LES LOIS BINOMIALES

1. LES LOIS BINOMIALES

2. Les lois binomiales n est un entier naturel non nul et p un réel de  ]0, 1[. Définition Une variable aléatoire X suit la loi binomialeB(n , p) de paramètres n et p lorsque sa loi de probabilité est définie par pour k entier de l'intervalle [0 ; n].

3. Les lois binomiales • Les lois binomiales interviennent dans la modélisation de n réalisations successives et indépendantes d'une expérience aléatoire à exactement deux issues : • le succès avec la probabilité p, • l'échec avec la probabilité 1 p. • La variable aléatoire donnant le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p.

4. Les lois binomiales Un exemple : On répète 10 fois dans les mêmes conditions, une même expérience aléatoire à deux issues S et E obtenues respectivement avec les probabilités p et 1 - p. Déterminons la probabilité d'avoir, par exemple, 4 S exactement parmi les résultats des expériences aléatoires.

5. Les lois binomiales Un exemple : La probabilité d'obtenir la suite de résultats E E S E S E E S S E est : (1 - p) (1 - p) p (1 - p) p (1 - p) (1 - p) pp (1 - p) soit p4(1 - p)6. On obtient le même résultat pour la suite : S E E E S E E S S E et pour la suite : S E S E E S E E S E

6. Les lois binomiales Un exemple : De façon générale, on obtient le même résultat p4(1 - p)6 pour toutes les suites contenant 6 E et 4 p. Il y a telles suites, ainsi la probabilité d'obtenir 4 S parmi les dix résultats est