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中正講座期中報告

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中正講座期中報告. 幾何發展簡史 第九組. 畢達哥拉斯定理 歷史發展與由來. 勾股弦定理 或 勾股定理 ,又稱 畢達哥拉斯定理 或 畢氏定理 。是一個基本的 幾何 定理 ,傳統上認為是由 古希臘 的 畢達哥拉斯 所證明。在 中國 , 《 周髀算經 》 記載了勾股弦定理的一個特例,相傳是在 商代 由 商高 發現,故又有稱之為 商高定理 ! 法國 和 比利時 稱為 驢橋定理 , 埃及 稱為 埃及三角形 。勾股弦定理指出: 直角三角形 兩直角邊(即「勾」、「股」) 邊長 平方 和等於斜邊(即「弦」)邊長的平方。也就是說, 設直角三角形兩直角邊為 a 和 b ,斜邊為 c ,那麼

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Presentation Transcript
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中正講座期中報告

幾何發展簡史

第九組

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畢達哥拉斯定理 歷史發展與由來
  • 勾股弦定理或勾股定理,又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理。是一個基本的幾何定理,傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。在中國,《周髀算經》記載了勾股弦定理的一個特例,相傳是在商代由商高發現,故又有稱之為商高定理!法國和比利時稱為驢橋定理,埃及稱為埃及三角形。勾股弦定理指出:直角三角形兩直角邊(即「勾」、「股」)邊長平方和等於斜邊(即「弦」)邊長的平方。也就是說,
  • 設直角三角形兩直角邊為a和b,斜邊為c,那麼

a平方+b平方=c平方

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證明
  • 利用相似三角形的證法
  • 設ABC為一直角三角形, 直角於角C(看附圖). 從點C畫上三角形的高,並將此高與AB的交叉點稱之為H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似,因為在兩個三角形中都有一個直角(這又是由於「高」的定義),而兩個三角形都有A這個共同角,由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理,三角形CBH和三角形ABC也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係:
  • 因為
  • BC=a, AC=b ,and AB=c
  • 所以
  • a/c=HB/a and b/c=AH/b
  • 可以寫成
  • a 平方 = c*HB and b平方=c*AH
  • 綜合這兩個方程式,我們得到
  • a平方+b平方=c*HB+c*AH=c*(HB+AH)=c平方
  • 換句話說:a平方+b平方=c平方
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畢氏定理的逆定理
  • 勾股弦定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法,其中c為最長邊:
  • 如果,則△ABC是直角三角形。
  • 如果,則△ABC是銳角三角形。
  • 如果,則△ABC是鈍角三角形。
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勾股數組
  • 勾股數組是滿足勾股弦定理a平方 + b平方 = c平方的正整數組(a,b,c),其中的a,b,c稱為勾股數。例如(3,4,5)就是一組勾股數組。
  • 任意一組勾股數(a,b,c)可以表示為如下形式:a = k(m平方 − n平方),b = 2kmn,c = k(m平方 + n平方),其中。
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畢氏定理:
  • 一種證明方法的圖示:左右兩正方形面積相等,各扣除四塊藍色三角形後面積仍相等
  • 勾股弦定理指出:
  • 直角三角形兩直角邊(即「勾」、「股」)邊長平方和等於斜邊(即「弦」)邊長的平方。
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一般而言,最能代表幾何的一本書,就非

