初中一年级数学
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初中一年级数学. 第一节 走进奇妙的数学世界. 洛阳市英才培训中心 www.lyyc.tv. 例题求解 :. 27. 351. 153. 153. 例 1 · 探究数字“黑洞”:“黑洞”原指非常奇怪的天体,它体积小,密度大,吸引力强,任何物体到了它那里都别想再“爬”出来,无独有偶,数字中也有类似的“黑洞”,满足某种条件的所有数,通过一种运算,都能被它吸进去,无一能逃脱它的魔掌,

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Presentation Transcript

初中一年级数学

第一节

走进奇妙的数学世界

洛阳市英才培训中心

www.lyyc.tv


例题求解:

27

351

153

153

例1·探究数字“黑洞”:“黑洞”原指非常奇怪的天体,它体积小,密度大,吸引力强,任何物体到了它那里都别想再“爬”出来,无独有偶,数字中也有类似的“黑洞”,满足某种条件的所有数,通过一种运算,都能被它吸进去,无一能逃脱它的魔掌,

如:任意找一个3的倍数的数(非零),先把这个数的每一个数位上的数字都立方,再相加,得到一个新数,后把这个新数的每一个数位上的数字再立方,求和……,重算下去,就能得到一个固定的数T=____,我们称之为“黑洞”。

解:

既然任意一个3的倍数都会掉进这个黑洞,所以可以任找一个3的倍数验证。

3

所以 T=153


2 A、B、C、D、E、F六个足球队进行单循环比赛,当比赛到某一天时,统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球, 则还没有与B队比赛的球队是( )

A

A B C D E F

B

F

5 4 3 2 1

E

C

D

A、C队 B、D队 C、E队 D、F队

解:

所以,没有和B队比赛的

球队是E队


3 用大小相同的正六变形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场,中间的正六边形瓷砖记为A,定义为第一组;在它的周围铺上6块同样大小的正六边形瓷砖,定义为第二组;在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满,定义为第三组………按这种方式铺下去,用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满多少组?还剩几块砖?

A

1

解:

第一组:

=6×1

6

第二组:

第三组:

12

=6×2

第四组:

18

=6×3

第n组:

6×(n-1)

1+6×1+6×2+…+6×(n-1) ≤2005

经验证:n=26

剩的块数:2005-(1+6×1+6×2+…+6×25)=54(块)


4.表二、表三分别是从表一中选取的一部分,求a+b的值。(中考)

表一

表二

表三

0

1

2

3

11

11

13

1

3

5

7

14

17

b

2

5

8

11

a

3

7

11

15

1

2

3

4

第二行增二

第三行增三

应为第三列的数所以

所以b=20

解:

a+b=17+20=37

a=17


5 在文字算式中,不同的文字代表不同的数字,相同的文字代表相同的数字,那么在“时代数学+时代数学+…+时代数学=好好好好好好”这样的式子中,最少需要几个“时代数学”才能使算式成立呢?

时 代 数 学

可以是多位数

× A

好 好 好 好 好 好

六位数最小,四位数最大

解:

问题实质:

把一个各位数字相同的六位数拆为一个四位数乘以另外

一个数,并且四位数的各个数字都不相同。

最少需要几个“时代数学”

111111=3×7×11×13×37

=11×10101 不行

=13×8547 可以

所以至少需要13个“时代数学”


基础夯实:

a

b

c

d

e

2

4

6

5

7

8

10

6

11

13

1·在五环图案内,分别填写五个数a.b.c.d.e,如图 ,

其中a,b,c是三个连续偶数(a<b),d,e是两个连续奇数(d<e),且满足a+b+c=d+e,例如 ,

请你在0与20之间选择另一组符合条件的数填入下图(北京中考)

