第五章 结构的位移计算

1. 第五章 结构的位移计算 Last Edit: 2009.8.12

2. 本章主要内容： 1 概述； 2 线性变形体系的功能原理; 3 结构位移计算的一般理论; 4 结构位移计算（荷载作用）的单位荷载法; 5 图乘法； 6 温度变化引起的结构位移 7 由于支座位移引起的结构位移计算。 课后作业

3. 5-1 概述

4. 5-1 概述 一、结构位移的种类 结构在荷载和温度变化等外界因素的影响下将会发生变形， 因而结构上各点或截面的位置可能发生改变——即产生位移。 结构的位移可分为 1．线位移：结构上各点产生的位置移动 2．角位移：杆件横截面所产生的位置转动 变形体： 在外界因素影响下产生变形（弹性变形和非弹性变形）的物体统称为变形体

5. 5-1 概述 一、结构位移的种类

6. 5-1 概述 一、结构位移的种类 绝对位移 相对位移：两点或两截面相互之间位置的改变量

7. 5-1 概述 二、使结构产生位移的因素 1.荷载 结构在荷载作用下产生内力 材料发生应变结构产生位移 2.温度变化 材料的热胀冷缩  结构产生位移 3.支座位移 基础发生沉降  结构支座移动、转动 结构产生位移 4.其他因素 结构构件的尺寸制作误差、材料的干缩、混凝士凝结收缩等

8. 5-1 概述 三、计算结构位移的目的 1.验算结构的刚度 结构要满足强度、刚度、稳定性要求。 结构的刚度：以其变形或位移来量度 （在验算结构刚度时，需计算结构位移）。 闸门：沿水流方向位移超过允许限度时，将使闸门的启闭受到阻碍，同时影响止水效果。 结构设计规范中具体规定 2.计算超静定结构 计算超静定结构：静力平衡条件、变形协调条件（结构的位移） 本章内容处于静定结构分析与超静定结构分析的交界处，起着承上启下的作用。

9. 5-1 概述 三、计算结构位移的目的 3.为建筑起拱和结构架设提供位移数据 (a)大跨度建筑中，结构变形→产生明显的下垂现象 不但影响美观，而且容易引起人们的不安全感。 (b)建筑起拱 (起拱)：把结构做成具有一定上弯度的初始弯曲形式， 用以抵消由挠度产生的下垂现象。(需要计算结构位移)

10. 5-1 概述 三、计算结构位移的目的 3.为建筑起拱和结构架设提供位移数据 大型桥梁施工进行悬臂拼装时，结构自重、施工机械等临时荷载的作用，悬臂部分将产生挠度，需计算结构位移，便于拼装时使构件准确就位； 大型结构进行吊装时，需要合理设置起吊点，使安装部位产生的位移小而且较为均匀，便于安装就位。

11. 5-1 概述 四、线性变形体系的假设及其特性 1．线性变形体系（线性弹性体系/线弹性体系）： 满足两个基本假设的体系 （1）材料是完全弹性的，服从虎克定律 ——结构在荷载作用下，最大应力不超过材料的弹性比例极限 （2）结构的变形 (位移) 是微小的，因此不影响荷载的作用(材料力学小变形假设) (不改变荷载作用点的位置和方向) ——应用静力平衡条件建立方程时，可以不计结构变形(位移)的影响， 而采用原始的几何尺寸。

12. 5-1 概述 四、线性变形体系的假设及其特性 2．线弹性体系的两个主要特性： (1) 结构的变形 (位移)与其作用力成正比 柔度 (影响)系数d：施加单位力时所产生的结构位移 位移D：作用力为一般值时所产生的结构位移 DKi第一个下标K—— 位移所在的地点和方向 DKi第二个下标 i —— 产生位移的原因 有 D Ki = d Ki · Pi

13. 5-1 概述 四、线性变形体系的假设及其特性 2．线弹性体系的两个主要特性： （2）计算结构的变形（位移）可应用叠加原理 叠加原理：由若干因素共同作用时所产生的效果（内力、变形等），等于其每个因素单独作用时所产生的效果的总和。

14. 5-2 线性变形体系的功能原理

15. 5-2 线性变形体系的功能原理 线性变形体系的功能原理是结构力学的重要理论基础,本节包括外力实功、实变形能、附加功或虚功的互等定理以及虚功原理等。 一、外力实功 线弹性体系的静力加载过程 荷载: 0  P 变形: 0  D 两者同步 加载过程中，加载速度缓慢，不至于引起振动，这样的家在过程，称为静力加载，相应的荷载为静力荷载

16. 5-2 线性变形体系的功能原理 一、外力实功 一、外力实功 单位荷载对应的变形: d 外力做功增量 图示蓝色部分的面积 当荷载到达最后数值: P 加载过程中荷载的值: F

17. 5-2 线性变形体系的功能原理 一、外力实功 一、外力实功 图示黄色三角形的面积 线弹性体系线性在静力荷载作用下，外力所做的实功等于外力的最后数值与其相应位移乘积的一半。 注意点： (1)外力实功中，位移是由做功的力本身引起的，且外力是变化的 (由零开始逐渐增加到其最后数值)。 (2)计算外力实功时，力与位移必须相对应。

