Elipsa
Download
1 / 10

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY - PowerPoint PPT Presentation


  • 77 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Elipsa. Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík. TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY. Elipsa jako kuželosečka.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY ' - aurek


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Tento projekt je spolufinancov n evropsk m soci ln m fondem a st tn m rozpo tem esk republiky

Elipsa

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY


Tento projekt je spolufinancov n evropsk m soci ln m fondem a st tn m rozpo tem esk republiky

Elipsa jako kuželosečka

Elipsu jako kuželosečku tvoří průnik kuželové plochy a roviny, která s osou kužele svírá ostrý úhel (α) větší, než je úhel mezi stěnou a osou kužele (β), tedy

α > β.

α

β


Tento projekt je spolufinancov n evropsk m soci ln m fondem a st tn m rozpo tem esk republiky

Elipsa jako množina bodů

Elipsu lze definovat i jako množinu bodů v rovině:

Elipsa je množina všech bodů, které mají od daných dvou bodů (ohnisek – E, F) stejný součet vzdáleností. Tento součet se rovná délce hlavní osy:

|EX| + |FX| = 2a,

kde a je kladné konstantní(pro všechny body na elipse) reálné číslo.

X1

X2

E

F


Tento projekt je spolufinancov n evropsk m soci ln m fondem a st tn m rozpo tem esk republiky

S – střed elipsy

E, F – ohniska elipsy

C

A, B – hlavní vrcholy

C, D – vedlejší vrcholy

a

b

a = |AS| = |SB| – hlavní poloosa (její délka se zároveň rovná |EC| = |FC| = |ED| = |FD|)

a

S

A

B

E

F

e

b = |CS| = |SD|– vedlejší poloosa

e = |ES| = |SF|– excentricita

D

Popis elipsy s hlavní osou || s osou x

Z obrázku je patrná platnost Pythagorovy věty pro a, b, e:

a 2 = b 2 + e 2


Tento projekt je spolufinancov n evropsk m soci ln m fondem a st tn m rozpo tem esk republiky

S – střed elipsy

C

E, F – ohniska elipsy

E

C, D – hlavní vrcholy

A, B – vedlejší vrcholy

b

e

b = |CS| = |SD| – hlavní poloosa (její délka se zároveň rovná |EA| = |FA| = |EB| = |FB|)

S

B

A

a = |AS| = |SB|– vedlejší poloosa

a

e = |ES| = |SF|– excentricita

b

F

D

Popis elipsy s hlavní osou || s osou y

Z obrázku je patrná platnost Pythagorovy věty pro a, b, e:

b 2 = a 2 + e 2


Tento projekt je spolufinancov n evropsk m soci ln m fondem a st tn m rozpo tem esk republiky

y

Pro libovolný bod X[x;y]na elipse se středem v počátku lze odvodit pomocí definice elipsy jako množiny bodů následující vztah:

X[x;y]

y

x

x

0

y

Obdobně pro libovolný bod X[x;y] na elipse se středem v bodě S[m;n] lze odvodit:

Protože jsou z rovnice patrné souřadnice středu a délky poloos, nazývá se tato rovnice středovou nebo také osovou rovnicí elipsy.

X[x;y]

y

S[m;n]

n

×

m

x

x

0

Středová rovnice elipsy


Tento projekt je spolufinancov n evropsk m soci ln m fondem a st tn m rozpo tem esk republiky

Obecná rovnice elipsy

Odstraňme zlomky a závorky ze středového tvaru rovnice elipsy a převeďme všechny členy na levou stranu:

Nahrazením b2 = A, a2 = B, –2b2m = C, –2a2n = D a b2m2 + a2n2 – a2b2 = E lze rovnici zapsat jako

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0

Tato rovnice ze nazývá obecná rovnice elipsy.

Poznámka: Ne vždy tato rovnice vyjadřuje rovnici elipsy. Jednou z podmínek pro koeficienty A, B, C, D, E je např. stejné znaménko u A a B a zároveň jejich rozdílná hodnota (při stejné hodnotě by se mohlo jednat o kružnici), tedy A · B > 0^A ≠ B.


Tento projekt je spolufinancov n evropsk m soci ln m fondem a st tn m rozpo tem esk republiky

Parametrické vyjádření elipsy

Obdobně jako má přímka v rovině parametrické vyjádření, má toto vyjádření i elipsa. Souřadnice každého bodu X na elipse lze vyjádřit takto:

x = a · cos t + m

y = b · sin t + n

kde t je parametr vyjadřující úhel (viz obrázek). Může nabývat hodnot z intervalu <0;2π).

y

X[x;y]

y

t

n

×

S[m;n]

m

x

x

0


Tento projekt je spolufinancov n evropsk m soci ln m fondem a st tn m rozpo tem esk republiky

Převod obecné rovnice na středovou

Při odvozování obecné rovnice ze středové postupujeme obdobně jako u kružnice.

Příklad: Je dána obecná rovnice elipsy 4x2 + 2y2 – 4x + 8y – 3 = 0. Určete střed a délky poloos této elipsy.

Přerovnáme členy dle neznámých a vytkneme koeficient A, resp. B:

4(x2 – x) + 2(y2 + 4y) – 3 = 0

Výrazy v závorkách doplníme na tzv. čtverec (viz vzorec (A + B)2 = A2 + 2AB + B2), nezapomeneme stejné hodnoty přidat i na pravou stranu rovnice:

4(x2 – x + 0,52) + 2(y2 + 4y + 22) = 4·0,52 + 2·22 + 3

4(x – 0,5)2 + 2(y + 2)2 = 12

Střed elipsy má tedy souřadnice [0,5;–2], a = √3 a b = √6.


Tento projekt je spolufinancov n evropsk m soci ln m fondem a st tn m rozpo tem esk republiky

Přímka může ležet mimo elipsu (přímka p1), potom s ní nemá žádný společný bod. Takové přímce se říká nesečna.

p1

T[x0;y0]

y0

Pokud přímka elipsu protíná (přímka p2), má s ní dva společné body. Takové přímce se říká sečna.

p3

x0

Pokud se přímka elipsy dotýká (přímka p3), má s ní jeden společný bod. Takové přímce se říká tečna. Rovnice tečny, která se elipsy dotýká v bodě T[x0;y0], je:

p2

Vzájemná poloha přímky a elipsy

y

×

x

0


ad
  • Login