解:

a=2n+2

b=2n+4

c=2n+6

d=2m+1

e=2m+3

所以;2n+2+2n+4+2n+6=2m+1+2m+3即m=3n/2+2

n=0,2,4,6, m=2,5,8,11


2 数学的美无处不在,数学家们研究发现,弹拨琴弦发出声音的音调高低,取决于弦的长度,绷得一样紧的几根弦,如果长度的比能够表示成整数比,发出的声音就比较和谐。例如,三根弦长度之比是15:12:10,把它们绷的一样紧,用同样的力弹拨,它们将分别发出很调和的乐声do,mi,so.研究15、12、10这三个数的倒数发现:1/12—1/15=1/10-1/12.我们称15、12、10这三个数为一组调和数。

现有一组调和数:x、5、3(x>5),则x的值是多少?(济南中考)

x 5 3

倒数:

解:

由题意知


3·按如图所示的程序运算,若开始输入的值为48,我们发现第一次得到的结果为24,第二次得到的结果为12,…请你探索第2009次得到的结果为_______.(扬州中考)

x+5

X为奇数

输入x

输出

X为偶数

12

2

24

6

4

1

3

8

6

(6)

(2)

(1)

(3)

(5)

(8)

(9)

(7)

(4)

解:

48

从第三个结果开始以6个数字为周期循环

(2009-3)÷6=334……2

所以第2009次结果是8


4.自然数a.b.c.d.e(可以相同)都大于1,其成积abcde=2000,则其和a+b+c+d+e的最大值为___,最小值为___。

解:

问题实质:把2000拆为五个大于1的自然数的积并要求和最 大或最小

对2000分解质因数:2000=24×53

a+b+c+d+e和最大则其中一个数应尽量大,其余的尽量小

2000=2×2×2×2×125

a+b+c+d+e和的最大值=2+2+2+2+125=133

a+b+c+d+e和最小则每个数应尽量接近

2000=4×4×5×5×5

a+b+c+d+e和的最小值=4+4+5+5+5=23


5、我国古代的“河图”是由3x3的方格构成,每个方格内均有数目不同的点图,每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等。如图给出了“河图”的部分点图,请你推算出P处所对应的点图是几个?

P

每一行的和是:

(1+2+3+…+9)÷3=15

所以P点对应六个点


6、法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的,后面的就改用手势了。下面两个框图是用法国“小九九”计算7x8和8x9的两个示例。若用法国的“小九九”计算7x9,左、右手依次伸出手指的个数是( )

C 2、4

A 2、3 B 3、3 C 2、4 D 3 、4

伸出数字之和与未伸出数字之积组成。


7、为确保信息安全,信息需要加密传输,发送方由明文——密文(加密),接收方由密文——明文(解密),已知加密规则为:明文a、b、c对应的密文为a+1,2b+4,3c+9,例如明文1、2、3对应的密文为2、8、18,如果接收方收到的密文7、18、15,则解密得到的明文为( )

明文: a b c

7

18

15

密文: a+1 2b+4 3c+9

A. 4、5、6 B. 6、7、2 C. 2、6、7 D. 7、2、6

解:

6

7

2

所以明文是:6、7、2


8 、如图,有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片(同一个直角三角形的两条直角边不相等),把两个三角形相等的边靠在一起(两张纸片不重叠),可以拼出若干种图形,其中,形状不同的四边形有( )

A、3种 B 、4种 C、5种 D 、6种

共四种不同形状的四边形


9、观察下表,填表格后再解决问题:

序 号

1

2

3

n

图形

……

的个数

8

24

的个数

1

4

(2)试求第几个图形中 的个数与 的个数相等

(1)完成下表:

8×2

8×n

32

n2

(2) 提示8×n=n2


能力拓展:

1 0 1

+ 1 0 1

11.勤奋智慧的中华民族在4000多年前就创造了十进制记数法,即“逢十进一”,如十进制数abc=ax100+bx10+c,世界各地的记数方法中,除十进制以外,还有十二进制,六十进制,二进制等,与计算机发展密切相关的二进制记数,就是“逢二进一”,如二进制数101等于十进制数______,在二进制加法中,101+101=______(二进制)

解:

(1)二进制化十进制:

101=1×22+0×2+1=5

(2)二进制加法:

1

0

1

0

思考:十进制怎样化二进制?


12.古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”,意思是数是宇宙万物的要素,他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子,根据点子或小石子的排列的形状把整数进行分类。

例如:1,3,6,10。。。这些数叫三角形数,则下列数55,364,1830中是三角形数的有______.

