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Self-Stabilizing Minimum Spanning Tree

Self-Stabilizing Minimum Spanning Tree. 斎藤 大. 発表の流れ. Self-Stabilizing Minimum Spanning Tree （ＭＳＴ）の概要 モデル ＭＳＴアルゴリズム ＧＨＳアルゴリズム Antonoiu and Srimani アルゴリズム Self-Stabilizing ＭＳＴアルゴリズム. １． Self-Stabilizing MST の 概要. １． Spanning Tree とは？. 頂点 V と辺 E の集合（ V,E ）から同じ頂点集合を持つ（ V,E’ ）を生成する

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Self-Stabilizing Minimum Spanning Tree

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Presentation Transcript

  1. Self-Stabilizing Minimum Spanning Tree 斎藤 大

  2. 発表の流れ • Self-Stabilizing Minimum Spanning Tree（ＭＳＴ）の概要 • モデル • ＭＳＴアルゴリズム • ＧＨＳアルゴリズム • Antonoiu and Srimaniアルゴリズム • Self-Stabilizing ＭＳＴアルゴリズム

  3. １． Self-Stabilizing MSTの 概要

  4. １．Spanning Treeとは？ • 頂点Vと辺Eの集合（V,E）から同じ頂点集合を持つ（V,E’）を生成する • 循環構造を持たない • 孤立した部分集合を持たない→木構造 和訳：生成木

  5. １．MSTとは？ • 各辺に重み（コスト）をつける • 木の辺の重みの和を最小にする • 一般にMSTは一意に定まらない→重みは全て異なる（単射）と仮定すると一意に定まる 和訳：最小生成木

  6. １．MSTの具体例 8 a b a b 5 4 5 4 3 c 9 3 c 1 1 d e d e 10 f 2 f 2 6 7 6 7 g h g h 11 ∑cost = 28（最小）

  7. １．Self-Stabilizing MSTとは • 頂点の増減や辺の切断を考慮→現実のネットワークに適用 • 状況の変化に合わせて自動で木の再構築を行う 8 a b 3 5 4 c 1 d e f 2 6 7 g h

  8. １．現実への適用 • グラフ → ネットワーク • 辺の重み → 通信コスト • 生成木 → あるプロセスの情報を全プロセスに放送 • 最小生成木 → 通信コストが最小の放送

  9. １．モデル • Message-Passing Networkを想定 • 重み付き無向グラフ（重みは単射） • 各ノード（頂点）は固有のIDを持つ • 各ノードは、隣接するノードのID、及びそれらの間の枝（辺）の重みを保持する

  10. ２． MSTアルゴリズム ＧＨＳアルゴリズム Antonoiu and Srimaniアルゴリズム

  11. ２．１．MINTREE • Gallager-Humblet-Spiraのアルゴリズム→MINTREEと呼ぶ • グラフ理論のKRUSKALアルゴリズムを基にしている • ノード全体の情報を知る必要がない • フラグメント（後述）をまとめて統率するプロセッサを仮定

  12. ２．１．KRUSKAL G=(V, E, c)からT=(V, ET)を求める 　　　　をコストの小さい順に並べる(m:枝 n:ノード) [KRUSKAL] ∪

  13. ２．１．用語の定義 a b フラグメント 4 3 c 外向枝 (outgoing edge) d e レベル：合併（後述）回数 f 6 7 特に最小外向枝 (Minimum Outgoing Edge) が重要！ g h 内枝 (inside edge)

  14. ２．１．MINTREEの流れ（１） • 各フラグメントのプロセスが最小外向枝（MOE）を探す • レベルが等しくMOEも共通な場合→合併[merge]・レベルが１増加 • MOEの相手のレベルが高い場合→吸収[absorb]・レベル変化無し • absorbはレベルが低い方のみ出せる

  15. ２．１．MINTREEの流れ（２） F２：L１ F1：L１ a b 4 3 c F３：L０ d e １ merge ２ absorb f 6 7 g h F４：L１ (c, f)：L2

