Normalna raspodela

1. Normalna raspodela

2. Raspodele verovatnoće Raspodela diskretne verovatnoće Raspodela kontinuirane verovatnoće Binomna Normalna Poisson-ova Uniformna Hipergeometrijska Eksponencijalna Raspodele verovatnoće

3. srednja vrednost standardna devijacija Normalna raspodela • Normalna gustina raspodele verovatnoće:

4. Osobine normalne raspodele • zvonastog” oblika • simetrična • unimodalna • asimptotska • srednja vrednost, medijana i modus su jednaki • Raspodelu definišu srednja vrednost, m, i standardna devijacija, s. • Srednja vrednost kontroliše centar, a standardna devijacija širinu

5. Osobine normalne raspodele • Standardna devijacija je rastojanje od srednje vrednosti do tačke gde kriva menja oblik od konkavne na dole u konkavnu na gore

6. Mnogo normalnih raspodela Postoji beskonačan broj normalnih raspodela Promenom parametaraμiσ, dobijaju se različite normalne raspodele

7. Primeri podataka sa normalnom raspodelom • očekivani životni vek osoba u populaciji • visina • težina • IQ • visina plata • parametri vremenske prognoze • podaci iz proizvodnje • društvenih nauka i dr.

8. Standardizovano odstupanje (z-score) • Odstupanje posmatrane vrednosti od srednje vrednosti izraženo u broju standardnih devijacija • z-score je razlika između posmatrane vrednosti i srednje vrednosti podeljena sa standardnom devijacijom • na primer: ako je z = 2, vrednost je udaljena 2 standardne devijacije od srednje vrednosti • Ako je -3,0 >z-score > 3,0 vrednost se smatra ekstremnom

9. Z-score - primer • Prosečan unos proteina 77 g/dan, Sd = 8 g, N = 500 • Gde se nalazi osoba koja unosi 93 g/dan ? Osoba koja unosi 93 g/dan ima vrednost koja je za 2 Sd veća od prosečnog unosa proteina Negativan z-score znači da je vrednost manja od srednje vrednosti

10. standardizovana normalna kriva Standardizovana normalna raspodela • z-score je normalno distribuiran sa srednjom vrednošću 0 i standardnom devijacijom 1 • standardizovana normalnaraspodela • = 0  = 1 • ≠ 0  ≠ 1 • standardizovana normalna kriva je simetrična oko nule • najveći deo površine ispod krive leži izmedju -3z i 3z • površina ispod standardne normalne krive je 1 • krajevi krive se asimptotski približavaju x-osi

11. Primer Ako je varijabla x normalno distribuirana sa srednjom vrednošću μ = 5 i standardnom devijacijom σ = 2, z vrednost za x = 6,2 je Ovo znači da se vrednost x = 6,2 nalazi 0,6 standardnih devijacija (0,6 inkremenata od2jedinice) iznad srednje vrednosti

12. Standardizovananormalna raspodela Normalna raspodela σ = 2 σz = 1 z x 6,2 0,6 μ = 5 μz = 0 Primer

13. Standardizovananormalna raspodela Normalna raspodela σ = 2 σz = 1 x 2,5 7,5 -1,25 1,25 z μ = 5 μz = 0 Primer

14. Nalaženje verovatnoće Verovatnoća je površina ispod krive! f(x) c x d

15. f(x) 0,5 0,5 μ x Verovatnoća kao površina ispod krive Ukupna površina ispod krive je 1,0 Raspodela je simetrična

16. Tabela standardizovane normalne raspodele Tablica standardizovane normalne raspodele daje verovatnoću, odnosno površinu za vrednosti manje od željene vrednosti z (od - ∞ do z) 0.9772 z 0 2,00 primer: P(z < 2,00) = 0,9772

17. Tabela standardne normalne raspodele Verovatnoća/površina za vrednosti manje z manje od željene vrednosti z U kolonama su vrednosti z na drugom decimalnom mestu Z 0,00 0,01 0,02 … 0,0 0,1 U redovima su vrednosti z do prvog decimalnog mesta . . . 2,0 0,9772 P(z < 2,00) = 0,9772 2.0

18. x 8,0 8,6 Procedura za određivanje verovatnoće • Za određivanje P(x < b)kada je varijabla x normalno distribuirana: • varijabla x se prevede u z • koristi se tabela standardne normalne raspodele Primer: Odrediti P(x < 8,6), ako je varijabla x normalno distribuirana sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,5

19. Određivanje verovatnoće levo od z - Primer • Broj poena na ispitu, koji je polagalo 250 studenata, ima normalnu raspodelu sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,5. • Ako je potrebno 8,6 poena da se ispit položi, koji procenat studenata nije položio ispit? • Ako je ispit je polagalo 250 studenata, koji broj studenata nije položio ispit? • 1. Izračunati vrednost z • 2. Odrediti površinu levo od z i izraziti je u procentima • 3. Izračunati broj studenata iz dobijenog procenta

20. μ = 8 σ = 2,5 μ= 0 σ = 1 x z 8 8,6 0 0,64 P(z < 0,64) P(x < 8,6) Određivanje površine za z < 0,64

