WYKŁAD 5. Skojarzenia – ciąg dalszy

1. WYKŁAD 5. Skojarzenia – ciąg dalszy • Skojarzenie w grafie G to niezależny zbiór krawędzi (rozłączne, bez wspólnych końców). • α’(G) – moc największego skojarzenia w G. • Skojarzenie M w grafie G nazywamy doskonałym, gdy |M|=|V(G)|/2.

2. Tw. Tutte’a Niech q(G) będzie liczbą nieparzystych składowych grafu G. Tutte (1947) G ma skojarzenie doskonałe wgdy zachodzi warunek Tutte’a:

3. Pokrycia wierzchołkowe Podzbiór U zbioru V(G) nazywamy pokryciem wierzchołkowym (krawędzi), jeśli każda krawędź grafu G ma przynajmniej jeden koniec w U. Moc najmniejszego pokrycia - β(G). Trywialnie,

4. Skojarzenia w grafach 2-dzielnych – tw. Königa Twierdzenie (König, 1931) Dla grafów dwudzielnych α’(G)= β(G).

5. Dowód tw. Königa (1) • Niech M będzie największym skojarzeniem w grafie 2-dzielnym G o dwupodziale (A,B). • Wystarczy pokazać, że istnieje pokrycie U mocy |M|. • Ścieżka M-naprzemienna ma jeden koniec w A-V(M), drugi w B i co drugą krawędź w M . • Konstrukcja zbioru U: do U zaliczamy po 1 końcu każdej krawędzi M, wybierając koniec w B, gdy kończy się w nim jakaś M-naprzemienna ścieżka, a koniec w A – w przeciwnym razie. • Zatem U zawiera końce wszystkich M-naprzemiennych ścieżek (bo są M-nasycone).

6. Ilustracja dowodu Tw. Königa U B A U

7. Dowód tw. Königa (2) • Niech ab będzie krawędzią (a z A, a b z B). • Pokażemy, że a lub b jest w U. • Tak jest, gdy ab jest krawędzią skojarzenia M lub b jest końcem M-naprzemiennej ścieżki. • W przeciwnym razie a jest M-nasycony (bo M jest maksymalne). • Niech ab’ należy do M.

8. Dowód tw. Königa (3) • Jeśli a nie jest w U, to b’ jest, tzn. b’ jest końcem M-naprzemiennej ścieżki, która omija a i b. • Przedłużając tę ścieżkę o krawędzie b’a i ab, otrzymujemy M-naprzemienną ścieżkę kończącą się w b. • Zatem b należy do U. 

9. Warunek (konieczny) Halla na istnienie skojarzenia zawierającego (nasycającego) zbiór A A B

10. Tw. Halla Tw. Halla (1935)Dwudzielny graf G o dwupodziale (A,B) posiada skojarzenie nasycające A wgdy zachodzi warunek Halla:

11. 1. dowód Tw. Halla • U – minimalne pokrycie E(G) • Jeśli G nie ma skojarzenia nasycającego A, to z Tw. Königa: |U|= β(G) = α’(G )<|A| • Nie ma krawędzi miedzy A-U i B-U. Zatem i warunek Halla nie zachodzi dla S=A-U. 

12. Ilustracja 1. dowodu Tw. Halla U B A U

13. 2. dowód Tw. Halla • Indukcja względem |A|; prawda dla |A|=1. • Niech |A|>1 i załóżmy prawdziwość dla <|A|. Dwa przypadki • I. Warunek Halla zachodzi z nadmiarem, tzn. • Usuńmy końce dowolnej krawędzi ab: G’=G-{a,b} • G’ wciąż spełnia warunek Halla i z założenia ind. ma skojarzenie nasycające A-{a}, które wraz z krawędzią ab tworzy skojarzenie nasycające A.

14. 2. dowód Tw. Halla –Przypadek II: • Z założenia ind. podgraf G’ indukowany w G przez S’ i N(S’) ma skojarzenie nas. S’. • Ale podgraf G’’=G-V(G’) też spełnia warunek Halla i z zał. ind. ma skojarzenie nas. A-S’. • Rzeczywiście, gdyby istniał podzbiór S’’ w A-S’, dla którego |N(S’’)|<|S’’|, to -- sprzeczność. 

15. Ilustracja S’ S’’ G’’ N(S’’) N(S’)

16. 3. dowód Tw. Halla • Prosty wniosek z Tw. Tutte’a (do samodzielnego zastanowienia się)

17. Tw.Gallai’a • Przypomnijmy: α(G), α’(G), β(G). • Podzbiór F zbioru E(G) nazywamy pokryciem krawędziowym (wierzchołków), jeśli każdy wierzchołek jest końcem przynajmniej jednej krawędzi z F. • β’(G) – moc minimalnego pokrycia • Tw. (Gallai ,1959) Jeśli G nie ma wierzchołków izolowanych, to α’(G) + β’(G) =|V(G)|.

18. Ilustracja Tw. Gallai’a 3+6=9

19. Dowód Tw. Gallai’a • Niech M będzie skojarzeniem, |M|= α’ . • U=V(G)-V(M) jest zbiorem niezależnym. • Dla każdego u w U, weźmy krawędź o końcu w u. • Te krawędzie wraz z M tworzą pokrycie. • Zatem

20. Ilustracja U M

21. Dowód Tw. Gallai’a – c.d. • Niech L będzie pokryciem, |L|= β’. • Niech M będzie największym skojarzeniem w H=G[L]=(V(G),L), a U=V(G)-V(M). • U jest zbiorem niezależnym w H, więc a stąd

22. Ilustracja

23. Tw. dualne do Tw. Königa • Łatwo pokazać, że α(G) + β(G) =|V(G)| dla każdego grafu G (ćwiczenia). • Wniosek. Dla każdego grafu dwudzielnego bez wierzchołków izolowanych α(G) = β’(G). • Dowód: Z tw. Gallai’a i powyższego ćwiczenia α’(G) + β’(G) =α(G) + β(G), a na podstawie Tw. Königa, α’(G) = β(G) . 

24. Skojarzenia ułamkowe • Skojarzenie ułamkowe to funkcja w:E  [0,1] taka, że dla każdego wierzchołka v • Suma wszystkich wag w(e) nie przekracza n/2. • Jeśli suma wag jest równa n/2, to mówimy, że w jest doskonałym skojarzeniem ułamkowym.

25. 0.4 0.5 0.1 0.5 0.5 0 0.6 0.5 0.2 1 0.3 0 Ilustracja Suma = 2.1 Suma = 2.5