slide1
Download
Skip this Video
Download Presentation
Vandermonde Matrix

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 53

Vandermonde Matrix - PowerPoint PPT Presentation


  • 92 Views
  • Uploaded on

Vandermonde Matrix. จัดทำโดย นางสาว สิริรัตน์ ตุ้นสกุล. รหัสประจำตัว 43040989. เสนอ อาจารย์ พัชรี เลิศวิจิตรศิลป์. อาจารย์ที่ปรึกษา อาจารย์ กรรณิกา คงสาคร. Vandermonde Matrix.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Vandermonde Matrix' - athena-higgins


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide2

จัดทำโดย

นางสาวสิริรัตน์ตุ้นสกุล

รหัสประจำตัว 43040989

เสนอ

อาจารย์ พัชรี เลิศวิจิตรศิลป์

อาจารย์ที่ปรึกษา

อาจารย์กรรณิกาคงสาคร

slide3

VandermondeMatrix

เมื่อเราเรียนพีชคณิตเชิงเส้น (linear algebra) เรามักจะพบเอกลักษณ์ที่เรียกว่า Vandermonde determinant ในรูป

=

slide4

Vandermonde Matrix

ตัวอย่าง

det= (4-2)(4-3)(3-2) = (2)(1)(1) = 2

det = (-1-(-4))(-1-(-3))(-1-(-2))

(-2-(-4))(-2-(-3))(-3-(-4))

= (3)(2)(1)(2)(1)(1) = 12

slide5

ในกรณีทั่วไปนิยามเมทริกซ์ที่เรียกVandermonde matrix เป็น

… (1)

เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกและn 2

…(2)

slide6

พิสูจน์

กรณี n = 2 เห็นได้ชัดเจนว่า

….(3)

สมมติให้

เป็นจริง

เมื่อk เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ

det V (x1,…xk,xk+1)

ต้องการแสดงว่า

เป็นจริง

slide7

พิจารณา

det V (x,…xk,xk+1) = det

…(4)

slide8

เมื่อกระจายตามหลักที่1ค่าของ det V(x,…,xk,xk+1) จะเป็นพหุนามดีกรีk ในx และถ้าแทนx ด้วย

จะเห็นว่าค่าของตัวกำหนด(determinant) เป็นศูนย์

ดังนั้นสามารถเขียนได้ว่า

det V(x,…,xk,xk+1) = A(x-x2) (x-x3)…(x-xk) (x-xk+1)….(5)

slide9

เมื่อ A เป็นค่าคงที่จาก (5) จะเห็นว่า A เป็นสัมประสิทธิ์ของ xk ดังนั้นจาก (4) ได้ว่า

A =

=

det V(x2,…,xk+1)

= (-1)k

สรุปว่า

(x-x2)(x-x3)…(x-xk)(x-xk+1)

detV=

=

slide10

เมื่อแทนxด้วยx1

det V (x1,…xk,xk+1) = (x1-x2) (x1-x3)…(x1-xk) (x1-xk+1)

=

=

โดยหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ได้ว่า (2) เป็นจริงทุกๆ n ที่เป็นสมาชิกของจำนวนเต็มบวกใดๆ

slide11

เรามักจะพบVandermonde matrix ในปัญหาดังต่อไปนี้

1. การสร้างพหุนามค่าสอดแทรก(polynomial interpolation)

2. ปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์(differential equation initial value problem) และ

3. การสร้างลำดับโดยกำหนดจากความสัมพันธ์เวียนบังเกิด (recursively defined sequences)

ในที่นี้จะกล่าวถึงเพียงปัญหาทั้ง3 อย่างที่กล่าวไว้แล้วข้างต้นและบทบาทของVandermonde matrix และเพื่อไม่ให้เกิดความสับสน จะเขียนV แทนV

slide12

1. พหุนามค่าสอดแทรก(Polynomial interpolation)

กำหนดให้พหุนามดีกรีn-1ผ่านจุด(x1, y1), (x2,y2),….,(xn,yn) ต่างกันn จุด

เขียนในรูป

q(x) =….(6)

สัมประสิทธิ์ciหาได้จากระบบสมการ

q(xj) = yj ; j = 1, 2 ,…,n

slide13

เมื่อแทนค่าj = 1, 2,…,n ในพหุนามq(x) จะได้ระบบสมการดังนี้

= y1

= y2

…(7)

.

