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流形学习问题

流形学习问题. 杨 剑 中国科学院自动化研究所 2004 年 12 月 29 日. 维数约简. 增加特征数. 提高准确性. 增加信息量. 增加训练分类器的难度. 维数灾难. 解决办法：选取尽可能多的 , 可能有用的特征 , 然后根据需要进行特征约简. 特征约简. 依据某一标准选择性质最突出的特征. 特征选择. 特征约简. 经已有特征的某种变换获取约简特征. 特征抽取. 试验数据分析，数据可视化（通常为 2 维或 3 维）等也需要维数约简. Outline. 线性维数约简方法 流形和维数约简 . 流形学习的一些数学基础 .

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流形学习问题

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  1. 中国科学院自动化研究所 流形学习问题 杨 剑 中国科学院自动化研究所 2004年12月29日

  2. 中国科学院自动化研究所 维数约简 增加特征数 提高准确性 增加信息量 增加训练分类器的难度 维数灾难 解决办法：选取尽可能多的, 可能有用的特征, 然后根据需要进行特征约简.

  3. 特征约简 中国科学院自动化研究所 依据某一标准选择性质最突出的特征 特征选择 特征约简 经已有特征的某种变换获取约简特征 特征抽取 试验数据分析，数据可视化（通常为2维或3维）等也需要维数约简

  4. 中国科学院自动化研究所 Outline • 线性维数约简方法 • 流形和维数约简. • 流形学习的一些数学基础. • 几种流形学习算法简介：LLE, Isomap, Laplacian Eigenmap. • 流形学习问题的简单探讨.

  5. 中国科学院自动化研究所 • 线性约简方法 • 通过特征的线性组合来降维. • 本质上是把数据投影到低维线性子空间. • 线性方法相对比较简单且容易计算. • 两种经典且广泛使用的线性变换的方法: • 主成分分析 (PCA); • 多重判别分析 (MDA).

  6. Principal component 中国科学院自动化研究所 主成分分析 ( PCA ) • PCA的目的：寻找能够表示采样数据的最好的投影子空间. • PCA的求解：对样本的散布矩阵进行特征值分解, 所求子空间为过样本均值, 以最大特征值所对应的特征向量为方向的子空间.

  7. 中国科学院自动化研究所 主成分分析 • PCA对于椭球状分布的样本集有很好的效果, 学习所得的主方向就是椭球的主轴方向. • PCA 是一种非监督的算法, 能找到很好地代表所有样本的方向, 但这个方向对于分类未必是最有利的.

  8. 中国科学院自动化研究所 线性判别分析(LDA)1 • LDA是一种监督的维数约简方法. • LDA的思想: 寻找最能把两类样本分开的投影直线. • LDA的目标: 使投影后两类样本的均值之差与投影样本的总类散布的比值最大 . Best projection direction for classification

  9. 中国科学院自动化研究所 线性判别分析(LDA)2 • LDA的求解: 经过推导把原问题转化为关于样本集总 类内散布矩阵和总类间散布矩阵的广义特征值问题.

  10. 中国科学院自动化研究所 多重判别分析 (MDA) • MDA把LDA推广到多类的情况. • 对于c-类问题, MDA把样本投影到 c-1 维子空间. • 目标和解法与LDA相似,只是类内散布矩阵的定义 更为复杂, 求解的广义特征值问题也更为复杂.

  11. 中国科学院自动化研究所 线性方法的缺点 • 线性方法对于很多数据不能进行有效的处理. • 现实中数据的有用特性往往不是特征的线性组合. R

  12. 中国科学院自动化研究所 流形学习和维数约简 • 流形是线性子空间的一种非线性推广. • 流形是一个局部可坐标化的拓扑空间. • 流形学习是一种非线性的维数约简方法.

  13. 中国科学院自动化研究所 流形学习的可行性 1 许多高维采样数据都是由少数几个隐含变量所决定的, 如人脸采样由光线亮度, 人离相机的距离, 人的头部姿势, 人的脸部肌肉等因素决定. 2 从认知心理学的角度, 心理学家认为人的认知过程是基于认知流形和拓扑连续性的. R

  14. 中国科学院自动化研究所 流形学习的一些数学基础 • 参考文献: • 陈省身, 陈维桓, 微分几何讲义. 北京大学出版社, 1983 • M Berger, B Gostiaux. Differential Geometry: Manifolds, Curves and Surfaces, GTM115. Springer-Verlag, 1974 • 陈维桓, 微分流形初步(第二版). 高等教育出版社, 2001

  15. 中国科学院自动化研究所 拓扑 • 集合 上的拓扑 是 的满足以下性质的子集族: • 对属于它的任意多元素的并集是封闭的; • (ii) 对属于它的有限多元素的交集是封闭的; • 且 , • 称 是一个拓扑空间.

