RA ČUN PREDIKATA I REDA

1. RAČUN PREDIKATA I REDA • O potrebi predstavljanja znanja u sistemima VI • Račun predikata I reda • Sintaksa • Semantika • Pravila zaključivanja, teoreme i dokazi • Unifikacija • Rezolucija • Primena rezolucije • O logičkim osnovama indukcije

2. O POTREBI PREDSTAVLJANJA ZNANJA U SISTEMIMA VI • Jedna od bitnih odrednica inteligentnog ponašanja uz zaključivanje (ili rezonovanje) je i znanje. • Znanje je najčešće deskriptivno i zato se najadekvatnije predstavlja u deklarativnoj formi, kroz niz deklaracija (izjava) o svetu koji nas okružuje. • U formalizaciji znanja datog u deskriptivnoj formi prvi korak je konceptualizacija. • Konceptualizacija daje opis osnovnih objekata i njihove relevantne medjusobne odnose. • Pojam objekat se mora shvatiti u najširem smislu, od konkretnih (knjiga, učionica), pa do apstraktnih i fiktivnih (pravda, skup celih brojeva, biće, Homer Simpson)

3. Objekat može biti bilo šta o čemu (želimo da) znamo ili sopštimo nešto. • Formalizacija i reprezentacija znanja ne zahteva da razmatramo sve moguće objekte, već samo one koji su za nas relevantni. Skup objekata od interesa o kojima se izražava neko znanje se naziva domen razmatranja. • Primer blokovski svet skup objekata = {a,b,c,d,e} a b d c e

4. Drugi element konceptualizacije je opis medjuzavisnosti u skupu razmatranih objekata. Uobičajeno je da se one opisuju funkcijama i relacijama. • Primer za funkciju : funkcija d koja dodeljuje svakom objektu iz domena samo jedan objekat koji ga dodiruje {(a,b),(b,c),(c,b),(d,e),(e,d)} • Relacija je mnogo generalniji oblik medjuzavisnosti. • Primer za relaciju: relacija iznad {(a,b),(b,c),(a,c),(d,e)}. • Funkcija je specijalan tip relacije u kojoj je svakom elementu domena korespondiran tačno jedan element. • Relacija nad n objekata (n >1) se zadaje skupom uredjenih n – torki.

5. Unarna relacija odgovara pojmu atributa. Dakle objekti domena imaju atribute – svojstva. • Formalno, konceptualizacija se definiše kao trojka koja se sastoji od objekata, skupa funkcija i relacija. • Za primer blokovskog sveta, jedna koceptualizacija je data sa [{a,b,s,d,e}, {d},{na,iznad}]. • Kada je jedna konceptualizacija bolja od druge? • Svaka konceptualizacija je podložna promeni i menjajući je mi se odlučujemo za onu koja će najbolje poslužiti našim namerama i potrebama.

6. RAČUN PREDIKATA • Znanja se izražavaju posebnim tipom rečenica koje imaju neki smisao i koje se pod odredjenim uslovima nazivaju sudovima i predikatima. • Sud ili iskaz je afirmativna (izjavna) rečenica koja ima smisao i koja je ili istinita ili neistinita. • Predikat je afirmativna rečenica koja ima smisla, koja sadrži jedan ili više promenljivih parametara i koja postaje sud kada parametri iz rečenice dobiju konkretne vrednosti. • Broj parametara koji se pojavljuju u predikatu naziva se dužina (arnost) predikata • Primer: Q(x,y), R(x 1,x 2,x 3,...,x n).

7. SINTAKSA RAČUNA PREDIKATA • Komponente: • Postoje dva tipa simbola: • promenljive i konstante • konstante se dele na funkcijske, relacijske i objektne, koje se koriste za označavanje funkcija, relacija i objekata iz datog domena. • Predikat dužine n na skupu D je svaka n-arna relacija skupa D. • Termi: • Svaka promenljiva i konstanta se naziva term. • Ako su t1,t2, ..., tn termi i p funkcijska konstanta, tada je i niz simbola p (t1,t2, ..., tn) term. • Termi se dobijaju samo na osnovu konačno mnogo puta primenjenih pravila 1 i 2 ove definicije.

8. formule • Ako su t1,t2, ..., tn termi i r relacijska konstanta, onda je niz simbola r(t1,t2, ..., tn ) elementarna formula (atom). • Pod logičkim formulama podrazumevaćemo formule koje se formiraju kombinacijom elementarnih formula sa nekim od logičkih simbola • Definicija logičkih formula • Svaka elementarna formula je logička formula. • Ako su s i r logičke formule, onda je i svaki od nizova simbola logička formula i naziva se redom negacija, konjukcija, disjunkcija, implikacija i ekvivalencija. • Logičke formule se dobijaju samo pomoću konačno mnogo primena pravila 1. i 2. ove definicije.

