Vandermonde   Matrix
Download
1 / 53

Vandermonde Matrix - PowerPoint PPT Presentation


  • 92 Views
  • Uploaded on

Vandermonde Matrix. จัดทำโดย นางสาว สิริรัตน์ ตุ้นสกุล. รหัสประจำตัว 43040989. เสนอ อาจารย์ พัชรี เลิศวิจิตรศิลป์. อาจารย์ที่ปรึกษา อาจารย์ กรรณิกา คงสาคร. Vandermonde Matrix.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Vandermonde Matrix' - athena-higgins


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

จัดทำโดย

นางสาวสิริรัตน์ตุ้นสกุล

รหัสประจำตัว 43040989

เสนอ

อาจารย์ พัชรี เลิศวิจิตรศิลป์

อาจารย์ที่ปรึกษา

อาจารย์กรรณิกาคงสาคร


VandermondeMatrix

เมื่อเราเรียนพีชคณิตเชิงเส้น (linear algebra) เรามักจะพบเอกลักษณ์ที่เรียกว่า Vandermonde determinant ในรูป

=


Vandermonde Matrix

ตัวอย่าง

det= (4-2)(4-3)(3-2) = (2)(1)(1) = 2

det = (-1-(-4))(-1-(-3))(-1-(-2))

(-2-(-4))(-2-(-3))(-3-(-4))

= (3)(2)(1)(2)(1)(1) = 12


ในกรณีทั่วไปนิยามเมทริกซ์ที่เรียกในกรณีทั่วไปนิยามเมทริกซ์ที่เรียกVandermonde matrix เป็น

… (1)

เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกและn 2

…(2)


พิสูจน์ในกรณีทั่วไปนิยามเมทริกซ์ที่เรียก

กรณี n = 2 เห็นได้ชัดเจนว่า

….(3)

สมมติให้

เป็นจริง

เมื่อk เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ

det V (x1,…xk,xk+1)

ต้องการแสดงว่า

เป็นจริง


พิจารณาในกรณีทั่วไปนิยามเมทริกซ์ที่เรียก

det V (x,…xk,xk+1) = det

…(4)


เมื่อกระจายตามหลักที่เมื่อกระจายตามหลักที่1ค่าของ det V(x,…,xk,xk+1) จะเป็นพหุนามดีกรีk ในx และถ้าแทนx ด้วย

จะเห็นว่าค่าของตัวกำหนด(determinant) เป็นศูนย์

ดังนั้นสามารถเขียนได้ว่า

det V(x,…,xk,xk+1) = A(x-x2) (x-x3)…(x-xk) (x-xk+1)….(5)


เมื่อเมื่อกระจายตามหลักที่ A เป็นค่าคงที่จาก (5) จะเห็นว่า A เป็นสัมประสิทธิ์ของ xk ดังนั้นจาก (4) ได้ว่า

A =

=

det V(x2,…,xk+1)

= (-1)k

สรุปว่า

(x-x2)(x-x3)…(x-xk)(x-xk+1)

detV=

=


เมื่อแทนเมื่อกระจายตามหลักที่xด้วยx1

det V (x1,…xk,xk+1) = (x1-x2) (x1-x3)…(x1-xk) (x1-xk+1)

=

=

โดยหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ได้ว่า (2) เป็นจริงทุกๆ n ที่เป็นสมาชิกของจำนวนเต็มบวกใดๆ


เรามักจะพบเมื่อกระจายตามหลักที่Vandermonde matrix ในปัญหาดังต่อไปนี้

1. การสร้างพหุนามค่าสอดแทรก(polynomial interpolation)

2. ปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์(differential equation initial value problem) และ

3. การสร้างลำดับโดยกำหนดจากความสัมพันธ์เวียนบังเกิด (recursively defined sequences)

ในที่นี้จะกล่าวถึงเพียงปัญหาทั้ง3 อย่างที่กล่าวไว้แล้วข้างต้นและบทบาทของVandermonde matrix และเพื่อไม่ให้เกิดความสับสน จะเขียนV แทนV


1. เมื่อกระจายตามหลักที่พหุนามค่าสอดแทรก(Polynomial interpolation)

กำหนดให้พหุนามดีกรีn-1ผ่านจุด(x1, y1), (x2,y2),….,(xn,yn) ต่างกันn จุด

เขียนในรูป

q(x) =….(6)

สัมประสิทธิ์ciหาได้จากระบบสมการ

q(xj) = yj ; j = 1, 2 ,…,n


เมื่อแทนค่าเมื่อกระจายตามหลักที่j = 1, 2,…,n ในพหุนามq(x) จะได้ระบบสมการดังนี้

= y1

= y2

…(7)

.