.

.

.

.

.

= yn

slide14

จากระบบสมการสามารถนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ดังนี้จากระบบสมการสามารถนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ดังนี้

… (8)

=

สังเกตว่า

เมทริกซ์สัมประสิทธิ์จะเป็นตัวสลับเปลี่ยน(transposed) ของVandermonde matrix และตัวกำหนด(determinant) ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของ(7) จะเกี่ยวข้องกับเอกลักษณ์(2) เห็นได้ชัดว่าเมื่อxi ต่างกันหมดตัวกำหนด(determinant) จะไม่เท่ากับศูนย์สัมประสิทธิ์ของq มีเพียงหนึ่งเดียว

slide15

q(x) จะสามารถหาได้โดยการปฏิบัติดังต่อไปนี้

กำหนดให้

Q(x) = det

…(9)

slide16

เมื่อแทนxในหลักสุดท้ายด้วยxiจะได้เมื่อแทนxในหลักสุดท้ายด้วยxiจะได้

Q( xi) = det

slide17

นำหลักสูตรท้ายลบด้วยหลักที่i จะได้ว่าสมาชิกในหลักสุดท้ายเป็น0ยกเว้นสมาชิกตัวสุดท้ายมีค่าเป็น-yi และ

Q( xi) = det

= -yi det V(x1,…,xn)

หรือyi = -….(10)

slide18

สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทุกi = 1, 2, 3…,nและเพราะว่าq(xi) = yi

ดังนั้นจะได้ว่าq(x) =….(11)

ในที่นี้Vandermonde determinant มีความสำคัญอย่างเห็นได้ชัดในการสร้างพหุนามค่าสอดแทรก(polynomial interpolation) ผ่านจุดต่างกันn จุด

slide19

ตัวอย่าง

กำหนดให้พหุนามกำลัง2ที่ผ่านจุด(-3, 4), (0, 1), (2, 9)

คือq(x) =

เมื่อแทนค่า(x1, y1) =(-3,4) , (x2 y2) = (0,1)

และ (x3, y3) = (2,9) ลงในสมการ จะได้

= 4

= 1

= 9

slide20

จากระบบสมการสามารถเขียนในรูปเมทริกซ์ดังนี้จากระบบสมการสามารถเขียนในรูปเมทริกซ์ดังนี้

=

VTC = Y

det V(x1,x2,x3) = det

= (2-(-3)) (0-(-3)) (2-0)

= (5) (3) (2)

= 30

slide21

จาก(9) ; กำหนดให้

Q(x) = det

= -

จะได้Q(x) = -30 + (-60)x -30 x2

จาก(11) ; q(x) =

ดังนั้น q(x) = 1 + 2x + x2

#

slide22

2. ปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์(Differential equation initial value problems)

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์

….(12)

เมื่อa0,a1,…an เป็นค่าคงที่และD แทนการหาอนุพันธุ์เทียบกับt พร้อมด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น

Djy(0) = yj ; j = 0, 1, 2,…,n-1 ….(13)

สมการ(12)มีพหุนามลักษณะเฉพาะ (characteristic polynomial)

slide23

จากสมการ(12)จะมีผลเฉลยyi = ; i = 1, 2,…,n

และเมื่อผลเฉลยทั้งn ผลเฉลยจะเป็นอิสระเชิงเส้นดังนั้นผลรวมเชิงเส้น(linear combinations) ของyi = คือ

y =

เป็นผลเฉลยของ(12)ด้วย

Dy

และ

เมื่อแทนเงื่อนไขเริ่มต้นจาก(13)จะได้ระบบสมการ

= yj ; j = 0,1,2,…,n-1

slide24

ระบบสมการนี้สามารถเขียนใหม่ในรูปเมทริกซ์ได้เป็นระบบสมการนี้สามารถเขียนใหม่ในรูปเมทริกซ์ได้เป็น

