Równania funkcyjne

2. Równania funkcyjne

3. Nazwa szkoły: Informacyjne Liceum Ogólnokształcące ,,Computer College” ID Grupy: 97_12_MF_G1 Opiekun : Maria Felchner Kompetencja: Matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Równania funkcyjne Semestr V rok szkolny 2011/2012

4. Nazwa szkoły: III LO Ostrów Wielkopolski ID grupy: 97/27_MF_G1 Opiekun: Krystyna Chmielewska Kompetencja: matematyczno – fizyczna Temat projektowy: Równania funkcyjne Semestr V rok szkolny 2011/2012

5. Spis Treści Równania funkcyjne Wprowadzenie do tematu. Przykładowe zadania wraz z rozwiązaniami

6. Podstawowe pojęcia: • Funkcja addytywna - funkcja f, której wartość dla sumy argumentów równa się sumie jej wartości dla poszczególnych argumentów: f(x+y) = f(x)+f(y). • Funkcje parzyste i nieparzyste – funkcje cechujące się pewną symetrią przy zmianie znaku argumentu. Prowadzi to również do symetrii ich wykresów. Funkcja jest: • parzysta, jeżeli spełnia równanie f(x)=f(-x) (symetria względem zmiany znaku argumentu); • nieparzysta, jeżeli spełnia równanie f(-x)=-f(x) (symetria względem jednoczesnej zmiany znaku argumentu i wartości funkcji).

7. Równanie Równanie- równość dwóch wyrażeń, np. algebraicznych, zawierających symbole literowe zwane niewiadomymi. Np. 2x+8=0 jest to równanie z jedną niewiadomą x, x2+y2=9 jest to równanie z dwoma niewiadomymi x i y itp. Równanie może stanowić przedmiot zagadnienia, które polega na wyznaczeniu rozwiązań tego równania, tzn. takich np. liczb, które po podstawieniu w miejsce niewiadomej spełniają dane równanie. Rozwiązać równanie znaczy to znaleźć wszystkie jego rozwiązania.

8. Przykładowe rozwiązania równań 2x+6=0 posiada jedno rozwiązanie x=3, X2+5x+4=0 dwa rozwiązania: x1=-4, x2=-1 X+y=1 posiada nieskończenie wiele rozwiązań: x można przyjmować dowolnie, zaś y=1-x. X2+y2=9 ma także nieskończenie wiele rozwiązań: x można przyjmować dowolnie w przedziale -3≤x≤3,

9. Równanie funkcjne • Jest to równanie, którego niewiadomą jest funkcja. • Przykładami mogą być : • Wszystkie równania różniczkowe i równania całkowe. • Równanie f(x + y) = f(x) + f(y) spełniają funkcje addytywne. • Równania f(x) = f( − x) oraz f(x) = − f( − x) spełniają odpowiednio funkcje funkcje parzyste i nieparzyste. • Znajdźmy wszystkie funkcje dla których f(x + y)2 = f(x)2 + f(y)2. • Podstawiając x = y = 0 otrzymujemy f(0)2 = 2f(0)2, czyli f(0) = 0. • Niech y = − x, wówczas • 0 = f(0)2 = f(x − x)2 = f(x)2 + f( − x)2 • Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a suma liczb nieujemnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy obie te liczby są równe zeru, więc równość f(x) = 0 jest spełniona dla każdego x. Zatem jedyną funkcją spełniającą dane równanie funkcyjne jest f(x) = 0. • Równania rekurencyjne: jedynym ciągiem spełniającym warunki a1 = 1, an + 1 = (n + 1)an • Jest ciąg an = n!.

10. Równanie Cauchy’ego- zadanie 1.Wyznaczyć ogólną postać funkcji ciągłej f: R->R, spełniającej tzw. Równanie funkcyjne Cauchy’ego f(x+y)= f(x)+ f(y) dla x,y R Odp. Załóżmy, że f jest funkcją spełniającą równanie Cauchy’ego. Oznaczamy a = f(1) i zauważmy, że funkcja f jest funkcją nieparzystą. Rzeczywiście po podstawieniu do równania y = -x mamy: 0 = f(0) = f(x-x) = f(x)+ f(-x), skąd f(-x)= - f (x), zauważmy dalej, że f (n) = f (n*1)= n f (1)=na, dla dowolnego n €N. Dalej, dla dowolnych m,n € N mamy f (m)= f (n*m/n) = n f (m/n), skąd f(m/n)= 1/n f(m)=m/n*a. Stąd i z nieparzystości funkcji f wnioskujemy, że dla dowolnej liczby wymiernej r zachodzi f(r) = ra. Zauważmy, że do tej pory nie korzystaliśmy z ciągłości funkcji f. Ustalmy teraz dowolnie liczbę rzeczywistą x oraz weźmy ciąg {rn} liczb wymiernych zbieżny do x. Wtedy (ciągłość f ) mamy: f(x) = f (limn-> ∞ r n)= lim n-> ∞f(rn)= lim n-> ∞ r n a = ax. Zatem każda funkcja ciągła spełniająca równanie Cauchy’ego jest funkcją postaci f(x)=ax.