<<幾何原本>>(Elements)莫屬了。

  • 歐幾里德(Euclid),希臘人。生於西元前300年前後)開始的,他是當時著名的數學家,以經典名著<<幾何原本>>(Elements)聞名於世。
  • 從此之後,幾何這個名詞漸漸流傳。
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幾何的想法,最基本的,就是從”點”、”線”、”面”開始的。幾何的想法,最基本的,就是從”點”、”線”、”面”開始的。
  • 想要畫成一個圖形,一定先要有點,然後由兩個點,可以構成一直線,再由第三個點,構成一個平面。再接下去第四個、第五個、第六個……因而構成一個圖形。
  • 再由最簡單的圖形:圓形、三角形、矩形,去構成更多複雜美觀的圖案。
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然而,第一次在中國見到這本“幾何原本”的時候,是在清朝的期間,由利瑪竇和徐光啟所合譯的。然而,第一次在中國見到這本“幾何原本”的時候,是在清朝的期間,由利瑪竇和徐光啟所合譯的。
  • 雖然並不代表這時候中國才出現了幾何的概念,不過這可以說是中西的幾何學,第一次摩擦出的火花。
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幾何原本裡面所敘述的幾何,都是非常簡單易懂的原理和概念,但是現在的數學概念,要是沒有這些基本的想法,大概就要垮掉一半了。甚至更多。幾何原本裡面所敘述的幾何,都是非常簡單易懂的原理和概念,但是現在的數學概念,要是沒有這些基本的想法,大概就要垮掉一半了。甚至更多。
  • 幾何在後來才被人給發現,可以利用代數來表示出幾何的圖形,也帶動了後來數學的蓬勃發展。
  • 現在的建築和設計,建築在一層又一層的幾何概念上面。
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笛卡兒座標
  • 我們現在最常用的直角座標系——「笛卡兒座標」(Cartesian coordinates)。在座標系統的中心點,也就是橫軸與縱軸的交叉點,坐落著零。若給你任何一組用小括弧包起來的數字對,你都能在座標上找到這個「點」的位置。例如:(4, 2)是從原點零往右方數 4 單位,再往上數 2 單位的那一個點。
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笛卡兒座標
  • 笛卡兒領悟到他不可能由 1 作為基準點,否則這個系統會出現很多問題,而且當時的時代背景是阿拉伯數字普及的環境,所以他選擇由 0 開始計數。(起初這個座標系統並沒有延伸到負數,但是他的同僚不久後就幫他補上了。)
  • 笛卡兒很快就發現這個座標系統的威力有多強大!每一個幾何物件(正方形、三角形、曲線……)都可以在笛卡兒座標系統上以簡單的方程式 f(x, y) = 0(一種數學的關係式)表示出來。
  • 例如:滿足這個方程式的點(x, y)的集合,在座標上形成一個圓心在原點、半徑為1單位的圓。
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笛卡兒座標-方程式
  • 下面的圖形十分有趣,但其實描述它們所用的方程式都十分簡單。
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微積分 研究的範疇
  • 牛頓由於研究萬有引力與運動定律, 進而發明了微積分
  • 研究的範疇有三,包括微分、積分,以及微分和積分兩者之間的關係。
  • 微分主要討論一個變量怎樣隨時間(或其他變量)改變,
  • 積分則主要討論計算面積的方法。
  • 它們兩者的關係由「微積分基本定理」(或稱「牛頓 - 萊布尼茨公式」
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微積分基本定理
  • 求積是求變化率的反運算
  • 利用極限或無窮小來建立微分與積分,再透過微分的逆向運算來求積分(面積、體積、表面積、曲線長、重心及里程等等),而微分的正向運算又可掌握住求切線、速度、密度、變化率及極值問題,甚至揭開了函數的結構之謎
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微分是一個偉大的概念
  • 微分法是非常鋒利的兩面刃,是人類破天荒的成就。
  • 微分是一個偉大的概念,它不但是分析學而且也是人類認知活動中最具創意的概念。沒有它,就沒有速度或加速度或動量,也沒有密度或電荷或任何其它密度,沒有位勢函數的梯度,從而沒有物理學中的位勢概念,沒有波動方程;沒有力學,沒有物理,沒有科技,什麼都沒有

