Anal tisk eometrija datorikas noda as 2 kurss 1998 gada ruden
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 35

Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss 1998. gada rudenī PowerPoint PPT Presentation


  • 203 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss 1998. gada rudenī. 1. daļa. Telpas. Vektoru un punktu telpas: Priekšvārds. Ģeometriskas figūras sastāv no punktiem . Punkti parasti dzīvo 2D vai 3D telpās . Elementārajā ģeometrijā vārdi ir tikai dažiem punktiem,

Download Presentation

Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss 1998. gada rudenī

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Analītiskā ģeometrijaDatorikas nodaļas 2. kurss 1998. gada rudenī

1. daļa. Telpas.


Vektoru un punktu telpas: Priekšvārds

Ģeometriskas figūras sastāv no punktiem. Punkti parasti

dzīvo 2D vai 3D telpās.

Elementārajā ģeometrijā vārdi ir tikai dažiem punktiem,

piemēram, trijstūra ABC virsotnēm, bet analītiskajā ģeometrijā

katram punktam dod savu vārdu.

Tā kā punktu ir ļoti daudz, arī vārdu vajag ļoti daudz.

Katra punkta vārds ir divi vai trīs reāli skaitļi jeb koordinātes.

Par punktu vārdiem var lietot arī vektorus, kuros koordinātes

apvieno skaitļu masīvā. Vektori palīdz noslēpt punktu koordinātes

tāpat kā to dara objektorientētajā programmēšanā.

Vektori dzīvo līdzās punktiem nedaudz savādākās telpās.

Pirmā bilžu daļa veltīta šīm telpām.


Vektori: Ievads

Ģeometrijā par vektoriem parasti

sauc orientētus nogriežņus, pie kam

raksta ja nogriežņi ir

vienāda garuma, paralēli un

vienādi vērsti.

Pie šīs intuīcijas vektorus saskaita, lietojot t.s. “trijstūra” vai “paralelograma” likumu:


Kā formalizēt vektoru intuīciju

Ko nozīmē “vienādi vērsti” nogriežņi?

Iespējama atbilde: Vektori un ir vienādi, ja

viduspunkts sakrīt ar viduspunktu.

Tagad jāpierāda, ka vektoru vienādība ir ekvivalences attiecība:

Īpašību pierādīt nav īpaši vienkārši. Definējot vektorus kā

orientētus nogriežņus rodas arī citas tehniskas grūtības. Tādēļ

rīkosimies pretēji - definēsim vektorus vispirms un punktus pēc tam.


Vektori veido

komutatīvu grupu

Reāli skaitļi

ir operatori

vektoru telpā

Lineāra telpa

D

Par Lineāru telpu sauc ikvienu kopu , kuras treknos elementus

var saskaitīt un reizināt ar reāliem skaitļiem, iegūstot atkal

elementus; pie tam izpildās 8 aksiomas:

D

Par vektoriem sauc lineāras telpas elementus.


Aksiomu ilustrācijas - I

A

Asociativitāte

Komutativitāte

A

A

Nullvektors

A

Pretējais vektors


Aksiomu ilustrācijas - II

Vektors ir k reizes

garāks par a, paralēls a, vērsts tāpat

kā a (k>0), vai pretēji a (k<0).

D

A

Distributivitāte1

A

Operatoru asociativitāte

A

Distributivitāte2

Reizināšana ar 1:

A


P

L - orientēti nogriežņi uz taisnes, plaknē vai telpā

P

L - nepārtrauktās funkcijas,

kas definētas [0,1]

P

L - kvadrāttrinomi:

Lineāru telpu piemēri

P

: vismazākā lineārā telpa

P

L - n skaitļu virknītes:

P

L - nm matricas:


Lineāru telpu īpašības

T

Nullvektors ir viens vienīgs.

P

Apgrieztais vektors ir viens vienīgs:

Pieņemsim, ka

Pieskaitīsim abām pusēm, piemēram, b.

Tad

jeb

P

Distributivitāte:

Pieskaitām .


Saskaitīšanas asociativitāte

+

Katram kokam atbilst

kāda izteiksme ar

iekavām un otrādi:

katrai izteiksmei

atbilst koks.

+

a1

+

+

+

a2

+

a1

a2

a3

a4

a3

a4

saskaitāmajiem dažādo iekavu izlikšanas veidu skaitu

apzīmēsim ar .

vektoru summa nav atkarīga no izliktajām iekavām.

(Bez pierādījuma.)