9. I(.)- Istinosna vrednost ({1,0}, {T,F}) I(f * g)=I(f)*I(g) I(~f)=~I(f)

10. KVANTIFIKOVANJE • Kvantifikovane formule (rečenice), omogućavaju da se govori o svim objektima iz domena razmatranja ili da se ustanove osobine individualnih objekata bez njihovog eksplicitnog navodjenja. • Univerzalno kvantifikovanje- , • Rečenica kvantifikovana na ovaj način je istinita bez obzira kojim objektima iz domena je instancirana (konkretizovana) promenljiva x.

11. Egzistencijalno kvantifikovanje • Postoji barem jedan objekat iz domena razmatranja za koje važi g(x) • Primeri: • Kvantifikovana rečenica (formula) je rečenica u kojoj je prisutan ili egzistencijalni ili univerzalni kvantifikator. • Primer

12. Prvom rečenicom se saopštava da svaka osoba nekog voli, dok druga tvrdi da postoji osoba koju svi vole. • Budući da kvantifikovanju ne podležu funkcijske i relacijske konstante – ovaj račun se naziva kvantifikatorski račun prvog reda. • Sva pojavljivanja neke promenljive mogu biti • slobodna • vezana • Pojavljivanje promenljive x je vezano ako je ono locirano iza kvantifikatora ili ako se nalazi u zoni dejstva nekog kvantifikatora • Sva pojavljivanja promenljive x koja nisu vezana, nazivamo slobodnim pojavljivanjem.

13. Primer • Prvo i drugo pojavljivanje promenljive x i drugo i treće pojavljivanje promenljive z su vezane promenljive. Ostala pojavljivanja promenljivih su slobodna. • Formula u kojoj su sve promenljive vezane naziva se zatvorena formula • Formula u kojoj nema ni slobodnih ni vezanih promenljivih naziva se osnovna formula (ground). • Vezana promenljiva se u svim svojim pojavljivanjima može zameniti simbolom neke druge promenljive koja se ne pojavljuje u formuli. Pri tome se značenje formule ne menja. • Primer • Obe formule imaju isto značenje.

14. KORISNE EKVIVALENCIJE

15. LOGIČKE EKVIVALENCIJE

16. SEMANTIKA RAČUNA PREDIKATA • Neformalno, semantika je posebno preslikavanje izmedju elemenata konceptualizacije i simbola prirodnog jezika. • Istinitost neke rečenice zavisi od njene interpretacije, koja je odredjena ako je navedeno značenje njenih konstanti,funkcijskih i relacijskih simbola u odnosu na domen razmatranja, odnosno interpretaciju. • Interpretacija rečenice p, označava se sa I(p). • Ako je neka pravilno definisana formula (pdf), tačna pri barem jednoj interpretaciji I i za neku vrednost promenljivih U, naziva se ispunljiva ili zadovoljiva. • Ta interpretacija se naziva model pdf.

17. Činjenica da je rečenica f zadovoljiva za I i U se zapisuje sa i kaže se da je pdf f tačna u odnosu na interpretaciju I i vrednost promenljivih U. • Pdf koja je netačna pri svim interpretacijama je neispunljiva (kontradiktorna, nezadovoljiva). • Pdf je valjana ako je istinita za sve moguće interpretacije i vrednosti promenljivih. • Primer

18. Zadovoljivost logičkih rečenica zavisi od logičkog operatora i zadovoljivosti komponentnih rešenica. • Navedene definicije zadovoljivosti, modela i nezadovoljivosti mogu se proširiti i na skup rečenica.U slučaju da je skup rečenica nezadovoljiv ravnopravno se koristi i termin nekonzistentan. • Rezimirajmo osnovne ideje reprezentacije znanja u računarima: • 1.korak: konceptualizacija domena razmatranja • 2.korak: definišu se simboli za konstante, kao i funkacijske i relacijske konstante • 3.korak: “oživljavanje” definisanih konstanti preslikavanjem u elemente, funkcije i relacije uvedene konceptualizacije • 4.korak: formalizacija deklarativnog znanja pisanjem rečenica koristeći definisane konstante i sintaksu jezika predikata.