  16. ２．２． Basic_MST • Antonoiu and Srimaniアルゴリズム→Basic_MSTと呼ぶ • 各枝がプロセッサを持っていると仮定 • 既になんらかの生成木が存在する時のアルゴリズム→初期設定が必要 • 一般にはあまり用いられないが、Self-Stabilizationを適用する上で便利

  17. ２．２．Basic_MSTの流れ（１） • 既に生成木が構築されているとする • 適当なnon-tree edgeを選ぶ→循環構造が出来る • 循環構造内で最も重い枝を切る • ２～３の繰り返しによって、MSTを構築

  18. ２．２．Basic_MSTの流れ（２） a b コスト最大の枝 5 4 3 c 9 1 d e コスト最大の枝 10 f 2 6 7 g h

  19. ２．２．簡単な証明 • ある関数を定義する（e:non-treeedge） • minimize_cycleは生成木を返す • E’がMSTだったら、どんなeに対してもE’=minimize_cycle(E’,e)逆も成り立つ • 一度minimize_cycleによって除かれた枝は二度と選ばれることはない • よって全てのeについてminimize_cycleを実行し求まる生成木はMSTとなる ∪

  20. ２．２．Basic_MSTの実装（１） • 枝に{chosen, unchosen}のstatus追加 • 待ち時間safetime(e)を追加→n個のノードを通る最大の時間徐々に減少し、自分の命令受信でreset • search、remove、insert命令を追加 • unchosen edgeはtime-outするとsearch命令を送信する • 循環した自分のsearchを受信し、重みが自分より大きかったらremove送信

  21. ２．２．Basic_MSTの実装（２） [g,f],6 [g,f],6 b a 4 5 c [g,f],9 [g,f],6 9 3 [g,f],6 1 e d Insert ([g, f]) search ([g, f],6) [g,f],9 [g,f],10 10 f 2 6 remove ([g,f],10) [g,f],10 h g

  22. ３．Self-Stabilizing MST

  23. ３．Self-Stabilizeのために • Basic_MSTに以下の機能を追加 • search_sent ：search到着待ちstatus • search命令に通ってきたpathを追加pathは重みも保持する • find_cycle ：chosen edgeが発する命令→３*Safetime間メッセージを受信しないと送信（Safetime：max{safetime(e)}）

  24. ３．Self-Stabilizingの実装（１） • 各枝プロセッサが３つの変数を持つ • boolean chosen_status • unsigned int timer • boolean search_sent • ３種類のメッセージ • (“search”, eid, path) • (“remove”, path) • (“find_cycle”, path)

  25. ３．Self-Stabilizingの実装（２） • ２種類の通信プロトコル • send(mess, e) (e:隣接する枝) • propagate(mess, v) (v:ノード) • タイムアウトの機構 • chosen edgeは3*Safetimeでtime-out • unchosen edgeはSafetimeでtime-out ［配布資料参照］

  26. ３．Self-Stabilizingの実装（３） [g, f], path [g, f], path b a 4 5 [g, f], path c 9 3 [g, f], path 1 e d search ([g, f], φ) 10 f 2 6 h g

  27. ３．Self-Stabilizingの実装（４） [g, f], [fhebc] b a 4 5 c remove ([fhebc]) cycle 9 3 [g, f], path 1 e d search ([g, f], φ) 10 2 [g, f], [fhe] f 6 ７ [g, f], [fh] h g

  28. ３．正当性の直観的な証明 • MSTとなるべき枝が一度chosen edgeになったらそれは二度とremoveされない • 時間を重ねれば重ねるほど、生成木全体のコストは小さくなっていく • MSTとなるべき枝がまだchosen edgeでなかったら、必ずchosen edgeになる • 一度MSTが構築されたら、エラーが無い限りMSTは不変

  29. ３．現実に適用するために • 各枝がプロセッサを持っていると仮定→各ノードがそれぞれの枝を担当→枝を挟む相手の情報が欲しい • 大規模ネットワークでのSafetimeの設定 • ネットワーク全体を知ることは不可能 • Safetime大：ネットワークトラフィック減 • Safetime小：エラーに即座に対応

  30. まとめ • MSTとは • コスト最小の生成木を構成 • Self-Stabilizing MST • エラーを自動的に修復 • ノードの増減が激しいインターネットにも適用可能

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