Les emprunts et les placements
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LES EMPRUNTS ET LES PLACEMENTS. 60 $. 60 $. 60 $. 60 $. 60 $. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 250 $. Capital investi. INTRODUCTION. Supposons que vous avez la possibilité d’investir 250 $ aujourd’hui (temps 0) qui pourrait vous rapporter 60 $ au cours des 5 prochaines années (temps 1 à 5).

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LES EMPRUNTS ET LES PLACEMENTS

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Les emprunts et les placements

LES EMPRUNTS ET LES PLACEMENTS


Introduction

60 $

60 $

60 $

60 $

60 $

0

1

2

3

4

5

250 $

Capital investi

INTRODUCTION

  • Supposons que vous avez la possibilité d’investir 250 $ aujourd’hui (temps 0) qui pourrait vous rapporter 60 $ au cours des 5 prochaines années (temps 1 à 5).


Les emprunts et les placements

60 $

60 $

60 $

60 $

60 $

0

1

2

3

4

5

250 $

  • Est-ce avantageux ?

  • Pouvons-nous additionner les cinq revenus de 60 $ et les comparer au 250 $ d’aujourd’hui ?

  • 250 $ aujourd’hui =, > ou < à la somme des 60 $ des 5 prochaines années ?


Les emprunts et les placements

?

?

?

?

?

60 $

60 $

60 $

60 $

60 $

0

1

2

3

4

5

250 $

  • Qu’est-ce qui faut faire pour comparer ?

  • Ramener les 60 $ des années 1 à 5 en $ d’aujourd’hui.

  • Hypothèse : taux de 6% l’an.

44,84 $

47,53 $

50,38 $

53,40 $

56,60 $

252,74 $

  • MÉCANISME D’ACTUALISATION


Les emprunts et les placements

?

?

?

?

60 $

60 $

60 $

60 $

60 $

0

1

2

3

4

5

250 $

  • Transformer tous les montants en cause en $ de l’année 5.

75,75 $

?

71,46 $

67,42 $

338,23 $

63,60 $

334,56 $

  • MÉCANISME DE CAPITALISATION


L int r t

L’INTÉRÊT

  • Pour le prêteur:

    • C’est le sacrifice de ne pas profiter d’un montant certain et immédiat en retour d’un montant incertain et ultérieur.

  • Pour l’emprunteur

    • C’est le prix de ne pas attendre pour bénéficier d’une opportunité immédiate.

  • C’est le prix du temps.


L int r t simple

L’INTÉRÊT SIMPLE

  • L’intérêt est simple s’il est toujours calculé sur le montant placé ou emprunté initialement

  • Donc les intérêts encaissés ou déboursés sont les mêmes.


D monstration

DÉMONSTRATION

  • Vous déposez 100 $ dans un compte à intérêt simple annuel de 5 % pendant 3 ans. Quel sera le montant accumulé à la fin de la troisième année.

  • L’intérêt simple n’est versé qu’au terme de la transaction et il est toujours calculé sur le capital initial de 100 $ de sorte qu’il est toujours égal à chaque période.


Sch matisation

5 $

5 $

5 $

0

1

2

3

Capital investi

100 $

Total des intérêts

Après 3 ans

Capital accumulé

Remise du capital

=

=

=

115 $

15 $

100 $

SCHÉMATISATION


D monstration1

DÉMONSTRATION

  • Lorsqu’il n’y a que quelques périodes, c’est simple, mais qu’en est-il s’il y a plusieurs périodes.


Formule

Ans

Principal au début

+ Intérêt annuel

= Montant accumulé

N

PV

S

FV

FV

=

PV + [(PV * I) * (N)]

FV

=

PV + PV * I * N

FV

=

PV * (1 + IN)

S

=

PV * I * N

=

FV - PV

FORMULE


Applications de l int r t simple

APPLICATIONS DE L’INTÉRÊT SIMPLE

  • Les certificats de dépôt

    • Les certificats de dépôt sont des prêts qu’effectuent les investisseurs aux institutions financières.

    • Ces certificats sont émis à leur valeur nominale et rapportent de l’intérêt.