  16. 中国科学院自动化研究所 Hausdorff 空间 如果对空间 中的任意两点 存在 和 使得 称 是一个Hausdorff 拓扑空间.

  17. 中国科学院自动化研究所 流形的定义 设 M 是一个Hausdorff 拓扑空间, 若对每一点 都有 P 的一个开领域 U和 的一个开子集同胚, 则称 M 为 n 维拓扑流形, 简称为 n 维流形.

  18. M z x: coordinate for z R2 x2 x x1 中国科学院自动化研究所 坐标卡 假定 是同胚, 其中 是 中的开集, 则称 为流形 M 的一个坐标卡, 并且把 在 中的坐标 称为点 的坐标, 流形在本质上是局部可坐标化的拓扑空间.

  19. 中国科学院自动化研究所 相关 设 是 n 维流形 M 的两个坐标卡. 若当 时, 和它的逆映射都是 次可微的, 则称 是 相关的.

  20. 中国科学院自动化研究所 微分结构 • 设 M 是 n 维流形, 假定 是 M 上 • 坐标卡的一个子集合, 且满足以下条件: • 构成 M 的一个开覆盖; • (2) 属于 的任意两个坐标卡都是 相关的; • 是极大的, • 则称 是 M 上的一个 微分结构.

  21. 中国科学院自动化研究所 微分流形 设 M 是 n 维流形, 若在 M 上指定了一个 微分结构 , 则称 为一个 n 维 微分流形. 属于 的坐标卡 称为该微分流形的容许坐标卡. 当 时, 称 M 为光滑流形.

  22. 中国科学院自动化研究所 光滑函数 设 是定义在光滑流形 M 上的连续函数. 若在点 , 存在 M 的一个容许坐标卡 使得 , 是在点 处光滑的函数, 则称函数 在点 处是光滑的.

  23. 中国科学院自动化研究所 光滑映射 设 M, N 分别是 m 维, n 维光滑流形, 是连续映 射. 设 , 若存在 M 在点 x 处的容许坐标卡 及 N 在点 处的容许坐标卡 , 使得 是在点 处光滑的映射, 则称映射 在点 处是光滑 的. 处处光滑的映射称为光滑映射.

  24. 中国科学院自动化研究所 切向量 • 光滑流形M在点 x 的切向量 是一个满足下列条件的映 • 射 • 有 • 有 • 有 • 光滑流形的切向量是曲线的切向量的一种推广.

  25. 中国科学院自动化研究所 切空间 设 M 是 m 维光滑流形, 用 表示 M 在点 处的全体切向量的集合, 则在 中有自然的线性结 构, 使得 成为 m 维向量空间, 称其为 M 在点 的切空间.

  26. 中国科学院自动化研究所 Riemann 流形 黎曼流形就是以光滑的方式在每一点的切空间上指 定了欧氏内积的微分流形. R

  27. 中国科学院自动化研究所 与流形学习有关的参考文献 • 与机器学习, 统计学等相关的各种杂志和会议论文 • http://www.cse.msu.edu/~lawhiu/manifold/

  28. 中国科学院自动化研究所 流形学习问题 设 是一个低维流形, 是一个光滑嵌入, 其中 D>d . 数据集 是随机生成的, 且经过 f 映射为观 察空间的数据 流形学习就是在给定观察样本 集 的条件下重构f和 . V. de Silva and J. B. Tenenbaum. Global versus local methods in nonlinear dimensionality reduction . Neural Information Processing Systems 15 (NIPS'2002), pp. 705-712, 2003.

  29. 中国科学院自动化研究所 几种流形学习算法 • 局部线性嵌入(LLE). • S. T. Roweis and L. K. Saul. Nonlinear dimensionality reduction by locally linear embedding. Science, vol. 290, pp. 2323--2326, 2000. • 等距映射(Isomap). • J.B. Tenenbaum, V. de Silva, and J. C. Langford. A global geometric framework for nonlinear dimensionality reduction. Science, vol. 290, pp. 2319--2323, 2000. • 拉普拉斯特征映射(Laplacian Eigenmap). • M. Belkin, P. Niyogi, Laplacian Eigenmaps for Dimensionality Reduction and Data Representation. Neural Computation,Vol. 15, Issue 6, pp. 1373 –1396,2003 .

