Elipsa
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 10

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY PowerPoint PPT Presentation


  • 56 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Elipsa. Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík. TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY. Elipsa jako kuželosečka.

Download Presentation

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Tento projekt je spolufinancov n evropsk m soci ln m fondem a st tn m rozpo tem esk republiky

Elipsa

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY


Tento projekt je spolufinancov n evropsk m soci ln m fondem a st tn m rozpo tem esk republiky

Elipsa jako kuželosečka

Elipsu jako kuželosečku tvoří průnik kuželové plochy a roviny, která s osou kužele svírá ostrý úhel (α) větší, než je úhel mezi stěnou a osou kužele (β), tedy

α > β.

α

β


Tento projekt je spolufinancov n evropsk m soci ln m fondem a st tn m rozpo tem esk republiky

Elipsa jako množina bodů

Elipsu lze definovat i jako množinu bodů v rovině:

Elipsa je množina všech bodů, které mají od daných dvou bodů (ohnisek – E, F) stejný součet vzdáleností. Tento součet se rovná délce hlavní osy:

|EX| + |FX| = 2a,

kde a je kladné konstantní(pro všechny body na elipse) reálné číslo.

X1

X2

E

F


Tento projekt je spolufinancov n evropsk m soci ln m fondem a st tn m rozpo tem esk republiky

S – střed elipsy

E, F – ohniska elipsy

C

A, B – hlavní vrcholy

C, D – vedlejší vrcholy

a

b

a = |AS| = |SB| – hlavní poloosa (její délka se zároveň rovná |EC| = |FC| = |ED| = |FD|)

a

S

A

B

E

F

e

b = |CS| = |SD|– vedlejší poloosa

e = |ES| = |SF|– excentricita

D

Popis elipsy s hlavní osou || s osou x

Z obrázku je patrná platnost Pythagorovy věty pro a, b, e:

a 2 = b 2 + e 2


Tento projekt je spolufinancov n evropsk m soci ln m fondem a st tn m rozpo tem esk republiky

S – střed elipsy

C

E, F – ohniska elipsy

E

C, D – hlavní vrcholy

A, B – vedlejší vrcholy

b

e

b = |CS| = |SD| – hlavní poloosa (její délka se zároveň rovná |EA| = |FA| = |EB| = |FB|)

S

B

A

a = |AS| = |SB|– vedlejší poloosa

a

e = |ES| = |SF|– excentricita

b

F

D

Popis elipsy s hlavní osou || s osou y

Z obrázku je patrná platnost Pythagorovy věty pro a, b, e:

b 2 = a 2 + e 2


Tento projekt je spolufinancov n evropsk m soci ln m fondem a st tn m rozpo tem esk republiky

y

Pro libovolný bod X[x;y]na elipse se středem v počátku lze odvodit pomocí definice elipsy jako množiny bodů následující vztah:

X[x;y]

y

x

x

0

y

Obdobně pro libovolný bod X[x;y] na elipse se středem v bodě S[m;n] lze odvodit:

Protože jsou z rovnice patrné souřadnice středu a délky poloos, nazývá se tato rovnice středovou nebo také osovou rovnicí elipsy.

X[x;y]

y

S[m;n]

n

×

m

x

x

0

Středová rovnice elipsy


Tento projekt je spolufinancov n evropsk m soci ln m fondem a st tn m rozpo tem esk republiky

Obecná rovnice elipsy

Odstraňme zlomky a závorky ze středového tvaru rovnice elipsy a převeďme všechny členy na levou stranu:

Nahrazením b2 = A, a2 = B, –2b2m = C, –2a2n = D a b2m2 + a2n2 – a2b2 = E lze rovnici zapsat jako

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0

Tato rovnice ze nazývá obecná rovnice elipsy.

Poznámka: Ne vždy tato rovnice vyjadřuje rovnici elipsy. Jednou z podmínek pro koeficienty A, B, C, D, E je např. stejné znaménko u A a B a zároveň jejich rozdílná hodnota (při stejné hodnotě by se mohlo jednat o kružnici), tedy A · B > 0^A ≠ B.


Tento projekt je spolufinancov n evropsk m soci ln m fondem a st tn m rozpo tem esk republiky

Parametrické vyjádření elipsy

Obdobně jako má přímka v rovině parametrické vyjádření, má toto vyjádření i elipsa. Souřadnice každého bodu X na elipse lze vyjádřit takto:

x = a · cos t + m

y = b · sin t + n

kde t je parametr vyjadřující úhel (viz obrázek). Může nabývat hodnot z intervalu <0;2π).

y

X[x;y]

y

t

n

×

S[m;n]

m

x

x

0


Tento projekt je spolufinancov n evropsk m soci ln m fondem a st tn m rozpo tem esk republiky

Převod obecné rovnice na středovou

Při odvozování obecné rovnice ze středové postupujeme obdobně jako u kružnice.

Příklad: Je dána obecná rovnice elipsy 4x2 + 2y2 – 4x + 8y – 3 = 0. Určete střed a délky poloos této elipsy.

Přerovnáme členy dle neznámých a vytkneme koeficient A, resp. B:

4(x2 – x) + 2(y2 + 4y) – 3 = 0

Výrazy v závorkách doplníme na tzv. čtverec (viz vzorec (A + B)2 = A2 + 2AB + B2), nezapomeneme stejné hodnoty přidat i na pravou stranu rovnice:

4(x2 – x + 0,52) + 2(y2 + 4y + 22) = 4·0,52 + 2·22 + 3

4(x – 0,5)2 + 2(y + 2)2 = 12

Střed elipsy má tedy souřadnice [0,5;–2], a = √3 a b = √6.


Tento projekt je spolufinancov n evropsk m soci ln m fondem a st tn m rozpo tem esk republiky

Přímka může ležet mimo elipsu (přímka p1), potom s ní nemá žádný společný bod. Takové přímce se říká nesečna.

p1

T[x0;y0]

y0

Pokud přímka elipsu protíná (přímka p2), má s ní dva společné body. Takové přímce se říká sečna.

p3

x0

Pokud se přímka elipsy dotýká (přímka p3), má s ní jeden společný bod. Takové přímce se říká tečna. Rovnice tečny, která se elipsy dotýká v bodě T[x0;y0], je:

p2

Vzájemná poloha přímky a elipsy

y

×

x

0


  • Login