18. 5-2 线性变形体系的功能原理 一、外力实功 一、外力实功 计算外力实功时，力与位移必须相对应

19. 5-2 线性变形体系的功能原理 一、外力实功 一、外力实功 广义力：凡是做功的力统称为广义力 广义位移：与广义力相对应的位移统称为广义位移 广义力(集中力) 广义位移(线位移) 广义力(集中力偶) 广义位移(角位移) 广义力(一对大小相等方向相反的共线力) 广义位移(相对线位移) 广义力(一对大小相等方向相反的共线力偶) 广义位移(相对角位移)

20. 5-2 线性变形体系的功能原理 一、外力实功 一、外力实功 体系上多个外力共同作用时，总的外力实功 Di ——所有外力共同作用时，在 i 点沿Pi方向所产生的位移

21. 5-2 线性变形体系的功能原理 【例5-1】图示等截面直杆，在截面1-1和2-2处，分别作用沿轴线方向的静力荷载 P1 和 P2，已知杆件截面积为A，材料弹性模量E，试求外力 P1 和 P2 所做的实功。

22. 5-2 线性变形体系的功能原理

23. 5-2 线性变形体系的功能原理 第一项:P1单独作用时所做的实功 第二项:P2单独作用时所做的实功 第三项:两个力的相互影响所产生的功 结论：计算外力实功时不能应用叠加原理。

24. 5-2 线性变形体系的功能原理 第三项的物理意义 先加载P1 P1做功: 再加载P2 P2做功: 由于P2作用 1-1截面再次下移D l12 P1在附加位移 D l12上所做的功 “附加功”“虚功” “附加功”用以区别于外力再其本身所引起的位移上所做的实功

25. 5-2 线性变形体系的功能原理 二、实变形能 线弹性体系，受到荷载作用，发生变形，荷载卸去后，变形消失。是什么力量能使体系消除变形的呢? 原因:加载过程中，外力作功，通过体系变形，转化为变形能储存到体系内部;卸载过程中，通过消除体系的变形，释放变形能 变形能:因弹性变形而积储或释放的能量，称为线弹性体系的变形位能(变形势能)，简称变形能。一般用U表示 实变形能: 与外力实功相对应的变形能 虚变形能: 与外力附加功(虚功)相对应的变形能 变形能以体系内力作功来量度的

26. 5-2 线性变形体系的功能原理 二、实变形能 从某体系的某根杆上任意截取微段ds，研究其内力变形 内力在相应位移上所做的内力实功实变形能；略去二阶微量 对于线弹性体系，三种变形能各自独立，由材料力学 m 为剪应力不均匀分布系数，与截面形状有关 矩形截面——1.2，圆形截面——32/17 ， 工字形截面——总面积 A除以腹板面积 AS，即A/ AS

27. 5-2 线性变形体系的功能原理 二、实变形能 (1) (2) 将式(2)代入(1)，并在长度方向积分，得到一个杆件的实变形能 累加所有杆件的实变形能，得到体系的实变形能 计算实变形能时，不能应用叠加原理 (不能按单个荷载产生的实变形能累加得到全部荷载作用的实变形能)

28. 5-2 线性变形体系的功能原理 三、实功原理-外力实功与实变形能的关系 线弹性体系，静力加载，只发生变形，不引起振动，故无动能的变化。 如果不计体系内部因材料应变发生内摩擦而损耗的微小热能， 则体系上外力所做的实功，将全部被吸收转化为变形能(能量守恒)。

29. 5-2 线性变形体系的功能原理 四、附加功(虚功)的互等定理 1. 附加功的互等定理 实功：一批荷载在其本身产生的位移上所做的功 附加功：一批荷载在别的因素产生的位移上所做的功 做功和位移的下标说明 TKi 第一下标K表示做功的荷载 第二个下标 i 表示做功的位移是在哪个状态 DKi 第一下标K表示位移发生的位置 第二个下标 i 表示引起该位移的荷载

30. 5-2 线性变形体系的功能原理 四、附加功(虚功)的互等定理 第二组荷载 在状态②所做实功 第一组荷载 在状态①所做实功 第一组荷载 在状态①所做实功 第二组荷载 在状态②所做实功 第一组荷载 在状态②所做附加功 第二组荷载 在状态①所做附加功

31. 5-2 线性变形体系的功能原理 四、附加功(虚功)的互等定理 由于线性变形体系外力做的实功，与加载顺序无关，只与体系的初始状态和最终状态有关，所以两种加载次序下所得到的外力(Pi ,Pk)实功相等 附加功互等定理: 第一状态的外力在第二状态位移上所做的功，等于第二状态的外力在第一状态位移上所做的功。

32. 5-2 线性变形体系的功能原理 四、附加功(虚功)的互等定理 2. 附加功的互等定理的推论 位移互等定理： 第—个单位力在第二个单位力方向上所产生的位移，等于第二个单位力在第一个单位力方向上所产生的位移。 （1）位移互等定理 力法解超静定梁 注意： 单位力——广义力 位移——广义位移