.

.

.

.

.

= yn


จากระบบสมการเมื่อกระจายตามหลักที่สามารถนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ดังนี้

… (8)

=

สังเกตว่า

เมทริกซ์สัมประสิทธิ์จะเป็นตัวสลับเปลี่ยน(transposed) ของVandermonde matrix และตัวกำหนด(determinant) ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของ(7) จะเกี่ยวข้องกับเอกลักษณ์(2) เห็นได้ชัดว่าเมื่อxi ต่างกันหมดตัวกำหนด(determinant) จะไม่เท่ากับศูนย์สัมประสิทธิ์ของq มีเพียงหนึ่งเดียว


q(x) เมื่อกระจายตามหลักที่จะสามารถหาได้โดยการปฏิบัติดังต่อไปนี้

กำหนดให้

Q(x) = det

…(9)


เมื่อแทนเมื่อกระจายตามหลักที่xในหลักสุดท้ายด้วยxiจะได้

Q( xi) = det


นำหลักสูตรท้ายลบด้วยเมื่อกระจายตามหลักที่หลักที่i จะได้ว่าสมาชิกในหลักสุดท้ายเป็น0ยกเว้นสมาชิกตัวสุดท้ายมีค่าเป็น-yi และ

Q( xi) = det

= -yi det V(x1,…,xn)

หรือyi = -….(10)


สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทุกสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทุกi = 1, 2, 3…,nและเพราะว่าq(xi) = yi

ดังนั้นจะได้ว่าq(x) =….(11)

ในที่นี้Vandermonde determinant มีความสำคัญอย่างเห็นได้ชัดในการสร้างพหุนามค่าสอดแทรก(polynomial interpolation) ผ่านจุดต่างกันn จุด


ตัวอย่างสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทุก

กำหนดให้พหุนามกำลัง2ที่ผ่านจุด(-3, 4), (0, 1), (2, 9)

คือq(x) =

เมื่อแทนค่า(x1, y1) =(-3,4) , (x2 y2) = (0,1)

และ (x3, y3) = (2,9) ลงในสมการ จะได้

= 4

= 1

= 9


จากระบบสมการสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทุกสามารถเขียนในรูปเมทริกซ์ดังนี้

=

VTC = Y

det V(x1,x2,x3) = det

= (2-(-3)) (0-(-3)) (2-0)

= (5) (3) (2)

= 30


จากสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทุก(9) ; กำหนดให้

Q(x) = det

= -

จะได้Q(x) = -30 + (-60)x -30 x2

จาก(11) ; q(x) =

ดังนั้น q(x) = 1 + 2x + x2

#


2. สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทุกปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์(Differential equation initial value problems)

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์

….(12)

เมื่อa0,a1,…an เป็นค่าคงที่และD แทนการหาอนุพันธุ์เทียบกับt พร้อมด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น

Djy(0) = yj ; j = 0, 1, 2,…,n-1 ….(13)

สมการ(12)มีพหุนามลักษณะเฉพาะ (characteristic polynomial)


จากสมการสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทุก(12)จะมีผลเฉลยyi = ; i = 1, 2,…,n

และเมื่อผลเฉลยทั้งn ผลเฉลยจะเป็นอิสระเชิงเส้นดังนั้นผลรวมเชิงเส้น(linear combinations) ของyi = คือ

y =

เป็นผลเฉลยของ(12)ด้วย

Dy

และ

เมื่อแทนเงื่อนไขเริ่มต้นจาก(13)จะได้ระบบสมการ

= yj ; j = 0,1,2,…,n-1


ระบบสมการนี้สามารถเขียนใหม่ระบบสมการนี้สามารถเขียนใหม่ในรูปเมทริกซ์ได้เป็น

=

VC = Y…(14)

เมื่อV =, C = , Y =

ถ้าxiต่างกันผลเฉลยของ(14)มีหนึ่งเดียว

จะเห็นว่าVandermonde matrixมีบทบาทในการหาค่าคงที่Cของผลเฉลยของปัญหา


ตัวอย่างระบบสมการนี้สามารถเขียนใหม่

= 0 ; y0= 1,y1 = 9, y2= 17

( D3 - 3D2 – D + 3 )y = 0

พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ

p(D) = D3 - 3D2 – D + 3

= (D + 1)(D – 1)(D – 3)