    • Leur échéance peut varier entre 30 jours et 5 ans. Le taux d’intérêt offert sur un certificat de dépôt dépend principalement de la durée du placement.

    • Habituellement, plus les fonds sont placés pour une longue période, plus le taux d’intérêt offert par les institutions financières est élevé.


Applications de l int r t simple1

APPLICATIONS DE L’INTÉRÊT SIMPLE

  • Le prêt à intérêt simple

    • Le prêt à intérêt simple est équivalent aux certificats de dépôt à l’exception qu’il peut être effectué d’un particulier à un autre particulier.

    • L’échéance est variable.


Exemple 1

S

=

PV * I * N

FV

=

PV * (1 + IN)

=

1 000 * 0,10 * 1

=

1 000 * (1 + 0,10 * 3)

=

100 $

=

1 000 * 1,30

=

1 300 $

EXEMPLE 1

  • Vous désirez placer 1 000 $ dans un certificat de dépôt qui rapporte un intérêt simple de 10 % par année. La durée de ce placement est de trois ans.

    • Quel sera le montant annuel d’intérêt ?

    • Calculez le montant total qui vous sera versé au cours de la durée de ce placement.


Exemple 2

FV

=

PV * (1 + IN)

3 000 * (1 + I

* 219 / 365)

3 216

=

3 000 + 3 000 I * 0,60

3 216

=

1 800 I

3 216 – 3 000

=

1 800 I

216

=

I

216 / 1 800

=

I

=

12 %

EXEMPLE 2

  • Suite à un prêt de 3 000 $ consenti pour une période de 219 jours, un de vos amis vous a remis la somme de 3 216 $. Calculez le taux d’intérêt annuel sur ce prêt.


Exemple 3

FV

=

PV * (1 + IN)

=

25 000 * (1 + 0,08 * 7)

=

25 000 * 1,56

=

39 000 $

EXEMPLE 3

  • Calculez le montant accumulé d’un dépôt de 25 000 $ placé pendant 7 ans à un taux d’intérêt simple de 8 %.


Exemple 4

S

=

PV * I * N

=

10 000 * 0,09 * 4,5

=

4 050 $

EXEMPLE 4

  • Calculez l’intérêt simple d’un dépôt de 10 000 $ placé à 9 % pendant 4 ans et demi.


Exemple 5

FV

=

PV * (1 + IN)

=

5 000 * (1 + 0,06 * 6)

=

5 000 * 1,36

=

6 800 $

EXEMPLE 5

  • Vous empruntez à votre père 5 000 $ remboursable dans 6 ans afin de vous acheter une automobile. L’emprunt est à un taux d’intérêt simple de 6 % par année. Combien aurez-vous remboursé au total dans 6 ans ?


Exemple 6

FV

=

PV * (1 + IN)

1 000 * (1 + I

* 1)

1 080

=

1 000 + 1 000 I

1 080

=

1 000 I

1 080 - 1 000

=

1 000 I

80

=

I

80 / 1 000

=

I

=

8%

EXEMPLE 6

  • Un ami vous a prêté 1 000 $ pour un an à intérêt simple et vous devez lui remettre 1 080 $ à la date d’échéance. À quel taux avez-vous emprunté ?


Exemple 7

FV

=

PV * (1 + IN)

1 000 * (1 + I

* 3)

1 270

=

1 000 + 3 000 I

1 270

=

3 000 I

1 270 - 1 000

=

3 000 I

270

=

270 / 3 000

=

I

I

=

9%

EXEMPLE 7

  • Un autre ami vous a prêté 1 000 $ pour trois ans à intérêt simple et vous devez lui remettre 1 270 $ à la date d’échéance. À quel taux avez-vous emprunté ?


Exercices

EXERCICES

  • Exercices 1 à 9


L int r t compos

L’INTÉRÊT COMPOSÉ

  • La notion d’intérêt composé signifie que l’intérêt gagné pendant une période, s’ajoute au capital pour porter à son tour intérêt au cours de la période suivante.

  • Nous sommes alors en présence de l’intérêt sur l’intérêt.

  • Donc les intérêts touchés vont en s’accroissant de période en période.