  30. 中国科学院自动化研究所 局部线性嵌入(LLE) • 前提假设：采样数据所在的低维流形在局部是线性的,即每个采样点可以用它的近邻点线性表示. • 学习目标：在低维空间中保持每个邻域中的权值不变, 即假设嵌入映射在局部是线性的条件下, 最小化重构误差. • 求解方法：特征值分解.

  31. 中国科学院自动化研究所 LLE算法 1 计算每一个点 的近邻点, 一般采用K 近邻或者 邻域. 2 计算权值 使得把 用它的K个近邻点线性表示 的误差最小, 即通过最小化 来求出 . 3 保持权值 不变, 求 在低维空间的象 , 使 得低维重构误差最小.

  32. 中国科学院自动化研究所 LLE算法示意图

  33. 中国科学院自动化研究所 LLE算法的求解 1 计算每一个点 的近邻点. 2 对于点 和它的近邻点的权值 , 3 令 , 低维嵌入 是 M 的最小的第 2到第 d＋1 个特征向量.

  34. 中国科学院自动化研究所 LLE算法的例子(1)

  35. 中国科学院自动化研究所 LLE算法的例子(2)

  36. 中国科学院自动化研究所 LLE算法的优点 • LLE算法可以学习任意维的局部线性的低维流形. • LLE算法中的待定参数很少, K 和 d. • LLE算法中每个点的近邻权值在平移, 旋转,伸缩变换下是保持不变的. • LLE算法有解析的整体最优解,不需迭代. • LLE算法归结为稀疏矩阵特征值计算, 计算复杂度相对较小, 容易执行.

  37. 中国科学院自动化研究所 LLE算法的缺点 • LLE算法要求所学习的流形只能是不闭合的且在局部是线性的. • LLE算法要求样本在流形上是稠密采样的. • LLE算法中的参数 K, d 有过多的选择. • LLE算法对样本中的噪音很敏感. R

  38. 中国科学院自动化研究所 多维尺度变换 (MDS) • MDS 是一种非监督的维数约简方法. • MDS的基本思想: 约简后低维空间中任意两点间的距离 应该与它们在原高维空间中的距离相同. • MDS的求解: 通过适当定义准则函数来体现在低维空间 中对高维距离的重建误差, 对准则函数用梯度下降法求解, 对于某些特殊的距离可以推导出解析解法.

  39. 中国科学院自动化研究所 MDS的准则函数

  40. 中国科学院自动化研究所 MDS的示意图

  41. 中国科学院自动化研究所 MDS的失效

  42. 中国科学院自动化研究所 等距映射(Isomap)的基本思想 建立在多维尺度变换(MDS)的基础上, 力求保持数据 点的内在几何性质, 即保持两点间的测地距离.

  43. 中国科学院自动化研究所 Isomap的前提假设 1 高维数据所在的低维流形与欧氏空间的一个子集是整 体等距的. 2 与数据所在的流形等距的欧氏空间的子集是一个凸集.

  44. 中国科学院自动化研究所 Isomap算法的核心 估计两点间的测地距离: 1 离得很近的点间的测地距离用欧氏距离代替. 2 离得较远的点间的测地距离用最短路径来逼近.

  45. 中国科学院自动化研究所 测地距离估计

  46. 中国科学院自动化研究所 Isomap算法 1 计算每个点的近邻点 (用K近邻或 邻域). 2 在样本集上定义一个赋权无向图 如果 和 互为近邻点, 则边的权值为 3 计算图中两点间的最短距离, 记所得的距离矩阵为 . 4 用MDS求低维嵌入流形 , 令 低维嵌入是 的第2小到第 d＋1小的特征值所对应的特征向量.

  47. 中国科学院自动化研究所 图距离逼近测地距离 M. Bernstein, V. Silva, J.C. Langford, J.B. Tenenbaum 证明了如下的渐进收敛定理. 假设采样点是随机均匀抽取的, 则 渐进收敛定理 给定则只要样本集充分大且适当选择K , 不等式 至少以概率 成立.

  48. 中国科学院自动化研究所 Isomap 算法的例子(1)

  49. 中国科学院自动化研究所 Isomap 算法的例子(2)

  50. 中国科学院自动化研究所 Isomap算法的特点 • Isomap是非线性的, 适用于学习内部平坦的低维流形, 不适于学习有较大内在曲率的流形 . • Isomap算法中有两个待定参数K, d . • Isomap算法计算图上两点间的最短距离, 执行起来比 较慢 . R

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