11. Aczel Janos Aczel Janos- jest matematykiem, uczniem Leopolda Fejera zaliczanego obecnie do klasyków matematyki. Jest twórcą teorii równań i nierówności funkcyjnych i jej niekwestionowanym liderem światowym. Urodzony w 1924 roku na Węgrzech, ukończył studia matematyczne na Uniwersytecie w Budapeszcie, gdzie uzyskał także doktorat i habilitację.

12. Marek Kuczma Uznawany za ojca polskiej szkoły równań funkcyjnych. Marek Kuczma – polski matematyk; profesor. W roku 1968 ukazała się drukiem fundamentalna monografia Functional equations in a single variable autorstwa Marka Kuczmy. Stworzyła ona podwaliny systematycznej teorii równań funkcyjnych o jednej zmiennej. Sam Marek Kuczma rolę swego dzieła postrzegał tak: Głównym moim osiągnięciem naukowym jest stworzenie i rozwinięcie (częściowo wespół z moimi uczniami) systematycznej teorii równań funkcyjnych o jednej zmiennej. Teoria ta została przedstawiona w mojej monografii ...Jest to jedyna w świecie monografia poświęcona temu przedmiotowi i jest stale cytowana przez wszystkich autorów piszących na ten temat.

13. Zadania

26. Zadania o zróżnicowanym poziomie trudności

27. Uzasadnij, że dla dowolnej liczby n i dla każdej funkcji liniowej f, prawdziwa jest równość f(2n+1)+(f(2n-1)=2f(2n). f(n)=an+b f(2n+1)=(2n+1)a+b=2an+a+b f(2n-1)=(2n-1)a+b=2an-a+b 2f(2n)=2(2an+b)=4an+2b Po podstawieniu: 2an+a+b+2an-a+b=4an+2b 4an+2b=4an+2b L=P c.n.u.

28. Funkcja f jest określona wzorem Dla wszystkich liczb rzeczywistych x≠1. Rozwiąż nierówność f(x) < f(2-x)

29. Rozwiązanie:  Podstawiamy dane do równania  Skracamy i upraszczamy równanie  Sprowadzamy do wspólnego mianownika i odejmujemy  Skracamy nawiasy  2 jest zawsze dodatnia, więc sprawdzamy mianownik  Z tego otrzymujemy rozwiązanie:

30. Zadanie Funkcja f: R R, spełnia dla każdej liczy rzeczywistej x, zależność: f(x)=f(f(x))+x Udowodnij, że funkcja f, ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

31. Rozwiązanie Podstawmy pod x liczbę 0: x=0 Dzięki czemu otrzymujemy: f(0)=f(f(0) Następnie podstawmy: x=f(0) otrzymujemy: f(f(0))=f(f(f(0))) + f(0) Co po uwzględnieniu poprzedniej równości daje nam: f(0)=f(0)+f(0) czyli, f(0)=0  0 jest miejscem zerowym funkcji

32. Sprawdzenie Teraz kiedy wiemy już, że 0 jest miejscem zerowym funkcji musimy sprawdzić, czy są inne miejsca zerowe. Załóżmy, że d jest miejscem zerowym funkcji f, czyli, że f(d)=0. Teraz podstawmy x=d. Wniosek: d=0 i co za tym idzie, nie ma więcej miejsc zerowych.

33. Zadania z Olimpiad Matematycznych

36. Projekt przygotowali: III LO Ostrów Wielkopolski: Szymon Andrzejak Łukasz Bartsch Michał Biegański Przemek Cieluch Mateusz Cierpka Mateusz Gierz Marcin Leja Kasia Pałat Karolina Pławucka Alicja Sobczak Robert Śledzik Mikołaj Tomczak Michał Walkowiak Computer College: Magdalena Ćwik Anita Dudek Jagoda Glegoła Adriana Jaworska Daniela Karasińska Paulina Kilianek Milena Korgiel Paweł Lesiak

37. Bibliografia: • http://pl.wikipedia.org/wiki/Marek_Kuczma, • http://www.math.us.edu.pl/instytut/historia kuczma/kuczma.html, • http://www.matematycy.interklasa.pl/biografie/matematyk.php?str=aczel, • „Wykłady z analizy matematycznej” II Walter Rusin Warszawa 2004, • „Matematyka próbne arkusze maturalne” Oficyna edukacyjna, Krzysztof Pazdro, • „Matematyka Matura 2012 zakres rozszerzony” Operon, Marzena Orlińska, • „Matematyka” podręcznik dla klas trzecich, Nowa Era W. Babiański, L Chańko, J. Czarnowska, J. Wesołowska, • „Zbiór zadań i testów maturalnych do obowiązkowej matury z matematyki” Aksjomat, D. Masłowska, T. Masłowski, A. Makowski, P. Nodzyński, E. Słomińska, A. Strzelczyk, Korczyc Tadeusz, Matematyka Zbiór tematów z egzaminów wstępnych na wyższe uczelnie, Warszawa, Wydawnictwo szkolne i pedagogiczne.

38. Dziękujemy 