  • La plupart des transactions financières, dont notamment, les prêts hypothécaires, les prêts automobiles, les contrats de location-achat, le crédit à la consommation (carte de crédit) sont tous des exemples faisant appel au concept de l’intérêt composé.


D monstration2

DÉMONSTRATION

  • Vous déposez 100 $ dans un compte à intérêt composé annuellement de 5 % pendant 3 ans. Quel sera le montant accumulé à la fin de la troisième année.

  • Pour la première année, il n’y a pas de différence. À partir de la deuxième année, les montant sont différents.


Sch matisation1

5 $

5.25 $

5,51 $

0

1

2

3

100 $

100 $

5 $

105 $

105,00 $

5,25 $

110.25 $

110,25 $

5,51 $

115,76 $

Après 3 ans

Capital accumulé

Remise du capital

Total des intérêts

=

=

=

100,00$

15,76 $

115,76$

SCHÉMATISATION


D monstration3

DÉMONSTRATION

  • Lorsqu’il n’y a que quelques périodes, c’est simple, mais qu’en est-il s’il y a plusieurs périodes.


Formule1

Ans

Principal au début

+ Intérêt annuel

= Montant accumulé

=

N

PV

S

FV

1

1

10

10 * (1 + 0,10)

=

10 * (1 + 0,10)

10 + 10 * 0,10

FORMULE

(10 * 0,10)


Formule2

Ans

Principal au début

+ Intérêt annuel

= Montant accumulé

=

N

PV

S

FV

1

1

10

(10 * 0,10)

10 * (1 + 0,10)

=

10 * (1 + 0,10)

1

1

1

2

10 * (1 + 0,10)

[10 * (1 + 0,10)

] * 0,10

[10 * (1 + 0,10)

] * (1 + 0,10)

=

10 * (1 + 0,10)

10 + 10 * 0,10 + 10 * 0,10 + 10 * 0,10 *0,10

(10 + 10 * 0,10) * (1 + 0,10) =

10 + 10 * 0,10 + 10 * 0,10 + 10 * 0,10 *0,10

FORMULE

2


Formule3

Ans

Principal au début

+ Intérêt annuel

= Montant accumulé

=

N

PV

S

FV

1

1

10

(10 * 0,10)

10 * (1 + 0,10)

=

10 * (1 + 0,10)

1

1

1

2

2

10 * (1 + 0,10)

[10 * (1 + 0,10)

] * 0,10

[10 * (1 + 0,10)

] * (1 + 0,10)

=

10 * (1 + 0,10)

2

2

2

3

3

10 * (1 + 0,10)

[10 * (1 + 0,10)

] * 0,10

[10 * (1 + 0,10)

] * (1 + 0,10)

=

10 * (1 + 0,10)

N-1

N-1

N-1

N

N

10 * (1 + 0,10)

[10 * (1 + 0,10)

] * 0,10

[10 * (1 + 0,10)

] * (1 + 0,10)

=

10 * (1 + 0,10)

FV Année 1

=

10 * (1 + 0,10)

=

PV * (1 + I)1

FV Année 2

=

10 * (1 + 0,10) * (1 + 0,10)

=

PV * (1 + I)2

FV Année 3

=

10 * (1 + 0,10) * (1 + 0,10) * (1 + 0,10)

=

PV * (1 + I)3

=

PV * (1 + I)N

FORMULE

OU

FV Année N


Exemple 11

N

Année

Solde au début

Intérêt encaissé

Montant accumulé

PV * (1 + I)

FV

=

1

100 000

100 000 * 0,09 = 9 000

109 000

4

100 000 * (1 + 0,09)

=

2

109 000

109 000 * 0,09 = 9 810

118 810

=

100 000 * 1,41158

3

118 810

118 810 * 0,09 = 10 693

129 503

=

141 158 $

4

129 503

129 503 * 0,09 = 11 655

141 158

EXEMPLE 1

  • Un industriel vient de négocier un taux d’intérêt de 9 % composé annuellement pour un placement de 100 000 $ dans une institution financière pour une période de quatre ans. Quel sera le montant d’intérêt gagné pour chacune des périodes et quel montant cette transaction permettra-t-elle d’accumuler au bout de ces quatre ans ?


