A每施行一次合同变换后所得矩阵必仍 为对称矩阵.（因为合同变换保持矩阵的对 称性－－可利用这一点检查计算是否正确.） ②对A作合同变换时，无论先作行变换还是 先作列变换，结果是一致的. ③可连续作n次初等行（列）变换后，再依次作n次相应的初等列（行）变换.

  39. 5、练习：求下面二次型的标准形，并求出所作的非退化线替性换.5、练习：求下面二次型的标准形，并求出所作的非退化线替性换. 答案： 作非退化线性替换 f 的标准形为

  40. 详解： 的矩阵为

  41. 令 则 作非退化线性替换X=CY ，则 f 的标准形为

  42. 小结 基本概念 1、二次型的标准形 2、合同变换 基本结论 定理1、任一数域P上的二次型 f (x1,x2,…,xn) 可 经过非退化线性变换X＝CY化为标准形 定理2、数域P上对称矩阵合同于一 个对角矩阵.

  43. 9.2 复数域和实数域上的二次型 学习目标： 1．掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、 2. 掌握实二次型的惯性指标、符号差等概念。 3．掌握实二次型的惯性定律.

  44. 复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型. 一、 复二次型 1、定理： 复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩. 即：两个复二次型等价的充分且必要条件 是它们有相同的秩. 　证：条件的必要性是明显的. 我们只要证条件的充分性. 设A，B是复数域上两个n阶对称矩阵，且A与B有相同的秩r，由定理9.1.2，分别存在复可逆矩阵P和Q，使得

  45. 的一个平方根. 取 n 阶复矩阵

  46. 那么 ，而 因此，矩阵A，B 都与矩阵 合同，所以A与B合同.

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