วิธีทำ

ผลเฉลยคือ

เมื่อแทนเงื่อนไขเริ่มต้น(13)จะได้

= 1

= 9

=17


จากระบบสมการนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์จากระบบสมการนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ได้เป็น

=

V C =

C =

#


3.จากระบบสมการนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ลำดับที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนบังเกิด

(Recursively defined sequences)

ให้เป็น n พจน์แรกของลำดับที่มีความสัมพันธ์กันตามสมการ

….(15)

เมื่อ aiไม่ขึ้นกับ k จะเรียกลำดับนี้ว่าrecurrent sequence

ตัวอย่างของลำดับนี้ที่รู้จักกันดีคือ Fibonaci sequence ซึ่งเริ่มจาก 0,1,1,2,3,… และแต่ละพจน์จะเป็นผลรวมของ 2 พจน์ที่อยู่ข้างหน้า


ในอีกทางหนึ่งจากระบบสมการนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์เรากำหนดให้ {yj} เป็นลำดับที่มี n + 1 พจน์ซึ่งสอดคล้องกับสมการในรูปแบบข้างต้นเป็น

….(16)

ซึ่ง y0, y1 ,y2, …, yn-1เป็นค่าเริ่มต้นที่กำหนดไว้แน่นอนสมการที่(16)จะเรียกว่าสมการเชิงผลต่าง (difference equations) และสมการนี้เป็นสมการที่สำคัญในการสร้างแบบจำลองปัญหาต่างๆ


สมการจากระบบสมการนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์(16)หาคำตอบได้โดยการให้ yjอยู่ในรูปฟังก์ชันของ j ซึ่งเหมือนกับที่กล่าวมาในสมการเชิงอนุพันธ์

กำหนดตัวดำเนินการ L โดยที่

L {yj} = {yj+1} , j=0,1,2,…

เรียกตัวดำเนินการนี้ว่า ตัวดำเนินการเลื่อน (Shifting Operator) ซึ่งเลื่อนลำดับy0, y1, y2,… ไปทางซ้ายเป็นลำดับ y1, y2, y3,… สมการ(16)เขียนใหม่ได้เป็น

Ln{yj}+ an-1Ln-1{yj}+…+a1L{yj}+a0L{yj}={0}….(17)


ซึ่งพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือซึ่งพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ

p(L) = Ln+an-1Ln-1+…+ a0

= (L-x1)(L-x2)…(L-xn)

ถ้า x1, x2,…, xnต่างกันหมดผลรวมเชิงเส้นทั้งหมดของลำดับนี้จะเป็นผลเฉลยของสมการ(17)ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของ(17)คือ


เมื่อใช้ค่าเริ่มต้นพบว่าสัมประสิทธิ์เมื่อใช้ค่าเริ่มต้นพบว่าสัมประสิทธิ์ cjจะสอดคล้องกับ(14)คือ


จะได้ระบบสมการที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ได้เป็นจะได้ระบบสมการที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ได้เป็น

เมื่อV = V(x1,…,xn) , C = [c1c2…cn]T ,

Y = [y0y1…yn-1]T


ตัวอย่างจะได้ระบบสมการที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ได้เป็น

พิจารณาสมการผลต่างสืบเนื่อง yn+2 - 5yn+1+ 6 yn = 0 ; y0=9 , y1 = 23

เขียนในรูปตัวดำเนินการ L ได้เป็น (L2 – 5L + 6)yn = 0

พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ

p(L) = L2 + 5L+6

= (L-2)(L-3)

ดังนั้นผลเฉลยคือ yn = c12n + c23n

เมื่อแทนเงื่อนไขเริ่มต้นจะได้

c1 + c2 = 9

2c1 +3c2 = 23


จากระบบสมการจะได้ระบบสมการที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ได้เป็นนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ได้เป็น

C = V-1Y0

#

เห็นได้ชัดว่า Vandermonde determinant จะครอบคลุมการแก้ของปัญหาต่างๆตามที่กล่าวมา


แต่ละกรณีข้างต้นจะได้ระบบสมการที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ได้เป็น Vandermonde matrix เกี่ยวข้องกับปัญหาของการหาค่าสัมประสิทธิ์ของผลรวมเชิงเส้น