Exemple 21

N

PV * (1 + I)

FV

=

7

25 000 * (1 + 0,08)

=

=

25 000 * 1,7138

=

42 846 $

EXEMPLE 2

  • Calculez le montant accumulé d’un dépôt de 25 000 $ placé pendant 7 ans à un taux d’intérêt composé de 8%.


Exemple 31

N

PV * (1 + I)

FV

=

4,5

10 000 * (1 + 0,09)

=

=

10 000 * 1,4737

=

14 737 $

S

=

FV - PV

=

14 737 - 10 000

=

4 737 $

EXEMPLE 3

  • Calculez l’intérêt d’un dépôt de 10 000 $ placé à 9 % pendant 4 ans et demi à intérêt composé.


Exemple 41

N

PV * (1 + I)

FV

=

6

5 000 * (1 + 0,06)

=

=

5 000 * 1,4185

=

7 093 $

EXEMPLE 4

  • Vous empruntez à votre père 5 000 $ remboursable dans 6 ans afin de vous acheter une automobile. L’emprunt est à un taux d’intérêt composé de 6 % par année. Combien aurez-vous remboursé au total dans 6 ans ?


Exemple 51

N

PV * (1 + I)

FV

=

1 000 * (1 + I)1

1 080

=

(1 + I)1

1 080 / 1 000

=

1 + I

1 080 / 1 000

=

I

1,08 - 1

=

I

=

8%

EXEMPLE 5

  • Un ami vous a prêté 1 000 $ pour un an à intérêt composé et vous devez lui remettre 1 080 $ à la date d’échéance. À quel taux avez-vous emprunté ?


Exemple 61

N

PV * (1 + I)

FV

=

1 000 * (1 + I)3

1 270

=

(1 + I)3

1 270 / 1 000

=

3

3

+

(

1

I

)

=

1

,

27

(1 + I)

1.0829

=

=

8,29%

I

EXEMPLE 6

  • Un autre ami vous a prêté 1 000 $ pour trois ans à intérêt composé et vous devez lui remettre 1 270 $ à la date d’échéance. À quel taux avez-vous emprunté ?


Exercices1

EXERCICES

  • 10 à 23


Fr quence de capitalisation des taux

FRÉQUENCE DE CAPITALISATION DES TAUX

  • La fréquence de capitalisation indique la base sur laquelle les intérêts sont ajoutés.

  • Annuelle

    • Les intérêts sont ajoutés une fois par année.

  • Semestriellement

    • Les intérêts sont ajoutés deux fois par année.

  • Trimestriellement

    • Les intérêts sont ajoutés quatre fois par année.

  • Mensuellement

    • Les intérêts sont ajoutés douze fois par année.


Exemple

EXEMPLE

  • Imaginez que vous venez de gagner à la loto un montant de 500 000 $. Vous désirez placer cet argent pour 10 ans. Trois banques vous offrent les possibilités suivantes:

    • Banque A: Un taux de 12,00 % à capitalisation annuelle.

    • Banque B: Un taux de 11,75 % à capitalisation mensuelle.

    • Banque C: Un taux de 11,50 % à capitalisation quotidienne.

  • Quelle offre allez-vous choisir ?

  • Pour faire ce choix, il faut apprendre à manipuler trois types de taux d’intérêt.


Les types de taux d int r t

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT

  • Le taux d’intérêt nominal

    • C’est le taux d’intérêt nommé, c’est-à-dire le taux qu’on affiche.

    • C’est le taux d’intérêt annuel.

  • Dans notre exemple:

    • Banque A: 12,00 %

    • Banque B: 11,75 %

    • Banque C: 11,50 %

  • Est-ce que nous pouvons prendre une décision à l’aide de ces taux ?

    • NON. Si les taux comparés ne sont pas tous capitalisés avec la même fréquence, on ne peut pas prendre de décision financière.


Les types de taux d int r t1

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT

  • Le taux d’intérêt périodique

    • C’est le taux d’intérêt qu’on applique à chaque période de capitalisation.