33. 5-2 线性变形体系的功能原理 四、附加功(虚功)的互等定理 2. 附加功的互等定理的推论 （1）位移互等定理 力法解超静定梁

34. 5-2 线性变形体系的功能原理 i 状态的反力在 k 状态的位移做功 四、附加功(虚功)的互等定理 （2）反力互等定理 位移法解超静定梁 k 状态的反力在 i 状态的位移做功 反力互等定理： 第一个约束发生单位位移时在第二个约束中所引起的反力，等于第二个约束发生单位位移时在第一个约束中所引起的反力

35. 5-2 线性变形体系的功能原理 五、附加功原理 体系总的外力实功： 体系总的实变形能： U11与T11相对应(实变形能) 荷载单独作用时做功和变形能 U22与T22相对应(实变形能) 由实功原理， T11=U11T22=U22(单独作用)T=U (共同作用) 则有， T12 = U12 同理可推知， T21 = U21 一般情况 Tik = Uik i状态中的外力在k 状态中的位移上所做的附加功， 等于i 状态中的内力因k状态中的变形而产生的附加应变能。

36. 5-2 线性变形体系的功能原理 五、附加功原理 根据： —— 线弹性体系的附加功原理(外力虚功与虚变形能的关系) 方程称为虚功方程。 可写为 Σ 外力 × 位移 ＝ 内力 × 变形 虚功原理需要涉及到两个状态： (1)一个状态取其外力和内力 (2)一个状态取其位移和变形 实际上一般只提供一个状态——即实际状态， 另一个状态假设(根据分析问题的需要设定)——虚拟状态

37. 5-2 线性变形体系的功能原理 五、附加功原理 外力虚设——虚力原理 位移虚设——虚位移原理 实际的位移(变形) 虚拟的位移(变形) Σ外力×位移 ＝ 内力×变形 Σ外力×位移 ＝ 内力×变形 实际的力系 虚拟的力系 虚功原理适用范围： 线弹性体系，非线弹性体系 产生的变形(位移)的原因可以为外界各种因素： (包括荷载、温度变化、支座沉降、制造误差等) 小变形范围

38. 5-4 结构位移计算的一般理论

39. 5-3 结构位移计算的一般理论 一、结构位移计算的一般公式 虚功方程： 虚设 Pi = 1 (虚拟状态)： ——结构位移的一般计算公式（单位荷载法） 表示虚拟状态中由虚设单位力Pi = 1所产生的内力 表示实际状态中结构杆件微段的变形。 表示实际状态中由于杆件变形引起的结构位移。

40. 5-3 结构位移计算的一般理论 二、虚拟状态的设置方法 虚拟状态中所设置的单位力与所求位移，必须符合广义力与广义位移的对应关系。 单位力是无量纲的量

41. 5-3 结构位移计算的一般理论

42. 5-3 结构位移计算的一般理论

43. 5-4 结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法

44. 5-4 结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法 ——虚力原理的应用(Maxwell——Mohr 法) 根据结构位移计算的一般公式 k 状态：实际状态，内力以FNP、MP、FQP表示 对线弹性体系，有 ——线弹性体系杆件结构在荷载作用下，结构位移计算的一般公式

45. 5-4 结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法 一、桁架 二、梁和刚架 三、组合结构 链杆 受弯杆件 四、曲杆和拱 轴线的曲率半径较小——采取同梁或刚架那样的处理方法 较扁平的拱——必须同时考虑轴向变形和弯曲变形两项影响 (由于轴力较大，轴向变形显著)

46. 5-4 结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法 【例5-2】图示钢桁架，P = 160kN，各杆用两个 80mm×5mm的等边角钢(2L80×5)，A = 2×791.2mm2， E = 210GPa， 试求 DCV

47. 5 8 5 8 3 4 5 8 3 8 5 8 1 2 1 2 3 8 5-4 结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法 –120 –200 –200 0 0 120 120 160KN 160KN 计算实际状态和虚拟状态下各杆的内力(轴力),如图

48. 杆件名称 杆长l (m) 截面积A (cm2) 轴力 (kN) 轴力 （kN） A-C 6 15.824 120 0.375 17.063 B-C 6 15.824 120 0.375 17.063 D-E 6 15.824 -120 -0.750 34.125 A-D 5 15.824 -200 -0.625 39.497 C-D 5 15.824 0 0.625 0.000 C-E 5 15.824 0 0.625 0.000 B-E 5 15.824 -200 -0.625 39.497 147.245 5-4 结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法

49. 5-4 结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法 【例5-3】图示简支梁，受到集中荷载FP作用，试求梁两端截面A、B的相对转角 jAB

50. 5-4 结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法 解 虚拟状态,在截面A,B施加一对反向单位力偶 确定实际状态下的弯矩方程(参见弯矩图) 虚拟状态下的弯矩方程(参见弯矩图) 正值表示与所设的一对单位力偶方向相同。