回顾与思考

第四章相似图形 回顾与思考

知识回顾 一、比例的性质？比例的基本性质─ 比例的合比性质─ 比例的等比性质──

知识回顾 如果 , 黄金比 A C B 点C把线段AB分成两条线段AC和BC, ≈0.618 二、黄金分割那么称线段AB被点C黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点, AC与AB的比叫做黄金比.

知识回顾 三、相似三角形的定义？判定？性质？ 1、定义：三角对应角相等、三边对应成比例的两个三角形叫相似三角形 2、判定：两角相等的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 3、性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比

知识回顾 3、性质：相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方相似多边形的周长比等于相似比相似多边形面积的比等于相似比的平方

A D E C B A B O D C 四、.基本图形 “A”型在△ABC中，DE∥BC，则有 △ADE∽△ABC “X”型在△ABC中，AB∥CD，则有 △ABO∽△DCO

知识回顾 四、位似图形如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心. 这时的相似比又称为位似比. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比

做一做 用实战来证明自己复习题 A组题 1、将一个等腰直角三角形放大，使放大后的边是原三角形对应边的3倍，并分别确定放大前后对应斜边的比值、对应直角边的比值。解：放大前后对应斜边的比值是1︰3、对应直角边的比值是1︰3。

小试牛刀 A E D C B ：2 一、判断正误： 1、两个相似三角形对应中线之比是1：2，则对应角平分线之比也是1：2。（） 2、两个相似三角形面积比是1：2，则相似比是1：4。（） 3、△ABC∽△A′B′C′，相似比为2：3，若△ABC周长为6，则△A′B′C′周长为9。（） √ × √ 二、填空： 1.如图△ABC中，DE∥BC，且S△ADE=S梯形DBCE，则DE:BC=____.

A D E O B C 2.两个相似五边形的面积比为9:16,其中较大的五边形的周长为64cm,则较小的五边形的周长为_______cm. 48 3.如图,DE∥BC,AD:DB=1:2,DC,BE交于点O, 则△DOE与△BOC的周长之比是_________, 面积比是________. 1:3 1:9

6. 四边形ABCD是平行四边形,点E是 BC的延长线上的一点,而CE:BC=1:3,则 △ADG和△EBG的周长比为面积比。 D A G F B E C 4、两相似三角形对应高之比为3∶4，周长之和为28cm，则两个三角形周长分别为 12cm与16cm 5、两相似三角形的相似比为3∶5，它们的面积和为102cm2，则较大三角形的面积为 75cm2 3：4 9：16

一比高低 A P C B 1．如图6—1，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加的条件是什么？（只要写出一种合适的条件）解：只需添加条件： ∠B＝∠ACP或∠ACB＝∠APC或

c 2 = = 6 d a a b 3 做一做用实战来证明自己 2、四条线段a、b、c、d成比例，其中b=3cm，c=2cm， d=6cm，求线段a的长。解：四条线段a、b、c、d成比例 6a=6 a=1

AE = AD F C D AD 2 2 2 AB ︰AD = √2︰1 AB = 2 AD AD = AB AD =AB·AE AB = √2 AD AB 做一做 A B E 2 2 1 AE= AB 2 1 2 用实战来证明自己 3、如图，将矩形ABCD沿两条较长边的中点的连线对折，得到的矩形ADFE与矩形ABCD相似，确定矩形 ABCD长与宽的比。解：矩形ADFE与矩形ABCD相似 {

A B C E D 做一做 F G 用实战来证明自己 4、如图，BC//DE//FG，图中有几对相似三角形？你是怎样判断的？解：有三对，它们是： △ABC∽△ADE △ABC∽△AFG △ADE∽△AFG 根据BC//DE//FG，可得同位角相等，由此得到两个三角形相似

DE DE = = 9.9 BC A 6 AD D E AB 9 做一做 B C 用实战来证明自己 5、如图，已知△ADE∽△ABC，AD=6cm，DB=3cm， BC=9.9cm，∠A=70°，∠B=50°。（1）求∠ADE的大小；（2）求∠AED的的小；（3）求DE的长。解：（1） △ADF∽△ABC 6 70° ∠ADE=∠B=50° ？？？ 3 （2） ∠A=70° ∠ADE=50° { 50° ∠AED=60° 9.9 （3） △ADF∽△ABC DE=6.6 cm

D 20 AE B = = 2 AC A E C DE DE BC 1.6 做一做用实战来证明自己 6、如图，小明欲测量红塔的高，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影？ 1.6m 18m 2m 子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影子长是2m。（1）图中△ABC与△ADE 是否相似？为什么？（2）求红塔的高。解：（1）相似因为∠A是公共角，∠BCA和∠DEA是直角（2）由△ABC∽△ADE得， DE=16 m

做一做 用实战来证明自己 7、如果两个相似多边形面积的比为4︰9，那么这两个相似多边形对应边的比是多少？解：根据相似多边形面积的比等于相似比的平方得：这两个相似多边形对应边的比是2︰3

AD 9 3 AD S S S S S S S S 16 AB AB 4 △ABC △ABC △ABC △ADE △ABC △ADE △ABC △ADE A D E 做一做 B C 2 = =（） = = 48 = 27 用实战来证明自己 8、如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD， =48，求解： DE//BC 3份 △ADE∽△ABC 1份 { AD=3BD {