    • Si la période de capitalisation est mensuelle, le taux d’intérêt périodique sera un taux mensuel.

  • On obtient le taux d’intérêt périodique en divisant le taux nominal par le nombre de périodes de composition du taux dans une année.


Les types de taux d int r t2

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT

i = I / m

  • i = Le taux d’intérêt périodique.

  • I = Le taux d’intérêt nominalI = i * m.

  • m = Le nombre de fois que le taux est capitalisé dans une année.

  • N = L’échéance en années, d’une transaction.

  • n = Le nombre total de périodes d’accumulation ou de capitalisation n = N * m.


Les types de taux d int r t3

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT

  • Dans notre exemple:

    • Banque A: i = I / m = 12,00 % / 1 fois par année = 12 % par année

    • Banque B: i = I / m = 11,75 % / 12 fois par année = 0,9792 % par mois

    • Banque C: i = I / m = 11,50 % / 365 fois par année = 0,0315 % par jour

  • Est-ce que nous pouvons prendre une décision à l’aide de ces taux ?

    • NON. Si les taux comparés ne sont pas tous capitalisés avec la même fréquence, on ne peut pas prendre de décision financière.

  • Par contre, nous pouvons calculer la valeur du placement à une date donnée afin de déterminer quel est le choix logique.


Les types de taux d int r t4

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT

  • Supposons qu’on veuille calculer la valeur capitalisée de 500 000 $ après 2 ans pour chacune des 3 banques :

    • On sait déjà que: FV = PV * (1 + I)N

    • Toutefois, cette formule n’est valide que dans le cas d’une capitalisation annuelle.

    • Il faut donc la transformer de la façon suivante:

    • FVn = PV * (1 + I/m)N*m

    • Comme I/m = i et que N*m = n, la formule est représentée de la façon suivante:

    • FVn = PV * (1 + i)n


Les types de taux d int r t5

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT

  • Dans notre exemple:

    • Banque A: FVn = PV * (1 + i)n

      • FV2*1 = 500 000 * (1 + 0,12/1)2*1

      • FV2 = 627 200 $

    • Banque B:FVn = PV * (1 + i)n

      • FV2*12 = 500 000 * (1 + 0,1175/12)2*12

      • FV24 = 631 732 $

    • Banque C: FVn = PV * (1 + i)n

      • FV2*365 = 500 000 * (1 + 0,1150/365)2*365

      • FV730 = 629 277 $

  • Est-ce que nous pouvons prendre une décision à l’aide de ces résultats ?

    • OUI. Pour le même capital initial (500 000 $) et un même terme (2 ans), la banque B procure un montant plus important.


Exercices2

EXERCICES

  • 24 à 38


Les types de taux d int r t6

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT

  • Le taux d’intérêt effectif

    • C’est le rapport de l’intérêt gagné ou chargé (valeur future moins la valeur présente) dans une année sur le capital initial (valeur présente).

      ie = (Valeur future – Valeur présente) / Valeur présente

      ie = (FVn – PV) / PV


Les types de taux d int r t7

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT

  • Dans notre exemple:

    • Banque A: ir = (FVn – PV) / PV

      • FV1*1 = ([500 000 * (1 + 0,12/1)1*1] – 500 000) / 500 000

      • FV1 = (560 000 – 500 000) / 500 000 = 12 %

    • Banque B:ir = (FVn – PV) / PV

      • FV1*12 = ([500 000 * (1 + 0,1175/12)1*12]– 500 000) / 500 000

      • FV12 = (562 020 – 500 000) / 500 000 = 12,40 %

    • Banque C: ir = (FVn – PV) / PV

      • FV1*365 = ([500 000 * (1 + 0,1150/365)1*365 ]– 500 000) / 500 000

      • FV365 = (560 926 – 500 000) / 500 000 = 12,19 %

  • Est-ce que nous pouvons prendre une décision à l’aide de ces résultats ?

    • OUI. La banque B procure un rendement plus important. C’est que son taux effectif est supérieur aux deux autres banques.


