3- PROGRAMACION LINEAL PARAMETRICA

1. 3- PROGRAMACION LINEAL PARAMETRICA

2. ORIGEN: En las aplicaciones prácticas, muchas veces se desconoce el valor exacto de los coeficientes que aparecen en un problema de programación lineal. DEFINICIONES • Dado (P) Min cTx / Ax = b, x  0, definimos el problema lineal paramétrico en los costos como: (Pc) Min (c+c*)Tx / Ax = b, x  0, y el problema lineal paramétrico en los términos independientes como: (Pb) Min cTx / Ax = b+ b*, x  0,

3. PARAMETRICO EN LOS COSTOS • Supongamos que el problema (Pc) se resolvió para un cierto valor de  = 0. Sean: • B la base óptima y B-1=( ij) • XB el vector básico asociado a B y  la solución dual • cB el vector de costos asociado a la base B y cB* los correspondientes c* asociados a B. •  = cBTB-1 y  *= cB*TB-1 • costos reducidos: c’+ c*’, donde c’=c-  TA y c*’= c*-  *TA • Nota: todos los vectores * pueden ser llevados en forma simultánea en el simplex

4. La base B, encontrada para =0, es una base óptima   / c’+ c*’  0 , o sea:  / m  M, siendo [m,M el intervalo característico o de optimalidad de B con: m= max (-cj’/ cj*’ , j / cj*’ >0) o m=- si cj*’  0  j M= min (-cj’/ cj*’ , j / cj*’ <0) o M=+ si cj*’ 0  j • Si m>M elintervalo es vacío y B no puede ser una base óptima. • Si m=M hay un único valor de  para el cual B es óptima. • Para  [m,M la solución óptima es x= B-1b,valor óptimo del objetivo z+z* y las variables duales  + *

5. Esquema del algoritmo: 1- Resolver (Pc) para  =  0, sea B la base óptima final, i=0 2- Calcular el intervalo de optimalidad [mi,M i . 3- Si Mi finito: resolver (Pc) para  >Mi, si no ir a 4: Sea s= el j que alcanza el valor mínimo en la expresión de Mi / Mi=-cs’/cs*’. Cuando  >Mi, entrar xs a la base: si ais 0 i, entonces el problema es no acotado   >Mi, si no, entrar xs a la base y calcular la nueva base B’, mi+1=M i, calcular el nuevo M i+1, i=i+1, actualizar , ir a 3. 4- i=0, 5- Si mi finito: resolver (Pc) para  < mi, si no, fin. Identificar s/ mi=-cs’/cs*’. Entrar xs a la base: si ais 0 i, entonces el problema es no acotado   <mi, si no entrar xs a la base y calcular la nueva base B’, Mi+1=m i, calcular el nuevo mi+i, i=i+1, actualizar , ir a 5.

6. NOTAS: • Los intervalos característicos de las bases óptimas no se superponen, salvo en los extremos de los intervalos. • Los intervalos donde la función objetivo z(x) es no acotada son intervalos de la forma: (-, *) o (*,+) • En el algoritmo, una vez que el  deja el intervalo característico, la base óptima no se vuelve a repetir. Si se utilizan las técnicas de no degeneración, para un  fijo, no hay ciclos. Como el número total de bases posibles es finito, el proceso siempre termina, con un número finito de intervalos. • En cada intervalo característico si bien se fija el  para hacer el cálculo, el objetivo es una función lineal de . • El valor del objetivo al final y al principio de dos intervalos consecutivos son iguales. • El costo óptimo de un problema lineal paramétrico es una función de  lineal a trazos y contínua.

7. PARAMETRICO EN LOS TERMINOS INDEPENDIENTES • Sea (Pb) Min cTx / Ax = b+ b*, x  0, • Supongamos que el problema (Pb) se resolvió para un cierto valor de  = 0. Sean: • B la base óptima y B-1=( ij) • b’ el término independiente final / b’= B-1 b y b*’= B-1 b* • costo óptimo: z’+ z*’, donde z’= cBTB-1 b y z*’ = cBTB-1 b* • La base B, encontrada para =0 , es una base óptima   / b’+ b*’  0 , o sea:   / m  M, siendo [m,M el intervalo característico o de optimalidad de B con: m= max (-bi’/ bi*’ , i/ bi*’ >0) o m=- si bi*’  0  i M= min (-bi’/ bi*’ , i / bi*’ <0) o M=+ si bi*’ 0  i • Esquema del algoritmo utilizado: el mismo que en el paramétrico de costos, pero utilizando el simplex dual.

8. NOTAS: • Los intervalos característicos de las bases óptimas sucesivamente calculadas, no se superponen, salvo en los extremos de los intervalos. • Los intervalos donde la función objetivo z(x) es no factible son intervalos de la forma: (-, *) o (*,+) • En el algoritmo, una vez que el  deja el intervalo característico, la base óptima no se vuelve a repetir. Si se utilizan las técnicas de no degeneración, para un  fijo, no hay ciclos. Como el número total de bases posibles es finito, el proceso siempre termina, con un número finito de intervalos. • En c/ intervalo característico si bien se fija el  para hacer el cálculo, el objetivo y la solución son funciones lineales de . • El valor del objetivo al final y al principio de dos intervalos consecutivos son iguales. • El costo óptimo de un problema lineal paramétrico es una función de  lineal a trazos y contínua.

9. Teorema 1: El valor óptimo de la función objetivo z(),en un problema de optimización lineal, paramétrico en los términos independientes es: • una función lineal a trazos convexa en el parámetro si el problema es de minimización • una función lineal a trazos cóncava en el parámetro si el problema es de maximización Teorema 2: El valor óptimo de la función objetivo z() , en un problema de optimización lineal, paramétrico en los costos es: • una función lineal a trazos cóncava en el parámetro si el problema es de minimización • una función lineal a trazos convexa en el parámetro si el problema es de maximización