ในปัญหาพหุนามค่าสอดแทรกปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์และของสมการเชิงผลต่างสามารถหาสูตรของผลเฉลยที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์ V(x1,…,xn) โดยตรงโดยหลีกเลี่ยงการเกี่ยวข้องกับการใช้ผลรวมเชิงเส้น (linear combinations)


พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์(12)

หรือ

มีพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการ


เมื่อแปลงเป็นระบบสมการอันดับหนึ่งโดยเมื่อแปลงเป็นระบบสมการอันดับหนึ่งโดยกำหนด


เขียนในรูปเมทริกซ์เมื่อแปลงเป็นระบบสมการอันดับหนึ่งโดยได้เป็น

….(18)

หรือDY = AY….(19)

เมื่อYเป็นเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยสมาชิก

Aเป็นเมทริกซ์ขนาดn x nซึ่งอยู่ทางขวาของสมการ(18)


ผลเฉลยของรากบนสมการอันดับหนึ่งผลเฉลยของรากบนสมการอันดับหนึ่ง(18)ทำได้โดยหาค่าเจาะจงจากสมการ

กระจายตัวกำหนดตามแถวที่ n จะได้สมการ


สำหรับผลเฉลยของรากบนสมการอันดับหนึ่ง หาเวกเตอร์เจาะจงC1จาก

ดังนั้น


เลือกผลเฉลยของรากบนสมการอันดับหนึ่งc1 = 1

จะได้และ


ทำนองเดียวกันผลเฉลยของรากบนสมการอันดับหนึ่ง


ผลเฉลยทั่วไปผลเฉลยของรากบนสมการอันดับหนึ่งคือ


จัดเป็นผลเฉลยของรากบนสมการอันดับหนึ่ง

… (20)

เมื่อ=


เมื่อใช้เงื่อนไขค่าเริ่มต้นเมื่อใช้เงื่อนไขค่าเริ่มต้นDjy(0) = yj ; j = 0,1,2,…,n-1จะแทนด้วย

Y(0) = Y0….(21)

ทำให้ได้ว่า

Y0= VIC = VCหรือC = V-1Y0

สุดท้ายจะได้ผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ(19)และ(21)จะอยู่ในรูป

….(22)


สังเกตว่าเมื่อใช้เงื่อนไขค่าเริ่มต้น

ถ้า

แล้ว

ดังนั้น….(23)


ในทำนองเดียวกันเมื่อใช้เงื่อนไขค่าเริ่มต้นจาก(22 )กำหนดเมทริกซ์ exponential

ดังนั้นผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์คือ

….(24)


ตัวอย่างเมื่อใช้เงื่อนไขค่าเริ่มต้น

จงหาผลเฉลยของสมการ

วิธีทำ

พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ

ดังนั้น

กำหนดให้ และ


ผลเฉลยของสมการคือเมื่อใช้เงื่อนไขค่าเริ่มต้น

นั่นคือ และ #


พิจารณาสมการเชิงผลต่างพิจารณาสมการเชิงผลต่าง(17)

Ln{yj}+an-1Ln-1{yj}+….+a1L{yj}+a0{yj}= {0}

จะเปลี่ยนรูปเป็นระบบสมการในวิธีทำนองเดียวกันโดยเราจะพิจารณาลำดับของเวกเตอร์{yj}

สมการ(17)จะกลายเป็น

L{Yj} = {AYj}….(25)

เมื่อ A คือเมทริกซ์ที่เคยกล่าวถึง

เมื่อL{Yj} = {Yj+1}แล้วสมการ(25)จะสมมูลกับ

Yj+1 = AYj….(26)


ในทำนองเดียวกันพิจารณาสมการเชิงผลต่างเมื่อใช้เงื่อนไขค่าเริ่มต้น(0) = 0สุดท้ายผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ(26)จะอยู่ในรูปประยุกต์ใช้(23)ได้ว่าผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงผลต่างคือ

เมื่อ


ตัวอย่างพิจารณาสมการเชิงผลต่าง

พิจารณาสมการผลต่างสืบเนื่องyn+2 - 5yn+1 + 6 yn = 0 ; y0=9 , y1 = 2

พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ

p(L) = L2 + 5L+6

= (L-2)(L-3)

ดังนั้น

กำหนดให้และ

วิธีทำ


ผลเฉลยของสมการคือพิจารณาสมการเชิงผลต่าง

นั่นคือyn = และyn+1 =#


ad