Cubic Residue and Cubic Root Modulo p

Cubic Residue andCubic Root Modulo p 東京都立大学理学部数学科藤代武人

卒業研究のテーマ 前期のゼミでは「平方剰余・modpでの平方根」について学びました. そこで・・・「立方剰余はどう計算する？」「 modpでの立方根はどう計算する？」以上の事を中心に後期では研究をしました.

本日の内容 • Cubic Residue (立方剰余) • Cubic Root (立方根)

Cubic Residue…? • 定義 [ (rational) 立方剰余 ]

疑問… • 平方剰余と同様のことはできるだろうか? • 剰余記号 • 相互法則 (補充法則) • ヤコビ記号 • アルゴリズム

立方剰余記号 • 定義 [立方剰余記号]

立方剰余記号について 平方剰余記号の場合と同様のことが言える. • multiplicity • modularity • generalize (ヤコビ記号)

立方剰余の相互法則 これらの法則は, 剰余記号を計算する上で重要な役割を果たすことになる. (補充法則)

Algorithmのポイント • 剰余記号は,先程の相互法則・補充法則を繰り返し用いて計算する. (互除法のアルゴリズムと似ている.) • 今回紹介するものの他にも立方剰余を求めるアルゴリズムはある. • 有理数を扱う場合には注意が必要なので, 次で触れることにする.

α:有理整数, β:有理素数の場合 • β = 2 (mod 3) の有理素数の場合 ⇒Z [ω] 上においても, βは素元となっているのでそのまま計算できる. • β = 1 (mod 3) の素数の場合 ⇒

Algorithm (Cubic Residue)[1/2] α:有理整数, β:有理素数(mod 3で1)の場合,β=ππとなるπを求めβとする. (これはcornacchiaのアルゴリズム[HP参照]を利用して計算する.)

Algorithm (Cubic Residue)[2/2]

Cubic Root…? modp で3乗根が存在するかどうかは, 確かめることができた. 実際に,根は何になるのか? どのように求める? modpでの平方根を求めるアルゴリズムを 3乗根へ拡張する!!

Algorithmのポイント [1/2] • 入力に関して解はひとつに定まる解は３つある

Algorithmのポイント [2/2] 具体的にはこの「g」と「k」を求めていくアルゴリズムである.

Algorithm (Cubic Root) [1/2]

Algorithm (Cubic Root) [2/2]

計算量について • Cubic Residue • Cubic Root 平方根を求めるアルゴリズム(Tonelli-Shanks method)と同様に, O(log4p) となる.

まとめ • 相互法則等の証明は今回は省略しました．詳細に関しては参考文献(*)(**)等を参照してください．また,pythonで作成したプログラム等は http://tnt.math.metro-u.ac.jp/labo/grad/2006/taketo/ にあります. • 今後の課題 • 3乗根を求めるアルゴリズムについてはさらに速く(O(log3p)で)計算できるものがあります． • このalgorithmをもとに, Cardanoの方法を用いて, Fp上での3次方程式を解くことも可能となります.

References(1/2) Ⅰ) Ⅱ) Ⅲ)

References(2/2) Ⅳ) Ⅴ)

Cubic Residue and Cubic Root Modulo p