19. ZAKLJUČIVANJE • Zaključivanje je proces izvodjenja zaključaka na osnovu premisa. • Sposobnost da se izvedu zaključci je esencijalni deo inteligencije. • Zaključivanje je proces koji se izvodi u više koraka. • Svaki korak u zaključivanju je karakterisan nekim pravilom zaključivanja. • Pravilo zaključivanja se sastoji od • skupa rečenica koji se naziva uslovi • drugog skupa rečenica koji se naziva zaključci • Modus ponenes

20. Modus tolens • Pravilo i eliminacije • Pravilo i formiranja

21. Univerzalno instanciranje Term t slobodan za promenljivu x u f. Omogućava zaključivanje od opšteg ka posebnom. Primer • Pravilo egzistencijalnog instanciranja Omogućava eliminaciju egzistencijalnog kvantifikatora. Term s je nova funkcijska konstanta, a y1,y2,...,yk slobodne promenljive u rečenici f. Primer

22. Primer Kao ilustracija koncepta razmotrimo sledeći primer. Zna se da su konji brži od pasa i da postoji hrt koji je brži od svakog zeca. Zna se da je Soko konj, a Ralf zec. Izvesti da je Soko brži od Ralfa. Premise Zaključak

23. Prvo se formalizuju premise. • Primetimo da su dodate dve činjenice koje nisu eksplicitno sadržane u formulaciji problema: • Da su hrtovi psi • Da je relacija Brži tranzitivna • Izvodjenje zaključka obavićemo nizom od 19 rečenica.

24. 1. Premise 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 2,EI 7,E 7,E

25. 9,UI 10,6, MP 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 3, UI 12,8 MP 1,UI 15,13,IF 14,15, MP

26. 4,UI 16,11,IF 17. 18. 19. • Proces izvodjenja je u potpunosti mehanički. • Svaki zaključak sledi iz prethodnih zaključaka mehaničkom primenom nekog pravila zaključivanja. • U toku ovog procesa se odbacuju mnoga alternativna rešenja. • Selekcija alternativa koja vode ka rešenju su glavni problem automatizacije procesa zaključivanja. 17,19,MP

27. SEMANTIČKA POSLEDICA • Skup rečenica G logički implicira rečenicu f (rečenica f je semantička posledica skupa G) ako i samo ako pri svakoj interpretaciji i vrednosti promenljivih za koju su sve rečenice skupa G tačne je i rečenica f tačna. • Procedura (pravilo) zaključivanja je valjana– logična(sound) ako i samo ako je svaka rečenica izvedena ovom procedurom iz KB ujedno i njena semantička posledica. • Procedura zaključivanja je kompletna (potpuna) ako i samo ako se svaka rečenica koja je semantička posledica KB može dobiti primenom ove procedure zaključivanja.

28. Teorija je skup rečenica zatvoren u odnosu na semantičke posledice. • Teorija T je kompletna (potpuna) ako i samo ako svaka rečenica ili njena negacija pripada T. Primeri: • {P} |= P • {P, P Q} |= Q • P Q |= P • Značaj logičkog impliciranja u VI leži u tome što na osnovu ovog principa, na osnovu nekog skupa tačnih stavova, možemo generisati neke druge tačne stavove od interesa, koji nisu direktno dostupni u skupu polaznih stavova.

29. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x M (a ) x x x x x x x • Baza znanja (nowledge base) KB • M(KB) - skup svih modela za KB • M(a) - skup svih modela zaa M(KB) α logički sledi iz KB

30. DOKAZIVOST • Problem provere za neku rečenicu da li je semantička posledica zadatog skupa premisa, je u nužnosti provere za sve moguće interpretacije, što praktično znači beskonačan broj mogućih interpretacija. • Prema jednoj teoremi matematičke logike, kad god je f semantička posledica skupa premisa G, postoji konačan dokaz za rečenicu f, koji počinje rečenicama iz G. • Ukoliko su pravila zaključivanja logična i kompletna, možemo principijelno odrediti da li neka pdf sledi iz nekog zadatog skupa, iznalaženjem dokaza, umesto korišćenja tablica istinosnih vrednosti.

31. Ukoliko je neko pravilo zaključivanja logično i ukoliko nadjemo dokaz da f sledi iz G na osnovu primene ovog pravila, istovremeno znamo da f logički sledi iz G. • Ukoliko je neko pravilo zaključivanja kompletno, znamo da ćemo biti u stanju da potvrdimo da f sledi iz G (ukoliko je to zaista tako) koristeći kompletnu pretragu svih mogućih dokaza. • Zamena metode tablica istinosnih vrednosti metodom dokaza, po pravilu daje veliku računarsku uštedu. • U opštem slučaju problem da li neka pdf logički sledi iz zadatog skupa pdf, ili se može dokazati na osnovu tog skupa pdf, predstavlja NP težak problem.

32. Logički aksiom je rečenica koja je tačna za sve interpretacije (valjana formula). • Proširivanjem polaznih premisa sa logičkim aksiomima omogućava odbacivanje svih pravila zaključivanja i zadržavanje samo modus ponensa, kao logičnog pravila zaključivanja. • Ako postoji dokaz rečenice f iz premisa G, pri čemu se koriste samo modus ponens i logičke aksiome, tada se kaže da je rečenica f dokaziva iz G ili da je teorema skupa G, u oznaci G |─ f • Ekvivalentnost dokazivosti i logičke posledice prvi je dokazao Gödel 1930. godine i može se zapisati sa