1

3

6

10

根据上面四个三角形数,说出你所观察到的规律?

第n个三角形数是:1+2+……+n=n(n-1)/2

55=1+2+……+10

351=1+2+……+26 所以364不是

1830=1+2+……+61


13.若k45k9是能被3整除的五位数,则k的可能取值有____个,这样的五位数能被9整除的是_____.

解:

k+4+5+k+9 = 2k+18 = 3的倍数

所以2k=3的倍数

k = 3、6、9

若该五位数能被9整除,则2k=9的倍数

则k=9

所以,该五位数是:94599


14、定义一种对正整数n的“F运算”:(1)当n为奇数时,结果为3n+5;

(2)当n为偶数时,结果为 (其中k是使 为奇数的正整数,并且运算重复进行)。

例如n=26时,则 ……若n=449,则第449次“F运算”的结果是————

F(2)

F(1)

F(2)

26

44

第二次

第三次

13

第一次

11

449 1352 169 512 1 8 1 8………

从第四次开始结果在1与8中交替重复出现,偶数次结果为1奇数次结果为8


15.3个质数p,q,r满足p+q=r,且p<q,那么p等于( )。

A. 2 B. 3 C. 7 D. 13

解:

p + q = r

p和q只可能是一个奇数一个偶数

由p<q,所以=2


16.如图,多边形ABCDEFGH两边互相垂直,要求出它的周长,需要最少知道( )条边的边长。

A

H

G

F

C

B

D

E

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

解:

该图形的周长等于虚线长方形的周长

所以至少要知道3条边


17.已知三个连续的正整数的倒数和等于 ,则这三个数之和等于( )。

A. 27 B. 24 C. 21 D . 18

解:

假设这三个连续的正整数是a,a+1,a+2

504应是这三个连续正整数的积

504=7×8×9

所以这三个连续正整数是7、8、9


A. 0 B. 40 C. 32 D. 26

解:

由题意知:

同理:

总结相等的两数的角码有什么规律?

根据该规律:

=33(9-7-1)-7=26


19.(1) 裴波那契是中世纪意大利数学家,他在研究兔子繁殖数量的问题时发现了一个奇妙的数列:

1,1,2,3,5,8,13,。。。

请按照该数列的规律写出紧接13的两个________,

具有这种规律的数列称为裴波那契数列。

21

34

(2) 任选两个数a,b把它们作为第一、第二个数,按(1)中裴波那契数列的规律产生一个数列,

证明:在此数列中,头10个数的和等于第七个数的11倍。

a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b,5a+8b,8a+13b,13a+21b,21a+34b

前10个数的和为55a+88b


20.能否很快写出2005个自然数,使它们的总和正好等于它们的乘积?

提示:2n = n + 2 + 1 + 1 + …… + 1

n-2个1

2005+2+1+1+1+…….+1=4010=2005×2×1×1×……. ×1


综合创新

假设这个三位数是abc

最大值:

=99(c-a)

cba – abc

cba

abc

最小值:

21、重排一个三位数三个数位上的数字(三个数字不完全相同),得到一个最大的数和一个最小的数,它们的差构成另一个三位数(允许百位数字为零)。再重复以上过程,

问:重复2003次后所得的数是多少?证明你的结论。

解:

不妨设a≤b≤c

c-a等于1到9的自然数

分九中情况讨论即可

099,198,297,396,459,594,693,792,891.

099 891 792 693 594 495 495

396 594 495

198 792 693 594 495

297 693 594 495


22、如图是一张“3x5”(表示边长分别为3和5)的长方形, 现要把它分成若干张边长为整数的长方形(包括正方形)纸片,并要求分得的任何两张纸片都不完全相同。

(1)能否分成5张满足上述条件的纸片?

(2)能否分成6张满足上述条件的纸片?

若能分,用”axb”的形式分别表示出各张纸片的边长,并画出分割的示意图:若不能分,请说明理由。

>

(2)分为6块最小的面积和是:1+2+3+4+5+6>16所以,不可能


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