相乗平均から対数の世界へ
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相乗平均から対数の世界へ. 1月28日. 1月29日. 1月30日. × 1.6. × 1.25. 相乗平均. ■  平均倍率. 例1 株価の推移. 100円. 200円. 160円. 平均何倍ずつ増えたのだろうか. 100円. 200円. 160円. × 1.6. × 1.25. 1月28日. 1月29日. 1月30日. 1.6+1.25. 両方とも1.425倍にしてみると・・・. 2. × 1.425. × 1.425. 相乗平均. =1.425  倍. 100円. 203.0625円. ≠ 200円. 142.5円.

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Presentation Transcript


1

相乗平均から対数の世界へ


1

1月28日

1月29日

1月30日

×1.6

×1.25

相乗平均

■ 平均倍率

例1 株価の推移

100円

200円

160円

平均何倍ずつ増えたのだろうか


1

100円

200円

160円

×1.6

×1.25

1月28日

1月29日

1月30日

1.6+1.25

両方とも1.425倍にしてみると・・・

×1.425

×1.425

相乗平均

=1.425 倍

100円

203.0625円

≠200円

142.5円

だいたい良いような気もするが・・・ちょうど200円にならないか?


1

1月28日

1月29日

1月30日

×1.6

×1.25

1.6×1.25=  2

100円

100円

× 2

× 2

× 2

× 2

× 2

1.6×1.25

相乗平均

そこで・・・

100円

200円

160円

=200円

100円

こちらの方が適当ではないだろうか。

1つの物の連続した2つの期間の倍率の平均は・・・かけ算&√

・・・・・・ 相乗平均 という


1

ある日

1ヶ月後

2ヶ月後

2匹

32匹

4匹

×2

×8

2×8=4

×4

×4

相乗平均

例2 ねずみの家族

32匹

2匹

8匹

=32匹

×4

2匹

×4


1

a2

a1

a3

a1

a2

a4

×R2

×R1

×R3

×R1

×R2

a3

an

an+1

・・・

・・・3つの積の3乗根が平均倍率

×Rn

×Rn-1

・・・n個の積のn乗根が平均倍率

相乗平均

ということは・・・

期間が3つの場合

期間がn個の場合


1

×2

×128

対数を使う

■ 倍率の内分

相乗平均

2つの期間の倍率の平均 ・・・・・・

a3

a2

a1

相乗平均

ところで

・・・1:1に内分する点 と考えれば

=中点

平均

別の比の内分も定義できる


1

128倍

2倍

対数を使う

2倍と128倍を1:2に内分する倍率は?

直線的に考えれば (内分の復習)

=44

44倍

だが・・・・・・

相乗平均と同じように考えるとどうなるか?


1

2倍と128倍の相乗平均を

とおくと

は     と       の相加平均

は     と       を1:1に内分する点

対数を使う

相乗平均を分析してみよう

対数をとる


1

2×log2+1×log128

1+ 2

=

対数を使う

では・・・

2倍と128倍を1:2に内分する倍率をRとすると

logRはlog2と log128 を1:2に内分する点だから

logR

2倍と128倍を1:2に内分する倍率は

8倍


1

直線補完

128倍

44倍

対数補完

8倍

2倍

このように、対数で内分して途中の値を補完する方法を

対数補完という

対数を使う

複利での資産運用など、幾何級数的な変数を補完する


1

今年部屋で発見したカメムシの数の推移

2:3

3:2

1:4

4:1

対数を使う

細かく対数補完しよう

倍率でなくても幾何級数的に増加する変数そのものに使えそう

1月1日

1月6日

1月11日

200匹

2匹

20匹

内分して毎日の数を求める

それぞれの期間を5等分して、直線と対数のそれぞれの方法で

各比で内分


1

200匹

20匹

たくさんの点の加重平均・・・期待値

2匹

対数を使う

さらに・・・

内分

=2点の加重平均

対数の確率分布を考えてみよう


1

f(logS)

正規分布

logS

おまけ

対数正規分布とは

ある変数Sに対して

X=logS で定義する

S の関数 X を

Sは対数正規分布に従うという

Xが正規分布に従うとき

例 株価の分布

・・・明日の株価はいくらになるだろうか?

ある株が明日S円になる

これを繰り返し観察する

正規分布に従う

株価Sは対数正規分布に従う

logS

※実際には明日という日は1度しかなく、同じ条件で繰り返し観察するのは不可能だが・・・

ドラえもんにお願いすれば観察可能(中心極限定理で証明)


1

X

f(logS)

正規分布

f(logS)

対数正規分布

S=ex

それらを前提とした

株価の対数正規分布が得られる

S

おまけ

逆に、ある期待値と標準偏差の

正規分布が与えられれば、

X=logS だから

分布のイメージ ・・・

0の壁で動きが制限される


1

ブラック=ショールズモデル

金融派生商品(デリバティブ)の価格計算式

ではなくて、   ノーベル経済学賞

ない!

おまけ

■ まめ知識        対数正規分布に従うもの

金利、為替など・・・値の範囲が 0~+∞であるもの

様々な金融商品の価格が対数正規分布に従う

数学者の ブラック先生 と ショールズ先生 が発明し、

マートン先生 が証明

ショールズ先生とマートン先生はノーベル賞を受賞

・・・1997年

ブラック先生は?

1995年 ご逝去

ところで、ノーベル数学賞?


1

はがす

logs

歪んだ壁に貼った

馬の絵

変数s

平均、内分、分布を調べたい

f

相加平均

相乗平均

直線補完

対数補完

正規分布

対数正規分布

縞を描く

ef(X)

f(X)

シマウマに変えたい

壁に貼る

まとめ

■ まとめ


1

終わり


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