Les types de taux d int r t8

n = N * m

i= I / m

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT

  • Le taux d’intérêt effectif : Une formule simple

  • Prenons 1 $ capitalisé 12 fois par an à un taux de 10 % pendant un an.

FVn = PV * (1 + i)n

FVn = 1 * (1 + 0,10 / 12)1*12

FVn = 1 * 1,1047

FVn = 1,1047


Les types de taux d int r t9

N * m où N = 1

ie = (1 + i)m - 1

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT

ie = (FVn – PV) / PV

ie = (1,1047 – 1) / 1

ie = 0,1047 ou 10,47 %

  • Cela correspond à 1 $ capitalisé 1 fois par an à une taux de 10,47 %

FVn = 1,1047

ie = 1,1047 -1


Les types de taux d int r t10

LES TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT

  • Le taux d’intérêt effectif : Une formule simple

    ie = (1 + i)m - 1

  • Dans notre exemple:

    • Banque A: ie = (1 + i)m - 1

      • ie = (1 + 0,12/1)1 – 1

      • ie = 12 %

    • Banque B:ie = (1 + i)m - 1

      • ie = (1 + 0,1175/12)12 – 1

      • ie = 12,40 %

    • Banque C: ie = (1 + i)m - 1

      • ie = (1 + 0,1150/365)365 – 1

      • ie = 12,19 %

  • Le taux effectif est le seul taux qu’on puisse comparer d’une institution à l’autre.


Exercices3

EXERCICES

  • 39 à 40


Les annuit s

LES ANNUITÉS

  • On appelle annuité toute série de versements égaux faits à des intervalles de temps égaux, même si ces intervalles sont des mois ou des semestres.


Les sortes d annuit s

LES SORTES D’ANNUITÉS

  • Les annuités simples

  • Les annuités générale


Les annuit s simples

LES ANNUITÉS SIMPLES

  • Nous avons une annuité simple lorsque la fréquence de la capitalisation des intérêts (m) est la même ou coïncide avec la fréquence des versements (v).

  • À titre d’exemple, le prêt automobile et le prêt personnel sont des annuités simples puisque les versements sont mensuels et la capitalisation des intérêts est également mensuelle.


Les annuit s g n rales

LES ANNUITÉS GÉNÉRALES

  • Nous avons une annuité générale lorsque la fréquence de la capitalisation des intérêts (m) est différente de la fréquence des versements (v).

  • À titre d’exemple, le prêt hypothécaire est une annuité générale puisque les versements sont habituellement mensuels ou hebdomadaire alors que la capitalisation des intérêts est semestrielle.


Les annuit s de fin et de d but de p riode

LES ANNUITÉS DE FIN ET DE DÉBUT DE PÉRIODE

  • Les annuités simples et générales seront dites de fin ou de début de période selon le moment où le premier versement est effectué.

  • Dans le cas d’un prêt automobile ou d’un prêt hypothécaire, le premier versement est habituellement payable un mois après avoir contracté l’emprunt. C’est une annuité de fin de période.

  • Dans le cas d’un contrat de location-achat et de divers comptes de placements tels que les REÉR, le premier versement est dû ou payable au début du mois. C’est une annuité de début de période.


La valeur accumul e d une annuit simple de fin de p riode d monstration

La valeur accumulée d’une annuité simple de fin de période - Démonstration

  • Vous décidez de verser à la fin de chaque année pendant 5 ans, un montant de 100 $ dans un REÉR. Si les versements portent intérêt à 7 % composé annuellement, quel sera le montant que vous accumulerez dans 5 ans ?


La valeur accumul e d une annuit simple de fin de p riode

?

?

?

?

100 $

100 $

100 $

100 $

100 $

0

1

2

3

4

5

La valeur accumulée d’une annuité simple de fin de période

100 * (1 + 0,07)4 = 131,08 $

100 * (1 + 0,07)3 = 122,50 $

100 * (1 + 0,07)2 = 114,49 $

100 * (1 + 0,07)1 = 107,00 $

100 * (1 + 0,07)0 = 100,00 $

= 575,07 $


Formule4

FORMULE

FV = PMT * (1 + i)n – 1

i

FV = 100 * (1 + 0,07)5 – 1

0,07

FV = 575,07 $


Exemple 12

EXEMPLE 1

  • Vous déposez à compter de la fin du mois et ce mensuellement un montant de 350 $ dans un compte d’épargne au taux de 6 % pendant 5 ans. Combien aurez-vous accumulé dans votre compte après avoir fait votre dernier versement ?

