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§3.5  函数的极值与最大值 最小值 PowerPoint PPT Presentation


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第 3 章. §3.5  函数的极值与最大值 最小值. 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪. 定义. 函数的极大值与极小值统称为极值 , 使函数取得极值的点称为极值点. 函数极值的判定法. 注意 :. 由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点. 1) 函数的极值是函数的 局部性质. 2) 对常见函数 , 极值可能出现在 驻点或导数 不存在的点. 3) 函数的最值是函数的 全局性质. 为极大点. 为极小点. 不是极值点. (1). “ 左 正 右 负 ” ,. (2).

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§3.5  函数的极值与最大值 最小值

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Presentation Transcript


3 5

第3章

§3.5  函数的极值与最大值

最小值

燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪


3 5

定义

函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.


3 5

函数极值的判定法

注意:

由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点.

1) 函数的极值是函数的局部性质.

2) 对常见函数, 极值可能出现在驻点或导数

不存在的点.

3) 函数的最值是函数的全局性质.

为极大点

为极小点

不是极值点


3 5

(1)

“左正右负” ,

(2)

“左负右正” ,

定理 1(取得极值的充分条件)

且在空心邻域

内有导数,

(证明略)

例如,

容易验证x=0是

的极小

值点.

x=0不是

的极值点.


3 5

例3 求函数

的极值 .

1) 求导数

2) 求极值可疑点

3) 列表判别

是极大值点,

极大值为

极小值为

是极小值点,


3 5

定理2(第二充分条件)


3 5

思考与练习

设在

的大小顺序是 ( )

B

单调增加 ,

提示:利用


3 5

(1) 求 在 内的极值可疑点

利用导数求函数的最值是导数的又一重要应用.

则其最值只能

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,

在极值点或端点处达到 .

求函数最值的方法:

(2)最大值

最小值


3 5

  • ●当 在 内只有一个极值可疑点时,

  • ●当 在 上单调时,

特别:

若在

(小)

(小)

此点取极大 值 , 则也是最大 值 .

最值必在端点处达到.

  • ●对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的

可疑点是否为最大 值点或最小值点 .


3 5

最大利润问题

某制造商制造并出售球形瓶装的某种酒.

其中r是瓶子的

瓶子的制造成本是

(分),

半径,单位是厘米.

假设每售出1立方厘米的酒,

他能制作的瓶子最大半径为

商人可获利0.2分,

6厘米,问

1) 瓶子半径多大时,能使每瓶酒获利最大?

2) 瓶子半径多大时,每瓶酒的获利最小?


3 5

解 瓶子半径为r,每瓶酒能获利为

得r=2.

;2<r<6时,

当0<r<2时,

故r=2是的一个极小值点,所以也是最小值点;

r=6时,p(r)可达到最大值.


3 5

但p(2)<0,说明半径小于或等于2厘米的瓶装

酒,酒所获得的利润抵不上瓶子的成本.

又由p(3)=0知,当瓶子的半径达3cm时,酒的

瓶子的半径越大,

盈利与瓶子的成本恰好一样.

因而当商人要求售出同量酒

制造商的盈利越多.

对半径小于3cm的瓶

而又要获得同等的盈利时,

所以,市场上小包装的货物一

装酒定价要高些.

般比大包装的都要贵些。


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