=

VC = Y…(14)

เมื่อV =, C = , Y =

ถ้าxiต่างกันผลเฉลยของ(14)มีหนึ่งเดียว

จะเห็นว่าVandermonde matrixมีบทบาทในการหาค่าคงที่Cของผลเฉลยของปัญหา

slide25

ตัวอย่าง

= 0 ; y0= 1,y1 = 9, y2= 17

( D3 - 3D2 – D + 3 )y = 0

พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ

p(D) = D3 - 3D2 – D + 3

= (D + 1)(D – 1)(D – 3)

วิธีทำ

ผลเฉลยคือ

เมื่อแทนเงื่อนไขเริ่มต้น(13)จะได้

= 1

= 9

=17

slide26

จากระบบสมการนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ได้เป็นจากระบบสมการนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ได้เป็น

=

V C =

C =

#

slide27

3.ลำดับที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนบังเกิด3.ลำดับที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนบังเกิด

(Recursively defined sequences)

ให้เป็น n พจน์แรกของลำดับที่มีความสัมพันธ์กันตามสมการ

….(15)

เมื่อ aiไม่ขึ้นกับ k จะเรียกลำดับนี้ว่าrecurrent sequence

ตัวอย่างของลำดับนี้ที่รู้จักกันดีคือ Fibonaci sequence ซึ่งเริ่มจาก 0,1,1,2,3,… และแต่ละพจน์จะเป็นผลรวมของ 2 พจน์ที่อยู่ข้างหน้า

slide28

ในอีกทางหนึ่งเรากำหนดให้ {yj} เป็นลำดับที่มี n + 1 พจน์ซึ่งสอดคล้องกับสมการในรูปแบบข้างต้นเป็น

….(16)

ซึ่ง y0, y1 ,y2, …, yn-1เป็นค่าเริ่มต้นที่กำหนดไว้แน่นอนสมการที่(16)จะเรียกว่าสมการเชิงผลต่าง (difference equations) และสมการนี้เป็นสมการที่สำคัญในการสร้างแบบจำลองปัญหาต่างๆ

slide29

สมการ(16)หาคำตอบได้โดยการให้ yjอยู่ในรูปฟังก์ชันของ j ซึ่งเหมือนกับที่กล่าวมาในสมการเชิงอนุพันธ์

กำหนดตัวดำเนินการ L โดยที่

L {yj} = {yj+1} , j=0,1,2,…

เรียกตัวดำเนินการนี้ว่า ตัวดำเนินการเลื่อน (Shifting Operator) ซึ่งเลื่อนลำดับy0, y1, y2,… ไปทางซ้ายเป็นลำดับ y1, y2, y3,… สมการ(16)เขียนใหม่ได้เป็น

Ln{yj}+ an-1Ln-1{yj}+…+a1L{yj}+a0L{yj}={0}….(17)

slide30

ซึ่งพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือซึ่งพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ

p(L) = Ln+an-1Ln-1+…+ a0

= (L-x1)(L-x2)…(L-xn)

ถ้า x1, x2,…, xnต่างกันหมดผลรวมเชิงเส้นทั้งหมดของลำดับนี้จะเป็นผลเฉลยของสมการ(17)ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของ(17)คือ

slide32

จะได้ระบบสมการที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ได้เป็นจะได้ระบบสมการที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ได้เป็น

เมื่อV = V(x1,…,xn) , C = [c1c2…cn]T ,

Y = [y0y1…yn-1]T

slide33

ตัวอย่าง

พิจารณาสมการผลต่างสืบเนื่อง yn+2 - 5yn+1+ 6 yn = 0 ; y0=9 , y1 = 23

เขียนในรูปตัวดำเนินการ L ได้เป็น (L2 – 5L + 6)yn = 0

พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ

p(L) = L2 + 5L+6

= (L-2)(L-3)

ดังนั้นผลเฉลยคือ yn = c12n + c23n

เมื่อแทนเงื่อนไขเริ่มต้นจะได้

c1 + c2 = 9

2c1 +3c2 = 23

slide34

จากระบบสมการนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ได้เป็นจากระบบสมการนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ได้เป็น

