1 / 9

Analisa Numerik

Analisa Numerik. Aproksimasi Turunan. Aproksimasi Turunan. Diberikan f(x) (biasanya sulit diturunkan). Cari f’(a), di mana f terdefinisi pada [c, d]. Solusi : Pilih x 0 , x 1 , ..., x k ∈ [c, d] f(x) = P k (x) + f[x 0 , ..., x k , x]  k (x)

asta
Download Presentation

Analisa Numerik

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Analisa Numerik Aproksimasi Turunan

  2. Aproksimasi Turunan • Diberikan f(x) (biasanya sulit diturunkan). Cari f’(a), di mana f terdefinisi pada [c, d]. • Solusi : Pilih x0, x1, ..., xk∈ [c, d] f(x) = Pk(x) + f[x0, ..., xk, x]k(x) di mana Pk(x) polinom berderajat  k menginterpolasi f(x) pada x0, ..., xk Perhatikan bahwa f[x0, ..., xk, x] = f[x0, ..., xk, x, x] Jd.: f’(x) = P’k(x) + f[x0, ..., xk, x, x]k(x) + f[x0, ..., xk, x]’k(x) (7-2)

  3. Error • Definisikan operator D sebagai D(f) = f’(a), a ∈ [c, d]. • Kesalahan aproksimasi turunan f adalah : E(f) = D(f) – D(Pk) = f[x0, ..., xk, a, a]k(a) + [x0, ..., xk, a]’k(a) = utk. Tetapi jarang diketahui f(k+2), f(k+1), dan hampir susah ditentukan Untuk mempermudah mencari E(f), maka a harus ditentukan.

  4. Error • Pilih a = xi maka k(a) = 0 • Pilih a sehingga ’k(a) = 0, dng. cara : Pilih xi ∀i sehingga xi simetris thd. a x0..... a..... xk Dng. mendefinisikan xk-j – a = a – xj , j = 0, ..., (k-1)/2

  5. Contoh • Berapa banyak titik yg. dibutuhkan agar dapat menghitung f’(a) ? (k = ?) k = 1, Pk(x) = f(x0) + f[x0, x1](x - x0) D(Pk) = f[x0, x1] Jk. a = x0 menurut (7-2) (h = x1 - x0) f’(a) ≈ f[a, a+h] = (f(a+h) - f(a)) / h menurut (7-4) Disebut Formula forward-difference a = 1/2 (x0 + x1) Jd. x0 = a-h x1 = a + h, h = 1/2 (x1 - x0) diperoleh Formula central-difference

  6. Contoh k = 2, Pk(x) = f(x0) + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2] (x - x0) (x - x1) Jk. a = x0 maka dari 7-2 dan 7-4 f’(a) = f[a, x1] + f[a, x1, x2](a - x1) + 1/6 (a - x1)(a - x2)f’’’() (7-9) Lalu definisikan x1 = a + h, x2 = a + 2h, maka (7-9) menjadi Kalau x1 = a - h, x2 = a + h, maka

  7. Aproksimasi Derivatif yg. Lebih Baik • Aproksimasi derivatif yg. lebih tinggi utk. f(x) f(x) = Pk(x) + f[x0, …, xk, x]k(x) f’(x) = P’k(x) + f[x0, …, xk, x, x]k(x) + f[x0, …, xk, x]’k(x) f’’(x) = P’’k(x) + 2f[x0, …, xk, x, x, x]k(x) + 2f[x0, …, xk, x, x]’k(x) + f[x0, …, xk, x]’’k(x) Pilih k = 2, a = x0 Jd. f’’(a) = 2f[a, x1, x2] + 2f[a, x1, x2, a, a] (a - x1)(a - x2) + f[a, x1, x2, a] 2 (a - x1 + a - x2)

  8. Aproksimasi Derivatif yg. Lebih Baik • Definisikan x1 = a + h, x2 = a + 2h, maka • Definisikan x1 = a - h, x2 = a + h, maka • Jd. jk. a berada di tengah-tengah, formula lebih teliti

  9. Contoh f’(a) dng. central-difference f’’(a) dng.

More Related