S. Bochner

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高斯曲面-優美定理、黎曼幾何
  • 高斯曲率是該點主曲率κ1和κ2的乘積。它是曲率的內在度量,它的值只依賴於曲面上的距離如何測量,而不是曲面如何嵌入到空間。
  • 這個結果是優美定理的主要內容。
theorema egregium
Theorema Egregium優美定理
  • 曲面的曲率的重要定理,由高斯發現。
  • 這定理說曲面的高斯曲率可以從曲面上的長度和角度的測量完全決定,無需理會曲面如何嵌入三維空間內。
  • 換言之,高斯曲率是曲面的內蘊不變量。用現代術語可表述為:高斯曲率在局部等距變換下不變。
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由左至右:

負高斯曲率曲面(雙曲面),

零高斯曲率曲面(圓柱面),

正高斯曲率曲面(球面)。

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黎曼幾何
  • 黎曼幾何是德國數學家黎曼創立的。他在1851年所作的一篇論文《論幾何學作為基礎的假設》中明確的提出另一種幾何學的存在,開創了幾何學的一片新的廣闊領域。
  • 黎曼幾何中的一條基本規定是:在同一平面內任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在
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它的另一條公設講:直線可以無限延長,但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當「改進」的球面。它的另一條公設講:直線可以無限延長,但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當「改進」的球面。
  • 黎曼幾何的平行公理是:同一平面上的任意兩條直線一定相交。

如右圖

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近代黎曼幾何在廣義相對論裡得到了重要的應用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論裡,愛因斯坦放棄了關於時空均勻性 的觀念,他認為時空只是在充分小的空間裡以一種近似性而均勻的,但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋,恰恰是和黎曼幾何的觀念是相似的。
ricci

黎曼幾何

張量分析

廣義相對論

Ricci:張量分析

在黎曼幾何的情形之下,我們只需要空間的一部分,因為 ds2有意義,我們便可量弧長、面積、角度等幾何性質,不需要知道全部的空間。

Ricci提出”connection”的概念,建立了彎曲空間上的微積分-即張量分析,精確地建構出黎曼幾何的理論。

愛因斯坦的廣義相對論是要把物理幾何化,也就是說把物理的性質變為幾何的性質,到了黎曼空間一樣有曲率的概念,因為黎曼空間是高維的

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代數幾何中的基本群

基本群亦可抽象地定義為纖維函子的自同構群,

此纖維函子對每個帶基點的覆蓋映射

給出纖維 r − 1(p)。

此定義可以推廣到代數幾何,而之前給出的環路

此定義可以推廣到代數幾何,而之前給出的環路

定義則不可。在此我們將拓撲空間的覆蓋映射代

定義則不可。在此我們將拓撲空間的覆蓋映射代

為平展態射,拓撲空間的基點代為概形上的一個

幾何點 x,而纖維函子 F 對一平展覆蓋

給出幾何纖維 HomX(x,Y)。此推廣源出格羅滕迪克

與夏瓦雷。

這套理論可以解釋函數域的伽羅瓦理論與黎曼曲面

的覆蓋理論之聯繫。

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相對論
  • 相對論是關於時空和引力的理論,主要由愛因斯坦立。
  • 相對論改變了人類對宇宙和自然的「常識性」觀念,提出了「同時的相對性」、「四維時空」、「彎曲時空」等全新的概念。
  • 而相對論又可分為兩種,即「狹義相對論」與「廣義相對論」。
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狹義相對論的基本假設
  • 在不同的慣性座標系內,物理定律有相同的形式。
  • 相對於不同的慣性座標系觀察者,所觀測到真空中的光速都是相同的。 相對於不同的慣性座標系觀察者所觀察到 物體的速度會不相同。
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狹義相對論只涉及那些沒有引力作用或者引力作用可以忽略的問題

狹義相對論的背景時空是平直的,其曲率張量為零。

廣義相對論則是討論有引力作用時的物理學的問題。主要討論重力問題

廣義相對論的背景時空則是彎曲的,其曲率張量不為零。

狹義相對論與廣義相對論的比較
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愛因斯坦提出三項實驗檢驗相對論
  • 水星近日點的進動
  • 光線在引力場中的彎曲
  • 光譜線的引力紅位移
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