C = V-1Y0

#

เห็นได้ชัดว่า Vandermonde determinant จะครอบคลุมการแก้ของปัญหาต่างๆตามที่กล่าวมา

slide35

แต่ละกรณีข้างต้น Vandermonde matrix เกี่ยวข้องกับปัญหาของการหาค่าสัมประสิทธิ์ของผลรวมเชิงเส้น

ในปัญหาพหุนามค่าสอดแทรกปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์และของสมการเชิงผลต่างสามารถหาสูตรของผลเฉลยที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์ V(x1,…,xn) โดยตรงโดยหลีกเลี่ยงการเกี่ยวข้องกับการใช้ผลรวมเชิงเส้น (linear combinations)

slide36

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์(12)พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์(12)

หรือ

มีพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการ

slide37

เมื่อแปลงเป็นระบบสมการอันดับหนึ่งโดยกำหนดเมื่อแปลงเป็นระบบสมการอันดับหนึ่งโดยกำหนด

slide38

เขียนในรูปเมทริกซ์ได้เป็นเขียนในรูปเมทริกซ์ได้เป็น

….(18)

หรือDY = AY….(19)

เมื่อYเป็นเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยสมาชิก

Aเป็นเมทริกซ์ขนาดn x nซึ่งอยู่ทางขวาของสมการ(18)

slide39

ผลเฉลยของรากบนสมการอันดับหนึ่ง(18)ทำได้โดยหาค่าเจาะจงจากสมการผลเฉลยของรากบนสมการอันดับหนึ่ง(18)ทำได้โดยหาค่าเจาะจงจากสมการ

กระจายตัวกำหนดตามแถวที่ n จะได้สมการ

slide40

สำหรับ หาเวกเตอร์เจาะจงC1จาก

ดังนั้น

slide41

เลือกc1 = 1

จะได้และ

slide44

จัดเป็น

… (20)

เมื่อ=

slide45

เมื่อใช้เงื่อนไขค่าเริ่มต้นDjy(0) = yj ; j = 0,1,2,…,n-1จะแทนด้วย

Y(0) = Y0….(21)

ทำให้ได้ว่า

Y0= VIC = VCหรือC = V-1Y0

สุดท้ายจะได้ผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ(19)และ(21)จะอยู่ในรูป

….(22)

slide46

สังเกตว่า

ถ้า

แล้ว

ดังนั้น….(23)

slide47

ในทำนองเดียวกันจาก(22 )กำหนดเมทริกซ์ exponential

ดังนั้นผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์คือ

….(24)

slide48

ตัวอย่าง

จงหาผลเฉลยของสมการ

วิธีทำ

พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ

ดังนั้น

กำหนดให้ และ

slide50

พิจารณาสมการเชิงผลต่าง(17)พิจารณาสมการเชิงผลต่าง(17)

Ln{yj}+an-1Ln-1{yj}+….+a1L{yj}+a0{yj}= {0}

จะเปลี่ยนรูปเป็นระบบสมการในวิธีทำนองเดียวกันโดยเราจะพิจารณาลำดับของเวกเตอร์{yj}

สมการ(17)จะกลายเป็น

L{Yj} = {AYj}….(25)

เมื่อ A คือเมทริกซ์ที่เคยกล่าวถึง

เมื่อL{Yj} = {Yj+1}แล้วสมการ(25)จะสมมูลกับ

Yj+1 = AYj….(26)

slide51

ในทำนองเดียวกันเมื่อใช้เงื่อนไขค่าเริ่มต้น(0) = 0สุดท้ายผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ(26)จะอยู่ในรูปประยุกต์ใช้(23)ได้ว่าผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงผลต่างคือ

เมื่อ

slide52

ตัวอย่าง

พิจารณาสมการผลต่างสืบเนื่องyn+2 - 5yn+1 + 6 yn = 0 ; y0=9 , y1 = 2

พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ

p(L) = L2 + 5L+6

= (L-2)(L-3)

ดังนั้น

กำหนดให้และ

วิธีทำ

slide53

ผลเฉลยของสมการคือ

นั่นคือyn = และyn+1 =#

ad