FV = PMT * (1 + i)n – 1

i

FV = 350 * (1 + 0,06/12)5*12 – 1

0,06/12

FV = 24 419,51 $


La valeur pr sente d une annuit simple de fin de p riode d monstration

La valeur présente d’une annuité simple de fin de période - Démonstration

  • Vous désirez connaître le capital requis aujourd’hui pour recevoir une rente annuel de 100 $ à la fin de chacune des cinq prochaines années si le taux de rendement sur le capital est de 7 % composé annuellement.


La valeur pr sente d une annuit simple de fin de p riode

La valeur présente d’une annuité simple de fin de période

?

?

?

?

?

100 $

100 $

100 $

100 $

100 $

0

1

2

3

4

5

100 * (1 + 0,07)-1 = 93,46 $

100 * (1 + 0,07)-2 = 87,34 $

100 * (1 + 0,07)-3 = 81,63 $

100 * (1 + 0,07)-4 = 76,29 $

100 * (1 + 0,07)-5 = 71,30 $

= 410,02 $


Formule5

FORMULE

PV = PMT * 1 - (1 + i)-n

i

PV = 100 * 1 - (1 + 0,07)-5

0,07

PV = 410,02 $


Exemple 22

EXEMPLE 2

  • Quelques mois après avoir trouvé votre premier emploi, vous décidez d’acheter une voiture d’occasion dont le prix est 12 000 $. N’ayant que 1500$ d’économies, vous sollicitez un prêt pour la somme manquante. Le taux d’intérêt exigé sur ce type d’emprunt est de 12 % capitalisé mensuellement et la durée maximale du prêt est de 4 ans. Sachant que les versements sont effectués à la fin de chaque mois, calculez la mensualité que vous aurez à débourser pour satisfaire les conditions de ce prêt.

PV = PMT * 1 - (1 + i)-n

i

10 500 = PMT * 1 - (1 + 0,12/12)-4x12

0, 12/12

PMT = 276,51 $


Le solde rembourser d un emprunt d monstration

Le solde à rembourser d’un emprunt - Démonstration

  • Vous avez emprunté la somme de 2 000 $ à un de vos amis. Vous deviez rembourser cette somme au moyen de 10 paiements semestriels de fin de période à un taux de 10 %. Après avoir effectué le sixième versement, vous désirez connaître le solde de votre dette.

  • Trouvons d’abord la semestrialité (PMT).

PV = PMT * 1 - (1 + i)-n

i

2 000 = PMT * 1 - (1 + 0,10/2)-5x2

0, 10/2

PMT = 259,01 $


Le solde rembourser d un emprunt d monstration1

Le solde à rembourser d’un emprunt - Démonstration

  • Nous pouvons maintenant calculer le solde de la dette.

  • Visualisons la situation comme suit:

Versements déjà effectués

259,01 $

259,01 $

259,01 $

259,01 $

259,01 $

259,01 $

259,01 $

259,01 $

259,01 $

259,01 $

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5 000 $

Localisation du solde

de la dette


Le solde rembourser d un emprunt d monstration2

Le solde à rembourser d’un emprunt - Démonstration

  • Le solde d’un emprunt correspond à la valeur présente des versements restant à effectuer.

259,01 $

259,01 $

259,01 $

259,01 $

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5 000 $

Solde de la dette à la

fin de la 6ième période


Le solde rembourser d un emprunt d monstration3

Le solde à rembourser d’un emprunt - Démonstration

259,01 $

259,01 $

259,01 $

259,01 $

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5 000 $

Solde de la dette à la

fin de la 6ième période

PV = PMT * 1 - (1 + i)-n

i

PV = 259,01 * 1 - (1 + 0,10/2)-4

0, 10/2

PV = 918,44 $


Exercices4

EXERCICES

  • 41 à


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