21. Tabela standardizovane normalne raspodele Z ,04 ,00 .... 0,7389 0,0 0,5000 .... 0,5080 0,5398 .... 0,5478 0,1 .... .... .... .... z 0,00 0,6 0,7257 .... 0,7389 0,64 Površina za z< 0,64) P(x < 8,6) ) = P(z < 0,64) = 0,7389 73,89% studenata ima manje od 8,6 poena 185 (250 x 0,7389) studenata ima manje od 8,6 poena

22. Površina i.e. verovatnoća • Koja je verovatnoća da student ima tačno 8,6 poena? P(x= 8,6) ) = P(z= 0,64) = 0

23. x 8,0 8,6 Određivanje površine desno od z • Varijabla x je normalno distribuirana sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom2,5. • OdreditiP(x> 8,6)

24. 0,7389 1,0 – 0,7389 = 0,2611 1,000 Z Z 0 0 0,64 0,64 Određivanje verovatnoće desno od z P(x > 8,6) = P(z > 0,64) = 1,0 – P(z≤ 0,64)=1,0 – 0,7389 = 0,2611 26,11% studenata ima više od 8,6 poena 65 (250 x 0,2611) studenata ima više od 8,6 poena

25. Određivanje površine između dve vrednosti z x 8,6 8 z 0 0,64 • Varijabla x je normalno distribuirana sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom2,5. • OdreditiP(8,0 < x< 8,6) Izračunati vrednost z : P(8 < x < 8,6) = P(0 < z < 0,64)

26. Tabela standardizovane normalne raspodele Z ,04 ,00 .... 0,0 0,5000 .... 0,5080 0,5000 0,2389 0,5398 .... 0,5478 0,1 .... .... .... .... 0,6 0,7257 .... 0,7389 z 0,00 0,64 Rešenje: Određivanje P(0 < z < 0,12) P(8 < X < 8.6) = P(0 < z < 0,64) = = P(z < 0,64) – P(z ≤ 0) = = 0,7389 – 0,500 = 0,2389

27. Važne površine ispod krive Površina između -1z i +1z = 0,6826 = 68,3% Verovatnoća da se varijabla x nađe u granicama -1z i +1z : P = 0,6826 = 68,3%

28. Važne površine ispod krive U rasponu μ ± 1σje 68,3% površine ispod krive 68,3% svih vrednosti f(x) σ σ x μ-1σ μ μ+1σ 68,26%

29. Važne površine ispod krive Površina između -2z i +2z = 0,9544 = 95,4% Verovatnoća da se varijabla x nađe u granicama -2z i +2z : P = 0,9544 = 95,4% Površina između -3z i +3z = 0,9974 = 99,7% Verovatnoća da se varijabla x nađe u granicama -3z i +3z : P = 0,9974 = 99,7%

30. 3σ 3σ 2σ 2σ x x μ μ μ-2σ μ+2σ μ-3σ 95.44% 99.73% Važne površine ispod krive • U rasponu μ ± 2σje • 95,4% površine ispod krive • 95,4% svih vrednosti • U rasponu μ ± 3σje • 99,7% površine ispod krive • 99,7% svih vrednosti μ+3σ

31. Određivanje vrednosti x iz verovatnoće • Određivanje vrednosti x iz poznate verovatnoće: • pronaći vrednost z za poznatu verovatnoću (površinu) • konvertovati vrednost z u vrednost x

32. 0,2000 8,0 x ? ? 0 Z Određivanje vrednosti x iz verovatnoće • Varijabla x je normalno distribuirana sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom2,5. • Odreditivrednost x tako da je 20% svih vrednosti manje od x (P = 0,2)

33. Određivanje vrednosti x iz verovatnoće • Broj poena na ispitu, koji je polagalo 250 studenata, ima normalnu raspodelu sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,5. • Koji je granični broj poena koji ima 20% studenata sa najmanjim brojem poena? • 1. Izračunati vrednost z iz date verovatnoće/površine • 2. Izračunati vrednost x

34. Tabela standardizovane normalne raspodele … ,04 Z ,03 ,05 … -0.9 ,1762 ,1736 ,1711 0,2000 -0.8 … ,2005 ,2033 ,1977 … -0.7 ,2327 ,2296 ,2266 x ? 8.0 Z -0,84 0 Nalaženje vrednosti z iz tabele • 20% površine (P = 0,2) u levom delu raspodele odgovara vrednosti z = - 0,84 1. Pronalaženje vrednost z za poznatu verovatnoću

35. Određivanje vrednosti x 2. Konvertovanje vrednosti z u vrednost x • U raspodeli sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,5 , 20% vrednosti je manje od 5,9 • 20% studenata ima manje od 5,9 poena

36. Domaći zadatak • Prosečna težina beba rođenih u jednoj bolnici je 3,25 kg sa standardnom devijacijom od 0,75 kg. Raspodela težina 10000 beba rođenih tokom 10 godina u toj bolnici je normalna. Izračunati sledeće: • Verovatnoću da se u toj bolnici rodi beba koja ima težinu između 3 i 3,5 kg? • Koji procenat beba ima težinu najmanje 4 kg? • Koliko je dečaka rođeno sa težinom najmanje 3.5 kg? (računati kao da je rođen podjednak broj dečaka i devojčica) • Bebe sa malom težinom zahtevaju specijalnu negu. Ako je bolnica definisala kao kritično malu težine u prvom kvintilu, izračunati koja je maksimalna težina na rođenju koja će bebu kvalifikovati za specijalnu negu (inkubator i sl.)