OC = OD D B O OA A C OB 做一做用实战来证明自己 9、如图，AB、CD交于点O，且AC//BD。则OA·OD=OC·OB吗？为什么？解： OA·OD=OC·OB，理由如下： AC//BD △AOC∽△BOD OA·OD=OC·OB

y 5 4 3 2 1 做一做 0 -2 -1 1 2 3 4 5 x -1 -2 用实战来证明自己 10、（1）在平面直角坐标系中描出点A（4，2），B（2，4），C（0，4），D（0，2），E（2，0），顺次连接点A、B、C、D、E、A，得到一个五边形ABCDE。解：所以、除以 2 后得到的新五边形与原五边形相似同样，除以 3 后得到的新五边形与原五边形相似（2）将点A、B、C、D、E的横坐标和纵坐标都除以2，得到五个新的点，顺次连接这五个点，得到一个新的五边形，这两个五边形相似吗？如果将点A、B、C、D、E的横坐标和纵坐标都除以 3 呢？ C B ● ● D B A ● ● ● ● C A ● ● D ● ● E E

2 设留下矩形的面积为 x cm， 6cm 做一做 8cm 2 解得：x =27 cm 2 答：留下矩形的面积为 27 cm 用实战来证明自己 B组题 1、如图，在长8cm、宽6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分所示），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积为多少？解：由题意得 x 2 6 （（ = 48 8

C 2 （3）AC = AD · AB 2 （4）CD = AD · AB A D B 做一做 2 AC = AD · AB 用实战来证明自己 C 2、如图，能保证使△ACD与△ABC相似的条件是（）（1）AC︰CD = AB︰BC （2）CD︰AD = BC︰AC 解：已知∠A是两个三角形的公共角，要使△ACD与△ABC相似，就要使△ACD中∠A的两边与△ABC中的∠A的两边对应成比例——即 AD AC ∴应该选：C = AC AB

做一做 A P Q B 用实战来证明自己 3、如图，王华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点 P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再行12m到达点Q时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B的底部。已知王华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB= x m。（1）求两个路灯之间的距离；（2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？解：（1）由题得： x 1.6 = 9.6 2x+12 9.6 1.6 解得：x = 3 m x x 12 ∴两个路灯之间的距离是18 m

做一做 用实战来证明自己（2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？ 9.6 1.6 ？ A B 18 x 解：设他的影子长为 x m，则由题得： x 1.6 = 18+x 9.6 解得 x = 3.6 m ∴他的影子长为 3.6 m

做一做 用实战来证明自己 4、如图，为了测量一条河的宽度，测量人员在对岸岸边P点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选择点A和B，使得B、A、P在一条直线上，且与河岸垂直。随后确定点C、D，使BC⊥BP，AD⊥BP，由观测可以确定CP与AD的交点D。他们测得AB=45m，BC =90m，AD=60m，从而确定河宽PA=90m。你认为他们的结论对吗？还有其他的测量方法吗？解：结论正确！理由如下：由△PAD∽△PBC得 P 60 AD PA D PA = = ？ C 60m PB BC 90 PA+45 A 90m PA=90 45m B 改变点C的位置，仍可以得到相应的结论

D D A A 做一做 B B C C F F E E 用实战来证明自己 C组题 1、如图，BC与EF在一条直线上，AC//DF。将图（2）中的三角形截去一块，使它变为与图（1）相似的图形。 G Q P 方法1：作EG//AB，交DF于点G，沿EG 将△DEG截去即可。方法2：在EF上任取一点P过点P作PQ//AB，交DF于点Q，沿PQ将图（2）截开，得△PQF∽△ABC

做一做 用实战来证明自己 2、教学楼旁边有一颗树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙壁上（如图），经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高。他们测得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，请你和他们一起算一下，树高为多少？解：首先在图上标上字母， A 过点C作CE⊥AB，垂足为E 根据题意，可得： △AEC∽△FGH AE CE AE 2.7 2.7m = = E FG HG 1 0.9 C F 1.2m 1.2m 1m AE= 3 m D 2.7m B H 0.9 G ∴树高AB = 3 + 1.2 = 4.2 m

A E D C B 2. 如图，AE2＝AD·AB，且∠ABE＝∠BCE，试说明△EBC∽△DEB 解： ∵ AE2＝AD·AB，得AE∶AD＝AB∶AE ∵∠A＝∠A ∴△AED∽△ABE ∴∠AED＝∠ABE∵∠ABE＝∠BCE ∴ ∠AED＝∠BCE ∴DE∥BC ∴∠DEB＝∠EBC ∵∠ABE＝∠BCE ∴ △EBC∽△DEB

C2 C1 A2 B2 A A B1 A1 B C C B 3.如图6—5，4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上．请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．

C Q Q A B P P 4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=12,点P从A点出发向 B以1m/s的速度移动，点Q从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B两地同时出发，几秒后△ PBQ 与原三角形相似？

学以致用 B Q P A C • 如图⊿ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从A点开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动。若点P、Q从A、B处同时出发，经过几秒钟后，⊿PBQ与⊿ABC相似？

D C E A B F 2.如图，在⊿ABD和⊿ABC中，∠C=∠D=90°，BD与AC交于点E，EF⊥AB与F，求证：AC·AE+BD·BE=AB2 .

想一想 通过今天的学习，你有什么收获？结束寄语数学源于生活,又反过来服务于生活.如果你无愧于数学,那数学就可以助你到达胜利的彼岸…………

下课了! 数学使人聪明

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