T


Vektoru lineāras kombinācijas

D

Par vektoru saimes lināru kombināciju ar

koeficientiem sauc

D

Lineāru kombināciju sauc par triviālu, ja

D

Vektoru saimi sauc par lineāri atkarīgu, ja

eksistē netriviāla lineāra kombinācija

Ja vektoru saime nav lineāri atkarīga, to sauc par lineāri

neatkarīgu. Tukšu vektoru saimi uzskata par lineāri neatkarīgu.

P

Viens vektors a ir lineāri neatkarīgs

tad un tikai tad, ja

P

Saime ir lineāri atkarīga tad un tikai tad, ja kāds vektors

tajā ir lineāra kombinācija no pārējiem.


Lineāri neatkarīgas saimes

Saime ir lineāri neatkarīga tad un tikai tad,

ja katru vektoru var izteikt kā šīs saimes lineāru

kombināciju ne vairāk kā vienā veidā.

T

Pieņemsim, ka vektoru var izteikt divos veidos:

un

Atņemam šīs vienādības vienu no otras:

Tā kā vektori ir lineāri neatkarīgi, tad

Ja saime būtu lineāri atkarīga, tiem eksistētu

netriviāla lineāra kombinācija, kas vienāda ar

To varētu nesodīti pieskaitīt katra vektora izteiksmei

ar šiem vektoriem, iegūstot citu izteiksmi.


Kolineāri un komplanāri vektori

Viens vektors ir lineāri atkarīgs tad un tikai tad, ja tas ir nullvektors.

Divu un trīs vektoru lineārajai atkarībai ieviesti īpaši, daiļi vārdi:

D

Divus vektorus sauc par kolineāriem, ja tie ir lineāri atkarīgi.

Trīs vektorus sauc par komplanāriem, ja tie ir lineāri atkarīgi.

Dažādas

situācijas,

kad 3 vektori

ir komplanāri


Telpas bāze

D

Vektoru sistēma veido lineāras telpas L

bāzi, ja šī sistēma ir (1) pilna, t.i. katru var izteikt

ar bāzes vektoriem; (2) neatkarīga, t.i. katru var

izteikt ar bāzes vektoriem ne vairāk kā vienā veidā.

Lineārai telpai L visas bāzes ir ar vienādu vektoru skaitu

ko sauc par L dimensiju.

T

Ja L ir taisne, ; ja plakne, ;

ja telpa, .

P

Viena mainīgā polinomu telpai ir bezgalīga dimensija;

vektorus var ņemt par tās bāzi.

P


Koordinātes

Ja ir bāzes vektori telpā L un

, tad skaitļus sauc

par vektora akoordinātēm.

D

Vektora koordinātes ir viennozīmīgi noteiktas.

T

Tā kā ir lineāri neatkarīgi, tad .

Koordinātu sistēma punktu telpā sastāv no bāzes vektoriem

un koordinātu sākumpunkta O (raksta ).

D

Punkta M koordinātes ir koordinātes rādiusvektoram

bāzē .

D


Bāzes maiņa koordinātu pierakstā

Jaunos bāzes vektorus izsaka ar vecajiem

Tas pats vektors a vecajās

un jaunajās koordinātēs.

Vektora koordinātes bāzē tātad ir gan gan

Koordinātēm abos gadījumos jābūt tām pašām, tādēļ:

Bāzes maiņas formula:


Bāzes maiņa summu pierakstā

Vektors a vecajās un jaunajās

koordinātēs

Atver iekavas, maina

summas vietām un

sagrupē

Bāzes maiņas formula


Bāzes maiņa Einšteina apzīmējumos

Bāzes maiņas formula:


Bāzes maiņa matricu apzīmējumos

Bāzes maiņas formula:

Einšteina apzīmējumi matricās: augšējais indekss ir

rindiņas numurs, apakšējais indekss ir kolonnas numurs.


Masu centrs

Par svērtu punktu sistēmu

D

sauc punktu kopu kam piekārtoti attiecīgi

reāli skaitļi, ko sauc par punktu masām.

Par svērtas punktu sistēmas

masu centru sauc tādu punktu O,

kam

D

Tā kā visas masas var reizināt ar patvaļīgu nenulles skaitli, nemainot

masu centru, turpmāk pieņemsim, ka

Svērtai divu punktu sistēmai

masu centrs atrodas uz taisnes tuvāk tam punktam,

kura masa ir lielāka.

P

Svērtai trīs punktu sistēmai

masu centrs atrodas trijstūra mediānu krustpunktā.

P


Masu centra eksistence un unitāte

T

Katrai punktu sistēmai ar masām eksistē viens vienīgs

masu centrs.

Izvēlamies patvaļīgu punktu P un aplūkojam summu:

Punktu izvēlamies tā, lai

(pieņemot, ka ).

Iegūstam:

Viegli redzēt, arī ka ir vienīgais svērtās sistēmas masu centrs.


Skalārais reizinājums

L ir patvaļīga vektoru telpa. Attēlojumu

kas katriem diviem vektoriem piekārto reālu

skaitli ab sauc par skalāro reizinājumu telpā L, ja

izpildās sekojošas īpašības:

D


Garumi un leņķi

Skalārais reizinājums ļauj ieviest vektoru telpā

leņķus un attālumus.

Vektora garums

Leņķis starp vektoriem un :

D

T

Ja , tā ir aksioma

Ja , iegūstam

Tādēļ

Tādēļ katram vektoram ir

garums, t. i. vienmēr ir definēta.


Košī-Buņakovska nevienādība

T

Aplūkosim reāla argumenta funkciju

Pēc skalārā reizinājuma īpašībām, katram

Tādēļ kvadrāttrinoma diskriminants

No šejienes

Tādēļ ja , tad ir definēts ar

vērtību no [-1,1], t. i. katriem diviem nenulles

vektoriem ir definēts leņķis.


Košī-Buņakovska nevienādības sekas

Trijstūra nevienādība:

T

Otru nevienādību pierāda analoģiski

b

c

a

T

Kosinusu teorēma:

T

Paralelograma identitāte:

b

a+b

Paralelograma diagonāļu kvadrātu summa

vienāda ar malu kvadrātu summu

a-b

a


Vektoru ortogonālās projekcijas

b

Ja , tad

a

ir projekcijas garums (reāls skaitlis).

Atbilstošais projekcijas vektors ir

Ja ir ortonormēta bāze, tad katram

vektoram ,

t. i. koordinātes ir

T


Konstanta rādiusvektora projekcija

Fiksējam vektoru , kam . Tad

apmierina visi vektori , kuru projekcijas

uz ir garumā .

Iegūstam, ka katram punktam uz

taisnes, kas perpendikulāra un atrodas attālumā

no punkta .


Ortonormēta bāze

D

Ja bāzes vektori apmierina

vienādības: ,

tad bāzi sauc par ortonormētu.

Ortonormētā bāzē vektoru un

vektoru skalārais reizinājums ir

T


Grama-Šmita ortogonalizācija

Ikvienu bāzi var pārveidot par

ortonormētu , veicot vektoru darbības

ar .

T

Aplūkosim sekojošu algoritmu:

1. solis . Tad sistēma ir ortonormēta.

k. solis Pieņemsim, ka jau uzkonstruēta ortonormēta

sistēma . Definēsim vektoru , kas

ortogonāls . Ņemam

kur

Definējam


Skalārais reizinājums koordinātēs

Ja ir bāzes vektori, tad matrica

T

ir stingri pozitīvi definēta, t. i.

katram vektoram

Izriet no skalārā reizinājuma aksiomas


Vektoriālā reizinājuma īpašības

T

Sk . īpašību

T

Ja ir ortonormētā bāze ar labo orientāciju , tad

vektorialo reizinājumu tabula

Pirmo reizinātāju izvēlieties no

kreisās kolonnas, otro - no virsējās

rindiņas.


Vektoriālais reizinājums koordinātēs

T

Ja un , tad

Formulu pārbauda , atverot iekavas reizinājumā

un

lietojot bāzes vektoru reizināšanas tabulu.


Jauktā reizinājuma intuīcija

Trim telpas vektoriem piekārtojam reālu skaitli ,

kas vienāds ar paralēlskaldņa tilpumu , kas konstruēts uz vektoriem

un

Ja vektoriem ir labā orientācija

Ja vektoriem ir krejsā orientācija

Ja vektori ir komplanāri.


Jauktā reizinājuma īpašības

T

Sk . īpašību

T

Ja ir ortonormētā bāze ar labo orientāciju, tad


Jauktais reizinājums koordinātēs

Ja tad

T

Ortonormētas koordinātes

ar labo orientāciju.

Izmantojam īpašību kopā ar vektoriālā un skalārā

reizinājuma izteiksmēm koordinātēs.


  • Login